1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学文一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.若集合 A=0，1，2，4，B=1，2，3，则 AB=( )A.0，1，2，3，4B.0，4C.1，2D.3解析：A=0，1，2，4，B=1，2，3，AB=0，1，2，41，2，3=1，2.答案：C.2.下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( )A.y=e-xB.y=xC.y=lnxD.y=|x|解析：A.函数的定义域为 R，但函数为减函数，不满足条件.B.函数的定义域为 R，函数增函数，满足条件.C.函数的定义域为(0，+)，函
2、数为增函数，不满足条件.D.函数的定义域为 R，在(0，+)上函数是增函数，在(-，0)上是减函数，不满足条件.答案：B. 3.已知向量 =(2，4)， =(-1，1)，则 2 - =( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析：由 =(2，4)， =(-1，1)，得：2 - =2(2，4)-(-1，1)=(4，8)-(-1，1)=(5，7).答案：A.4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为( )A.1B.3C.7D.15解析：由程序框图知：算法的功能是求 S=1+21+22+2k的值，跳出循环的 k 值为 3，输出 S=1+2+4=7.答案：C.5.设 a，b 是
3、实数，则“ab”是“a 2b 2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为 a，b 都是实数，由 ab，不一定有 a2b 2，如-2-3，但(-2) 2(-3) 2，所以“ab”是“a 2b 2”的不充分条件；反之，由 a2b 2也不一定得 ab，如(-3) 2(-2) 2，但-3-2，所以“ab”是“a2b 2”的不必要条件.答案：D6.已知函数 f(x)= -log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，4)D.(4，+)解析：f(x)= -log2x，f(2)=20，f(4)=-
4、0，满足 f(2)f(4)0，f(x)在区间(2，4)内必有零点，答案：C7.已知圆 C：(x-3) 2+(y-4)2=1 和两点 A(-m，0)，B(m，0)(m0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB=90，则 m 的最大值为( )A. 7B. 6C. 5D. 4解析：圆 C：(x-3) 2+(y-4)2=1 的圆心 C(3，4)，半径为 1，圆心 C 到 O(0，0)的距离为 5，圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6.再由APB=90，以 A 为直径的圆和圆 C 有交点，可得 PO= AB=m，故有 m6，答案：B.8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食
5、用率” ，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p=at2+bt+c(a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A.3.50 分钟B.3.75 分钟C.4.00 分钟D.4.25 分钟解析：将(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入 p=at2+bt+c，可得 ，解得 a=-0.2，b=1.5，c=-2，p=-0.2t 2+1.5t-2，对称轴为 t=- =3.75.答案：B.二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.若(x+i)i=-1+2i(xR)，则 x= .解析：
6、(x+i)i=-1+2i，-1+xi=-1+2i，由复数相等可得 x=2答案：210.设双曲线 C 的两个焦点为(- ，0)，( ，0)，一个顶点是(1，0)，则 C 的方程为 .解析：双曲线 C 的两个焦点为(- ，0)，( ，0)，一个顶点是(1，0)，c= ，a=1，b=1，C 的方程为 x2-y2=1.答案：x 2-y2=1.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 .解析：由主视图知 CD平面 ABC，设 AC 中点为 E，则 BEAC，且 AE=CE=1；由左视图知 CD=2，BE=1，在 RtBCE 中，BC= ，在 RtBCD 中，BD=2 ，在 RtACD 中
7、，AD=2 .则三棱锥中最长棱的长为 2 .答案：2 .12.在ABC 中，a=1，b=2，cosC= ，则 c= ；sinA= .解析：在ABC 中，a=1，b=2，cosC= ，由余弦定理得：c 2=a2+b2-2abcosC=1+4-1=4，即 c=2；cosC= ，C 为三角形内角，sinC= = ，由正弦定理 = 得：sinA= = = .答案：2；13.若 x，y 满足 ，则 z= x+y 的最小值为 .解析：由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z= x+y 为 ，由图可知，当直线 过 C(0，1)时直线在 y 轴上的截距最小.此时 .答案：1.14.顾客请一位工艺师把 A，B
8、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 个工作日.解析：由题意，徒弟利用 6 天完成原料 B 的加工，由师傅利用 21 天完成精加工，与此同时，徒弟利用 9 天完成原料 A 的加工，最后由师傅利用 15 天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日.答案：42.三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(13 分)已知a n是等差数列，满足 a1=3，a 4=12，数列
9、b n满足 b1=4，b 4=20，且b n-an为等比数列.()求数列a n和b n的通项公式；()求数列b n的前 n 项和.解析：()利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；()利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列的和.答案：()设等差数列a n的公差为 d，由题意得 d= = =3.a n=a1+(n-1)d=3n(n=1，2，)，设等比数列b n-an的公比为 q，则 q3= = =8，q=2，b n-an=(b1-a1)qn-1=2n-1，b n=3n+2n-1(n=1，2，).()由()知 bn=3n+2n-1(n=1，2，).数
