1、1宜宾市一中2017年秋期高16级数学学科（理科）第十七周考题命题人：翟信旗 审题人：龚开勋一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1过点(1，3) 且平行于直线x 2y30的直线方程为Ax2y70 B2 xy10 Cx2y50 D 2x y502点P(4 ， 2)与圆x 2y 24上任一点连线的中点的轨迹方程是A(x2) 2(y1) 21 B(x2) 2(y1) 24 C( x4) 2(y2) 24 D(x 2) 2(y1) 213已知点A(5 ，0)，点P(x 0，y 0)在曲线C：y 24x 上，且线段AP的垂直平分线经过曲线C
2、的焦点F ，则x0的值为 A2 B3 C4 D54设F 1，F 2是椭圆E 的两个焦点， P为椭圆E 上的点，以PF 1为直径的圆经过F 2，若tan PF 1F22515，则椭圆E的离心率为 A. B. C. D.56 55 54 535已知焦点在y 轴上的双曲线 C的中心是原点O，离心率等于 ，以双曲线C的一个焦点为圆心，1为52半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为A. y 21 B. x 21 Cy 2 1 D. 1x24 y24 x24 y216 x246过抛物线y 22px (p0)的焦点F的直线与双曲线 x2 1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，By23两点，若|AF
3、|BF |，且|AF| 2，则抛物线的方程为Ay 22x By 23x Cy 24x D y 2x7已知双曲线 1(a0，b 0)与抛物线y 28x有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为Px2a2 y2b2，若|PF|5，则双曲线的离心率为A. B. C. D25 32338直线l与抛物线C：y 22x交于A，B 两点，O为坐标原点，若直线 OA，OB的斜率k 1，k 2满足k 1k223，则l的横截距2A为定值3 B为定值3 C为定值1 D不是定值9设抛物线y 22px (p0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C (72p，0)，AF与BC相交于点E ，若|
4、CF| 2| AF|，且ACE的面积为3 ，则p的值为2A. B2 C3 D.6 210过双曲线 1(a0，b 0)的左焦点F(c，0)(c0)，作圆x 2y 2 的切线，切点为E ，延x2a2 y2b2 a24长FE交双曲线右支于点P，若 2 ，其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为OP OE OF A. B. C. D.10105 102 211已知双曲线 1(a0，b 0)与抛物线y 22px(p0)有一个共同的焦点F ，点M是双曲线与抛x2a2 y2b2物线的一个交点，若|MF| p，则此双曲线的离心率等于54A2 B3 C. D.2 312已知F 1，F 2分别为双曲线C： 1(a0
5、，b0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C的左x2a2 y2b2、右两支分别交于A，B两点，若|AB| BF2| AF2|345，则双曲线的离心率为A. B. C2 D.13 15 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13双曲线 1的离心率为 _y22 x2414若点P(1 ，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为_15已知抛物线 C：y 24x的焦点为 F ，O为坐标原点，点 P在抛物线C上，且PFOF，则 | |_ OF PF 16已知双曲线C的离心率为 ，左、右焦点为F 1， F2，点A在C上，若|F 1A|2|F 2A|，则52cosAF 2F
6、1_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤317(10 分) 已知双曲线与椭圆 1共焦点，且以y x为渐近线，求双曲线方程x249 y224 4318(12 分) 已知抛物线 x24y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点(1)当| PF|2时，求点P的坐标；(2)求点P到直线y x10的距离的最小值19(12 分) 已知椭圆 C： 1(ab 0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆 Cx2a2 y2b2上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 与x轴负半轴交于点 A，直线过定点(1，0)交椭圆于M，N两点，求AM
