1、智浪教育普惠英才文库函数和解析几何练习1. 已知 f = a sin + b cos ， 0, ，且 1 与 2 cos 2 的等差中项大于 1 与 sin 2 的等2 2比中项的平方求：1 当 a = 4, b = 3 时，f 的最大值及相应的 值；2 当 a b 0时，f 的值域解：易得 sin2 ，2 1 + 2cos2 2 sin2 ，即 2(cos2 sin 2 ) 1，2 2 2 2 2cos 1，即 cos .12 0, ， 0, ) . 2 分23(1)当 a = 4,b = 3 时，有 f( ) = 4sin + 3cos = 5sin( + ) (其中 = arctan )
2、.34 0 b0 时，设 ， 则有 + = 1。(x = bcosy = asin) x2b2 y2a2 0 0 时，f( ) b, 。3 a2 + b2 3 a2 + b2智浪教育普惠英才文库2.已知椭圆 C 的方程为 x 2 + = 1，点 Pa, b的坐标满足 a 2 + 1，过点 P 的直线 l 与椭y 22 b 22圆交于 A、B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点，求： 1 点 Q 的轨迹方程； 2 点 Q 的轨迹与坐标轴交点个数。解：设 A(x1,y1)、B(x 2,y2)、Q(x,y)，(1) 当 x1 x 2 时，不妨设直线 l 的斜率为 k，其方程为 y = k(xa) +
3、 b，由 可得(x 1x 2)(x1 +x2) + (y1 y 2 )(y1 + y2) = 0，12 + = 0, 3 分x1 + x22 12y1 + y22 y1 y2x1 x2由 x = ,y = , 且 = ,x1 + x22 y1 + y22 y bx a y1 y2x1 x2Q 点的轨迹方程为 2x2 + y22ax by = 0 . （*） 6 分当 x1 = x2 时，斜率 k 不存在，此时，l/y 轴， AB 的中点 Q 必在 x 轴上，即 Q(a,0)，显然满足方程（*） 。 7 分综上，Q 点的轨迹方程为 2x2 + y22ax by = 0. 8 分(2) 当 a =
4、 b = 0 时，Q 点的轨迹与坐标轴只有一个交点 (0,0)；当 a = 0，02, 10 分2故与 l 无公共点的线段 CD 长有最大值 2(2 + ) = 4 + 。 12 分2 2智浪教育普惠英才文库4. 已知函数 .1,0)(aaxfx（1）求 及 的值；1f 10932ffff （2）是否存在自然数 ，使 对一切 都成立，若存在，求出自然数 的最1)(nfNa小值；不存在，说明理由；（3）利用（2）的结论来比较 和 的大小3lg4！ n解（1） ； 2 分1)()xff 9101020 ffff （2）假设存在自然数 ,使 对一切 都成立.a)(nfN由 , 得 ， 4 分nfn)
5、( na)1(naf1当 时，不等式 显然不成立 5 分2,1a2an当 时， ，33n当 时，显然 , 6 分1当 时， =2 2)1(21 41 nnnnC成立，则 对一切 都成立 1n23N8 分所以存在最小自然数 。 9 分a（3） 由 （ ） ，所以 ， ， ，2nn3 0132023032n相乘得 ， 11 分!,!3411 成立 12 分lg4nln5已知 ),2(|lg)1()(2 Raaxxf （）若 能表示成一个奇函数 和一个偶函数 的和，求 和 )x(xh)(xgh的解析式；（）若 和 在区间 上都是减函数，求 a 的取值范)(f 1(,2智浪教育普惠英才文库（）在（）的
6、条件下，比较 的大小61)(和f解：（）设 ，其中 是奇函数， 是偶函数，()(xhgxfxg)(xh则有 )(联立，可得， （直接给出这两个函数也给分）3 分a)1( |2|l(2a（）函数 当且仅当 ，即 时才是减函数，xg011 又 4)(|2|lg)2(|lg)()(22 axxf 的递减区间是 5 分,(a由已知得 21)(a 解得 )1(2 123a 取值范围是 8 分a),3（） )123(|lg|lg() aaf在 上为增函数 10 分|2|l1(和 )1, l2|3(|l)3)f610g28 即 . 14 分6)1(f)(大 于f6已知定义域为0，1的函数 f (x)同时满足
7、：（1）对于任意 x0，1，总有 f (x)0；（2）f (1) =1；（3）若 ， ， ，则有 。012121x )()(2121xffxf（）试求 f(0)的值；（）试求函数 f(x)的最大值；（）试证明：满足上述条件的函数 f(x)对一切实数 x，都有 f(x)2x 。解：（）令 ，021x依条件（3）可得 f(0+0) f(0)+f(0) ，即 f(0) 0。智浪教育普惠英才文库又由条件（1）得 f(0) 0，则 f(0)=0 3 分（）任取 ，可知121x1,0(2x则 5 分)()()(2 fffxf 即 ，故121xf (12x于是当 0x1 时，有 f(x) f(1)=1因此，
8、当 x=1 时，f(x) 有最大值为 1， 7 分（）证明：研究当 时，f(x) 10 成立。f(a) + f(b)a + b（1）判断函数 f(x)在1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式 f(x + )0，x 1x 20 时 g(a)为1,1上的减函数，此时 g(1)最小。由 解得 m2；(m0g(1) = 2m + m2)当 m = 0 时， g(a) = 0，对 a 1,1的 g(a)0 也成立；当 m0，得 t1，所以当 t (,1)时，f(t)是减函数；当 t (1, + )时，f(t)是增函数。 10 分又令 f /(t)0，得1t1 ，所以 t (1,1)时
9、，f(t) 是减函数，所以 t = 0 或 t = 。 12 分3智浪教育普惠英才文库12已知曲线 ，直线 l 过 A（a，0） 、32)0,(12 ebayx的 离 心 率B（0，b）两点，原点 O 到 l 的距离是 .（）求双曲线的方程；（）过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点，若 ，求直线 m 的方程.23ON解：（）依题意 ，由原点 O 到 l 的距离为 ，得 = = ， 又 e = = , b = 1，a = ，abc ca 3故所求双曲线方程为 4 分132yx（）显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y=kx1，则点 M、N 坐标（ ） 、1,yx（ ）是方程组 的解2,yx132yk消去 y，得 6 分06)1(2xk依设， 由根与系数关系，知,032 136,2121kxkx)(),(, 221 yyxONM= = = 9 分12121k136)(22k2 =23，k= ,362当 k= 时，方程有两个不等的实数根,2故直线 l 方程为 12 分12,1xyx或13已知数列 的通项公式为 ，数列 中是否存在最大的项？若存na),0(anana在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由.
