1、- 1 -2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)数 学（理科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）集合 ， 的子集中，含有元素 的子集共有1,0A0（A）2 个 （B）4 个 （C）6 个 （D）8 个解： 的子集共 个，含有元素 0 的和不含元素 0 的子集各占一半，有 4 个选328B（2）已知复数 ，则()iz|z（A） （B） （C） （D）525525解： (3)10()()422iiz ii2|4z（3） 的展开式中含 的项的系数为 41()x2x（A）4 （B）6 （C）10 （D
2、）12解： 展开式中含 项的系数为412344()()xxx 2x23410C（4）已知 ，则不等式 的解集为*nN20.1n（A） 199， （B） 200，| |n*N（C） 201， （D） 202，|n*|解： 220.11 *0,n（5）已知 ，则 tan22(sinco)（A） （B） （C） （D）3- 2 -解： ，选 C2 1(sinco)sinco1tan23i（6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（A） （B） （C） （D）83363283解： 设球的半径为 ；正三棱锥的底面面积 ， ，r314Vr
3、24Srh。所以 ，选 A232136V1283V（7）若点 到双曲线 的一条淅近线的距离为 ，则(,0)P2xyab2双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）2323解：设过一象限的渐近线倾斜角为 sin451k所以 ，因此 ，选 A。byxab2,ccae（8）在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（A） （B） （C） （D）15122345解：因文艺书只有 2 本，所以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有文艺书的概率：346()1()1205PAC（9）过点 的直线与圆 相交于 两点，
4、则 的最小值为, 2()(3)9xy,AB|（A） （B） （C） （D）2345解： 弦心距最大为 ， 的最小值为22(1)()| 2954- 3 -（10）已知两个单位向量 与 的夹角为 ，则 的充要条件是ab135|1ab（A） （B）(0,2)(2,0)（C） （D）(,)(,)解： 222 2|111cos351ababA，选 C20或（11）设函数 的图象关于直线 及直线 对称，且 时，()yfxR0xx0,x，则 2()fx3（A） （B） （C） （D）14349解： 211()()()()224fffff（12）一个正方体的展开图如图所示， 为原正方体的顶点，,B为原正方体一
5、条棱的中点。在原来的正方体中， 与 所成ACAB角的余弦值为 （A） （B） （C） （D）510105510解：还原正方体如右图所示设 ,则 ,AB,AF, , 与 所成角等于 与 所成角,2BEF3EE所以余弦值为 ,选 D58910cos2B二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中模式横线上。（13）函数 的反函数为 。1xye()R解： ，所以反函数11ln()xyxy，ln(1)()yx- 4 -（14）设等差数列 的前 项和为 ，且 。若 ，则 。nanS5a4074a解： ，取特殊值5123414230Sa令 ，所以23,a4741974a（15
6、）已知函数 在 单调增加，在 单调减少，()sin)6fx(0)(,)3(,2)3则 。解：由题意 4()si()13f412,6kkZ又 ，令 得 。 （如 ，则 ， 与已知矛盾）0k20kT（16）已知 ， 为空间中一点，且 ，则直线 与9AOBC60AOCBOC平面所成角的正弦值为 。解：由对称性点 在平面 内的射影 必在 的平分线上作D于 ，连结 则由三垂线定理 ，DEOACECEO设 ，又 ,所1,260,2E以 ，因此直线 与平面 所成角的正弦2CAB值 sinOD三解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分
7、）在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知ABC, ,abc。22acb（）若 ，且 为钝角，求内角 与 的大小；4B（）若 ，求 面积的最大值。AC解：（）由题设及正弦定理，有 。222sinisin1CB故 。因 为钝角，所以 。22sincosCcoA- 5 -由 ，可得 ，得 ， 。cos()4ACsini()4C85A（）由余弦定理及条件 ，有 ，故 。221()bac2osacBosB12由于 面积 ，BsincB又 ， ，ac21()4i32当 时，两个不等式中等号同时成立，所以 面积的最大值为 。ABC1342（18） （本小题满分 12 分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为
