1、2007 年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学（理工科）本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若等差数列 的前 3 项和 且 ，则 等于（ ）na93S1a2A、3 B、4 C、5 D、62、命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）12xxA、若 ，则 或 B、若 ，则11x2C、若 或 ，则 D、若 或 ，则 x2x x13、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A、5 部分 B、6 部分 C、7 部分 D、8 部分4、若 展开式的二项式系
2、数之和为 64，则展开式的常数项为（ ）nx)1(A、10 B、20 C、30 D、1205、在 中， ，则 等于（ ）BC75,4,3ABA、 B、 C、2 D、32 36、从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为（ ）A、 B、 C、 D、4110794247、若 是 与 b2的等比中项，则 的最大值为（ ）a|2|baA、 B、 C、 D、1524528、设正数 满足 等于（ ）ba, nnba2lim1A、0 B、 C、 D、14219、已知定义域为 R 的函数 在 上为减函数，且函数 为
3、偶函数，)(xf),8)8(xfy则（ ）A、 B、 C、 D、)7(6f)9(6f)9(7ff)10(7ffD CBA10、如右图，在四边形 ABCD 中， ，4| DCBA， ，则4| DCBA 0的值为（ ）)(A、2 B、 C、4 D、224二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填写在答卷相应位置上.11、复数 的虚部为_.3i12、已知 满足 则函数 的最大值是_.yx,142,yxyxz313、若函数 的定义域为 R，则 的取值范围为_.)(2axf a14、设 为公比 的等比数列，若 和 是方程 的两根，则naq2040603842x_.207615
4、、某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_种.（以数字作答）16、过双曲线 的右焦点 F 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 P、Q 两点，42yx 105则 的值为_.|FQP三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 13 分，其中（）小问 9 分， （）小问 4 分）设 .xxf 2sin3co)(2（）求 的最大值及最小正周期；（）若锐角 满足 ，求 的值.(f 54tanCE DA1B1C1BA18（本小题满分 13 分，其中（）小问 4 分， （）小问 9 分）某单位有三辆
5、汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获 9000 元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：（）获赔的概率；（）获赔金额 的分布列与期望.19（本小题满分 13 分，其中（）小问 8 分， （）小问 5 分）如右图，在直三棱柱 中， ；点 、1CBA90,1,21ABCD分别在 上，且 ，四棱锥 与直三棱柱的体积之比为ED、AB1E1D.5:3（）求异面直线 与 的距离；1（）若 ，求二面角 的平面角
6、的正切值.2BC1BCA20（本小题满分 13 分，其中（） 、 （） 、 （）小问分别为 6、4、3 分）已知函数 在 处取得极值 ，其中 a、b 为)0(ln)(44xcbaxf 1常数.（）试确定 a、b 的值；（）讨论函数 的单调区间；)(xf（）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.02)(cxfc21（本小题满分 12 分，其中（）小问 5 分， （）小问 7 分）已知各项均为正数的数列 的前 项和 满足 ，且nanS1.NaSnn),2(16（）求 的通项公式；（）设数列 满足 ，并记 为 的前 项和，求证：nb1)(nbnTb.NaTn),3(log132yxlO FP3
7、P2 P122（本小题满分 12 分，其中（）小问 4 分， （）小问 8 分）如右图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 ，右准线 的方程为： .)0,3(Fl12x（）求椭圆的方程；（）在椭圆上任取三个不同点 ，使 ，证明：321、P1321FP为定值，并求此定值.|1| 32FPFP2007 年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学参考答案（理工科）一、选择题ADCBA CBBDC二、填空题：11、 12、7 13、54 0,114、18 15、25 16、 38三、解答题：17、解：（） xxf 2sin2co16)( 32sincox3)sinco23x)6(故 的最大值为 ； 最小正周期
