1、智浪教育普惠英才文库1七年级数学竞赛常见题型有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方.通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于 0 这个性质有时总忘记用.绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.【核心例题】例 1 计算： 20761.4312分析 此题共有 2006 项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了
2、，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成 ，可21利用通项 ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.11nn解 原式= )20716(.432）（）（）（= 201.1= 07= 26例 2 已知有理数 a、b、c 在数轴上的对应点分别为 A、B 、C(如右图).化简 . b分析 从数轴上可直接得到 a、b、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到 ab0.解 由数轴知，a0所以， = a(ab)+(cb)= aa+b+cb= 2a+cbA O B Ca b c智浪
3、教育普惠英才文库2例 3 计算： 213.98110分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.解 原式= =213.987100例 4 计算：22 22 32 42 182 19+220.分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.22 2+23=2+22（1+2）=2+2 2=6.再考虑22 22 3+24=22 2+23（1+2）=22 2+23=2+22（1+2）=2+2 2=6.这怎么又等于 6 了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解 原式=22 22 32 42 1
4、8+219（1+2 ）=22 22 32 42 18+219=22 22 32 42 17+218（1+2 ）=22 22 32 42 17+218=22 2+23=6【核心练习】1、已知ab2与b 1互为相反数，试求： .1ba的值.206ba（提示：此题可看作例 1 的升级版，求出 a、b 的值代入就成为了例 1.）2、代数式 的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个）ab【参考答案】1、 2、32087智浪教育普惠英才文库3字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变
5、形，采用整体代入法或特殊值法.【典型例题】例 1 已知：3x6y5=0,则 2x4y+6=_分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取 y=0,由 3x6y5=0 ，可得 ,把 x、y 的值代入 2x4y+6 可得答案 .这种方法只35328对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.解 由 3x6y5=0，得 2所以 2x4y+6=2(x2y)+6= =6358例 2 已知代数式 ，其中 n 为正整数，当 x=1 时，代数式的值是 ，1)(nx当 x=1 时，代数式的值
6、是 .分析 当 x=1 时，可直接代入得到答案.但当 x=1 时，n 和(n1)奇偶性怎么确定呢？因 n 和(n1) 是连续自然数，所以两数必一奇一偶.解 当 x=1 时，= =31)(nx1)(n当 x=1 时，= =1)(n)(1nn例 3 152=225=1001（1+1）+25， 252=625=1002（2+1）+25352=1225=1003（3+1）+25 ， 452=2025=1004（4+1 ）+25752=5625= ，85 2=7225= （1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算 20052 的值.智浪教育普惠英才文库4n=1,S=1 n=2,S=
7、5 n=3,S=9分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100 是不变的，加 25是不变的，括号里的加 1 是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.解 (1)752=1007（7+1 ）+25，85 2=1008（8+1 ）+25(2)(10n+5)2=100n（n+1 ）+25(3) 20052=100200（200+1 ）+25=4020025例 4 如图是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图，再分别连接图中间小三角形三边的中点，得到图.S 表示三角形的个数.（1）当 n=4 时，S= ，（2）请按此规律写出用 n 表示 S 的公式.分
8、析 当 n=4 时，我们可以继续画图得到三角形的个数 .怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.解 (1)S=13(2)可列表找规律：n 1 2 3 nS 1 5 9 4(n1)+1S 的变化过程 1 1+4=5 1+4+4=9 1+4+4+4=4(n1)+1所以 S=4(n1)+1.( 当然也可写成 4n3.)【核心练习】1、观察下面一列数，探究其中的规律：1， ， ， ， ，234156填空：第 11，12，13 三个数分别是 ， ， ；智浪教育普惠英才文库5第 2008 个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个
9、数越来越近？. 2、观察下列各式: 1+13 = 22, 1+24 = 32, 1+35 = 42,请将你找出的规律用公式表示出来: 【参考答案】1、 ， ， ; ;0.21320812、1+n(n+2) = (n+1)2平面图形及其位置关系篇【核心提示】平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.【典型例题】例 1 平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为_个，最多为_个. 分析 6 条直线两两相交交点个数最少是