8、三类： 类、 类、AB类。检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检，若发现其中含有 类产品或C2 件都是 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品B为 类品， 类品和 类品的概率分别为 ， 和 ，且各件产品的质量情况互AC0.95.0不影响。（）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（）若检验员一天抽检 3 次，以 表示一天中需要调整设备的次数，求 的分布列和数学期望。解：（）设 表示事件“在一次抽检中抽到的第 件产品为 类品” ，iAiA1,2.i表示事件“在一次抽检中抽到的第 件产品为 类品” ，iBB表示事件“一次抽检后，设备不需要调整” 。C则 。
9、121212ABA由已知 ， ()0.9iP()0.5i1,.i所以，所求的概率为 12212)()()CPBPA。0.9.05.9（）由（）知一次抽检后，设备需要调整的概率为，依题意知 ， 的分布列为()10.9pPC(3,.1)B- 6 -0 1 2 3p0729 0243 0027 0001。3.1En（19） （本小题满分 12 分）如图，一张平行四边形的硬纸片 中， ， 。沿它的对角线0ABCD1B2A把BD 折起，使点 到达平面 外点 的位置。0C00（）证明：平面 平面 ；AB（）如果 为等腰三角形，求二面角 的大小。ABDC解：（）证明：因为 ， ，01DC02所以 ， 。09
10、B9因为折叠过程中， ，0B所以 ，又 ，故 平面 。DCD0CB又 平面 ，所以平面 平面 。B0A0A（）解法一：如图，延长 到 ，使 ，连结 ， 。EE因为 ， ， ， ，所以 为正方形，E1B9ABD。1A由于 ， 都与平面 垂直，所以 ，可知 。DB0CAC1因此只有 时， 为等腰三角形。2B在 中， ，又 ，RtAE21E所以 为等边三角形， 。CB60C由（）可知， ，所以 为二面角 的平面角，即二面角 的大ABDABDC小为 。60解法二：以 为坐标原点，射线 ， 分别为 轴正半轴和 轴正半轴，建立如图的Dxy- 7 -空间直角坐标系 ，则 ， ， 。Dxyz(1,0)A(,1
11、0)B(,)D由（）可设点 的坐标为 ，其中 ，则有 。 Cz21xz因为 为等腰三角形，所以 或 。AB1C若 ，则有 。12()xz则此得 ， ，不合题意。0z若 ，则有 。 AC2(1)z联立和得 ， 。故点 的坐标为 。x3C13(,)2由于 ， ，所以 与 夹角的大小等于二面角 的大小。DABDABABDC又 ， ，(1,0)13(,0)2C 1cos, .2|C所以 即二面角 的大小为 。,6DABABD60（20） （本小题满分 12 分）在数列 中， ， 。na1212()nnaa（）求 的通项公式；na（）令 ，求数列 的前 项和 。12nbnbnS（）求数列 的前 项和 。
12、T解：（）由条件得 ，又 时， ，122()nna12na故数列 构成首项为 1，公式为 的等比数列从而 ，即 2n 21n21na（）由 得 ，2()nnb235nnS，2311nn两式相减得 ： - 8 -， 所以 231112()2n nS 25nnS（）由 得2()aa 12nnnTTS所以 1nna2146n（21） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的中心和抛物线 的顶点都在坐标原点 ， 和 有公共焦点 ，点 在1C2CO1C2F轴正半轴上，且 的长轴长、短轴长及点 到 右准线的距离成等比数列。x1F（）当 的准线与 右准线间的距离为 时，求 及 的方程；2 1512（）设过点 且
13、斜率为 的直线 交 于 ， 两点，交 于 ， 两点。当FlCPQCMN时，求 的值。36|7PQ|MN解：（）设 ： ，其半焦距为 则 ： 1C21xyab(0)c(0)24ycx由条件知 ，得 22()()c2a的右准线方程为 ，即 1C2x4的准线方程为 2c由条件知 ， 所以 ，故 ， 5136a3b从而 ： ， ： 1C2367xy2C1yx（）由题设知 ： ，设 ， ， ， lc1(,)M2(,)Ny3(,)Px4(,)Qxy由（）知 ，即21:43xy41xc由 ， 知 满223cyx34,足 ，22780x- 9 -从而 223434342()()7PQxyxc由条件 ,得 ，
14、故 ： 67c2C6由 得 ，所以23yx2904x129x于是 12MNFc（22） （本小题满分 14 分）设函数 。2()xf（）求 的单调区间和极值；（）若对一切 ， ，求 的最大值。xR3()3afxbab解：（） ，2211()()f当 时， ；当 时， ；,x)0fx,)(,)()0fx故 在 单调增加，在 单调减少。()f21(21的极小值 ，极大值x()f)f（）由 知2(12)xff即 1()()0fxf(1f由此及（）知 的最小值为 ，最大值为x2因此对一切 ， 的充要条件是，R3()3afb12即 ， 满足约束条件ab- 10 -，3123abab由线性规划得， 的最大值为 5