8、 .)(xf2T（）由 得 ，故 .33)62cos(1)6cos(又由 得 ，故 ，解得 .20625从而 .3tan54t18、解：设 表示第 辆车在一年内发生此种事故， .kA3,21k由题意知 独立，且 .321, )(0)(,91)(2APAP（）该单位一年内获赔的概率为.138)()()( 321321 AP（） 的所有可能值为 .70,890,809)()()0( 321321 AP)9 321AP()()()( 3321321 AP，10981098109 4512)()()()( 3213232 APAP (121A，09809 1097.)()()7( 321321 APP
9、P 901综上知， 的分布列为0 9000 18000 27000P 18451103901求 的期望有两种解法：解法一：由 的分布列得（元）901271038459018 18.27解法二：设 表示第 辆车一年内的获赔金额， ，k 3,k则 有分布列110 9000P 9891故 .901同理得 .180,132 综上有（元）.27.819321 19、解法一：（）因 ，且 ，故 面 A1ABB1，从而 B1C1B 1E，11BAC1B1C又B1EDE，故 B1E 是异面直线 B1C1 与 DE 的公垂线 .B1FCE DA1 C1BA设 BD 的长度为 ，则四棱椎 的体积 为x1ABDC1
10、V.BCxBSVAD )2(6)(613111而直三棱柱 的体积 为12.CABC122由已知条件 ，故 ，解得 .5:3:V53)(6x8x从而 B1D .28又直角三角形 中，A1,529)(21211 又因 .DBAEDSBA 111 故 .291E（）如右图，过 B1 作 B1FC 1D，垂足为 F，连接 A1F.因A1B1B 1C1，A 1B1B 1D，故 A1B1面 B1DC1，由三垂线定理知 C1DA 1F，故A 1FB1 为所求二面角的平面角.在直角 中， ，1 563)2(211 B又因 ，故CFDSBC1121 ，所以 .931F 23tan11FBA20、解：（）由题意知
11、 ，因此 ，从而 .cf)( cbb又对 求导得 .)(xf )4ln(4ln433/ axxaxx 由题意 ，因此 ，解得 .01/ 012（）由（）知 .令 ，解得 .)(l8)(3/ xxf 0)(/xf1x当 时， ，此时 为减函数；/ f当 时， ，此时 为增函数.1x0)(xf)(xf因此 的单调递减区间为 ，而 的单调递增区间为 .f 1,)(f ),1(（）由（）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值.)(xfc31要使 恒成立，只需 .02)(cf 2即 ，从而 .32 0)(3c解得 或 .c1所以 的取值范围为 ),2,(21、 （）解：由 ，解得 或 .由假设(6
12、11aSa1a2，因 此 .11Sa又由 ，得)(6)2)(111 nnnn，即 或 .03)(1na03aa1因 ，故 不成立，舍去.0ann1因此 ，从而 是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故 的通项1n n为.3an（）证法一：由 可解得1)2(nb 13log)1(log22nabnn从而 .356(l2215 Tnn 因此 .2)1og)3(log3 na令 ，则21562)( nf.233)(5)(3)(1nf因 ，故 .07925n)(1(nff特别地 ，从而 ，1207)(fnf 0)(log)3(log1322nfaTnn即 .log13naT证法二：同证法一求得 及 .
13、b由二项式定理知，当 时，不等式 成立.0cc31)(由此不等式有 32 )51log3nTn .)3(log)2(log128()1()521(log 2 na证法三：同证法一求得 及 .nb令 .137845,3674,136 nCnBAn 因 ，因此 .213n2BA从而 )3(log)3(loglog2l)3562(log 2223 nnnn aCT证法四：同证法一求得 及 .nbT下面用数学归纳法证明： .)(l132na当 时， ，因此 ，1n 5log,47log221 )3(log132nnaT结论成立.假设结论当 时成立，即 ，则当 时，k)(l132kkaTk3og)(log13 112 kk baT.221122 )(5l3l)l kkkk因 ，故 .079)(53)( 2 0)3(log22从而 .这就是说当 时结论也成立.log112knaT1kn综上 对任何 成立.)3(3nN