10、列3n的前 n 项和为 n(n+1)，数列2 n-1的前 n 项和为 1 =2n-1，数列b n的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1.16.(13 分)函数 f(x)=3sin(2x+ )的部分图象如图所示.()写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y 0的值；()求 f(x)在区间- ，- 上的最大值和最小值.解析：()由题目所给的解析式和图象可得所求；()由 x- ，- 可得2x+ - ，0，由三角函数的性质可得最值.答案：()f(x)=3sin(2x+ )，f(x)的最小正周期 T= =，可知 y0为函数的最大值 3，x 0= ；()x- ，- ，2x+ - ，0，当 2x+ =0
11、，即 x= 时，f(x)取最大值 0，当 2x+ = ，即 x=- 时，f(x)取最小值-317.(14 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA 1=AC=2，BC=1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点.()求证：平面 ABEB 1BCC1；()求证：C 1F平面 ABE；()求三棱锥 E-ABC 的体积.解析：()证明 ABB 1BCC1，可得平面 ABEB 1BCC1；()证明 C1F平面 ABE，只需证明四边形 FGEC1为平行四边形，可得 C1FEG；()利用 VE-ABC= ，可求三棱锥 E-ABC 的体积.答案：()三棱柱 ABC-A1B1
12、C1中，侧棱垂直于底面，BB 1AB，ABBC，BB 1BC=B，ABB 1BCC1，AB平面 ABE，平面 ABEB 1BCC1；()取 AB 中点 G，连接 EG，FG，则 F 是 BC 的中点，FGAC，FG= AC，E 是 A1C1的中点，FGEC 1，FG=EC 1，四边形 FGEC1为平行四边形，C 1FEG，C 1F平面 ABE，EG平面 ABE，C 1F平面 ABE；()AA 1=AC=2，BC=1，ABBC，AB= ，V E-ABC= = =18.(13 分)从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布
13、直方图：()从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；()求频率分布直方图中的 a，b 的值；()假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写结论)解析：()根据频率分布表求出周课外阅读时间少于 12 小时的频数，再根据频率=求频率；()根据小矩形的高= 求 a、b 的值；()利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案.答案：()由频率分布表知：周课外阅读时间少于 12 小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，周课外阅读时间少于 12 小时的频率为 =0.9；()由频率分布表知
14、：数据在4，6)的频数为 17，频率为 0.17，a=0.085；数据在8，10)的频数为 25，频率为 0.25，b=0.125；()数据的平均数为10.06+30.08+50.17+70.22+90.25+110.12+130.06+150.02+170.02=7.68(小时)，样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.19.(14 分)已知椭圆 C：x 2+2y2=4.()求椭圆 C 的离心率；()设 O 为原点，若点 A 在直线 y=2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值.解析：()椭圆 C：x 2+2y2=4 化为标准方程为 ，求出
15、a，c，即可求椭圆 C 的离心率；()先表示出线段 AB 长度，再利用基本不等式，求出最小值.答案：()椭圆 C：x 2+2y2=4 化为标准方程为 ，a=2，b= ，c= ，椭圆 C 的离心率 e= = ；()设 A(t，2)，B(x 0，y 0)，x 00，则 OAOB， =0，tx 0+y0=0，t=- ， ，|AB| 2=(x0-t)2+(y0-2)2= +44+4=8，当且仅当 ，即 x02=4 时等号成立，线段 AB 长度的最小值为 2 .20.(13 分)已知函数 f(x)=2x3-3x.()求 f(x)在区间-2，1上的最大值；()若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y
16、=f(x)相切，求 t 的取值范围；()问过点 A(-1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切？（只需写出结论）解析：()利用导数求得极值点比较 f(-2)，f(- )，f( )，f(1)的大小即得结论；()利用导数的几何意义得出切线方程 4 -6 +t+3=0，设 g(x)=4x3-6x2+t+3，则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切” ，等价于“g(x)有 3 个不同的零点”.利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；()利用()的结论写出即可.答案：()由 f(x)=2x3-3x 得 f(x)=6x 2-3，
17、令 f(x)=0 得，x=- 或 x= ，f(-2)=-10，f(- )= ，f( )=- ，f(1)=-1，f(x)在区间-2，1上的最大值为 .()设过点 p(1，t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x 0，y 0)，则 y0=2 -3x0，且切线斜率为 k=6 -3，切线方程为 y-y0=(6 -3)(x-x0)，t-y 0=(6 -3)(1-x0)，即 4 -6 +t+3=0，设 g(x)=4x3-6x2+t+3，则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切” ，等价于“g(x)有 3 个不同的零点”.g(x)=12x 2-12x=12x(x-1)，g(x)与 g
18、(x)变化情况如下：g(0)=t+3 是 g(x)的极大值，g(1)=t+1 是 g(x)的极小值.当 g(0)=t+30，即 t-3 时，g(x)在区间(-，1和(1，+)上分别至多有一个零点，故 g(x)至多有 2 个零点.当 g(1)=t+10，即 t-1 时，g(x)在区间(-，0和(0，+)上分别至多有一个零点，故 g(x)至多有 2 个零点.当 g(0)0 且 g(1)0，即-3t-1 时，g(-1)=t-70，g(2)=t+110，g(x)分别在区间-1，0)，0，1)和1，2)上恰有 1 个零点，由于 g(x)在区间(-，0)和1，+)上单调，故 g(x)分别在区间(-，0)和1，+)上恰有 1 个零点.综上所述，当过点过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时，t 的取值范围是(-3，-1).()过点 A(-1，2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切；过点 B(2，10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切；过点 C(0，2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切.