10、1 个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.解 找交点最多的规律：直线条数 2 3 4 n交点个数 1 3 6 2)1(交点个数变化过程 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+(n1)图形 图 1 图 2 图 3 1 2 3智浪教育普惠英才文库6例 2 两条平行直线 m、n 上各有 4 个点和 5 个点，任选 9 点中的两个连一条直线，则一共可以连（ ）条直线. A20 B36 C34 D22分析与解 让直线 m 上的 4 个点和直线 n 上的 5 个点分别连可确定 20 条直线，再加上直线 m 上的 4 个点和直线 n 上的 5 个点各确定的一条直线，共
11、22 条直线.故选 D.例 3 如图，OM 是AOB 的平分线.射线 OC 在BOM 内，ON 是BOC 的平分线，已知 AOC=80，那么MON 的大小等于 _.分析 求MON 有两种思路.可以利用和来求，即MON=MOC+ CON. 也可利用差来求，方法就多了，MON=MOBBON= AONAOM= AOBAOMBON. 根据两条角平分线，想办法和已知的AOC 靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.解 因为 OM 是AOB 的平分线，ON 是BOC 的平分线，所以MOB= AOB，NOB= COB2121所以MON= MOBNOB= AOB COB= （AOBCOB）=21AO
12、C= 80=4021例 4 如图，已知AOB=60，OC 是AOB 的平分线，OD、OE分别平分BOC 和AOC. （1）求DOE 的大小；（2）当 OC 在AOB 内绕 O 点旋转时，OD、OE 仍是BOC 和AOC 的平分线，问此时DOE 的大小是否和（ 1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论 .分析 此题看起来较复杂，OC 还要在AOB 内绕 O 点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现DOE 是AOB 的一半，也就是说要求的DOE， 和 OC 在AOB 内的位置无关.解 (1)因为 OC 是AOB 的平分线，OD、OE 分别平分BOC 和AOC. 所以DOC=
13、BOC，COE= COA2121OBAMCNOBACDE智浪教育普惠英才文库7所以DOE=DOC+ COE= BOC+ COA= （BOC+ COA ）2121= AOB21因为AOB=60所以DOE = AOB= 60=3021(2)由（1）知DOE = AOB ，和 OC 在AOB 内的位置无关.故此时DOE 的大小和（1）中的答案相同.【核心练习】1、A、B、C 、 D、E、F 是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_条.2、在 1 小时与 2 小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是 1 时 分.【参考答案】1、15 条 2、 .分分 或 16549一元一
14、次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。【典型例题】例 1 已知方程 2x+3=2a 与 2x+a=2 的解相同，求 a 的值.分析 因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出 x，可把 2x 整体代入.解 由 2x+3=2a，得 2x=2a3.把 2x=2a3 代入 2x+a
15、=2 得 2a3+a=2，3a=5,智浪教育普惠英才文库8所以 35a例 2 解方程 312xx分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.解 两边同时乘以 6，得6x3(x1)=122(x+1)去分母，得6x3x+3=122x26x3x+2x=12235x=7x= 57例 3 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4%，使得利润增加了 8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价 （1+利润率） ，故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.解：设原进价为 x 元，销售
16、价为 y 元，那么按原进价销售的利润率为,原进价降低后在销售时的利润率为 ,由题意得：%10xy %106.93xy+8%= %106.93x解得 y=1.17x故这种商品原来的利润率为 =17%.7.例 4 解方程 x1+x5=4分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，智浪教育普惠英才文库9道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对 x 进行讨论.解：由题意可知，当x1=0 时，x=1；当x5=0 时，x=5.1 和 5 两个“零点”把 x轴分成三部分，可分别讨论：1）当 x5 时，原方程可化为 (x1)+(x 5)=4，解得
17、 x=5.因 x5，故应舍去.所以， 1x5 是比不过的。【核心练习】1、已知关于 x 的方程 3x2(x )=4x 和 有相同的解，那么这个解3a18512xax是 .（提示：本题可看作例 1 的升级版）2、某人以 4 千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以 6 千米/ 小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是_千米/小时.【参考答案】1、 2、4.887生活中的数据篇【核心提示】生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的.【典型例题】例 1 下面是两支篮球队在上一
18、届省运动会上的 4 场对抗赛的比赛结果：（单位：分）研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：智浪教育普惠英才文库10（1）你是怎样设计统计图的？（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法.分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的.解 用复式条形统计图：（如下图）从复式条形图可知乙球队胜了 3 场输了 1 场.例 2 根据下面三幅统计图（如下图） ，回答问题：（1）三幅统计图分别表示了什么内容？（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？（3）2050 年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？（4）2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答.解 （1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.（2）折线统计图