7、N面积的最大值20(12 分) 已知椭圆 C： 1(ab 0)的右焦点为 F(1，0)，且点 在椭圆C上x2a2 y2b2 ( 1，22)(1)求椭圆C 的标准方程；4(2)已知动直线l过点F且与椭圆C交于A，B两点试问x轴上是否存在定点Q，使得 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由QA QB 71621(12 分) 已知 F1，F 2分别为椭圆 1(ab0)的左、右焦点，点P (1，y 0)(y00)在椭圆上，且Py2a2 y2b2F2x轴， PF1F2的周长为6.(1)求椭圆的标准方程；(2)设E，F是曲线C上异于点P 的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：
8、直线EF的斜率为定值，并求出这个定值22(12 分) 已知椭圆 C： 1(ab 0)的两个焦点分别为 F1( ，0)，F 2( ，0)，以椭圆短轴x2a2 y2b2 2 2为直径的圆经过点M(1 ，0) (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M的直线l与椭圆C相交于A，B 两点，设点N(3，2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1k 2是否为定值？并证明你的结论5高16级数学学科（理科）第十七周考题参考答案1解：设与直线x2y 30平行的直线方程为x 2yC0(C3)，过点( 1，3)，则16C0，得C 7，故所求直线方程为x2y 70.另解：利用点斜式故选A.2解：设圆上任
9、一点坐标为(x 0，y 0)，则x y 4，连线的中点坐标为(x ，y)，则 即 代20 20 2x x0 4，2y y0 2，) x0 2x 4，y0 2y 2，)入x y 4得(x 2) 2(y1) 21.故选A .20 203解：焦点F的坐标为(1，0)，由垂直平分线上的点到两端的距离相等可知 PFAF4，则x 0 x 014，即 x0p23.故选B.4解：由题意可知PF 2F190 ，且F 1F22c，因为tanPF 1F2 ，所以PF 2 2c，由勾股定理可得PF 12515 25152c ，依据椭圆的定义可得PF 1 PF22a，即2a 2c，即a c，故离心率e .(25152c
10、)2 （2c）2 7515 9515 355 53或由tanPF 1F2 求解故选D.b2a2c5解：令双曲线C的方程为 1(a0，b 0)，由以焦点为圆心且半径为1的圆与双曲线的渐近线相切，且焦y2a2 x2b2点到渐近线y x的距离为b ，得b1.由 ，则令c t，a2t ，t0，故b t 1，a2.故选B.ab ca 52 5 c2 a26解法一：抛物线y 22px 的焦点F 的坐标为 ，准线方程为x ，且双曲线x 2 1的渐近线方程为y(p2，0) p2 y23 36x.可设直线AB的方程为y ，令A(x 0，y 0) ，则|AF|x 0 2，即x 02 ，由x 0 可得0p2) p2
11、 p2 p2 (2p) ，由 3(2p) 22p 得p1或p3(舍去) ，所以抛物线的方程为y 22x.3 (2 p2)解法二：设A( x0，y 0)由题意易知x 0 ，因为直线AB 与双曲线x 2 1的一条渐近线平行，可令k AB ，则直线p2 y23 3AB的倾斜角为60，所以|AF|cos60p2，所以p1，则抛物线的方程为y 22x.故选A.7解：易知抛物线y 28x 的焦点F 的坐标为(2 ，0)，则c2，令P(m ，n)在第一象限，由抛物线的定义知|PF| m p2m25，所以m3，则点P的坐标为(3，2 )，所以 解得a 21，b 23，所以双曲线的离心率e6 a2 b2 4，9
12、a2 24b2 1，) ca2.故选D.8解：令直线l的方程为x kyb，代入y 22x得y 22ky2b0，设A( x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 22k，y 1y22b.因为k 1k2 ，所以 23 ，即 ，即b3.所以直线l 的方程为xky 3，当y0时y1y2x1x2 23 y1y2（ky1 b）（ky2 b） y1y2k2y1y2 kb（y1 y2） b2 2b，x3，即l的横截距为3.故选A.9解：依题意可知F ，不妨令点A在第一象限，设点A(x 0，y 0)，因为|CF |3p，所以由|CF |2|AF| 可得|AF|(p2，0)，再由抛物线的定义可得|AF |
13、AB| ，即x 0 ，所以 3p2 3p2 p2 3p2x0p，y 0 p，即A(p， p)，所以AFC的面积为 3p p p2，由相似比可知ACE的面积为 p2 p2 212 2 322 13322 2223 ，所以 p 26，即p .故选A.2 610解：由 2 可知，E为FP的中点，令右焦点为F，则O为FF的中点，所以OE 为 PFF的中位线，即OP OE OF PF2OEa，由 PFPF2a得PF 3a，因为OEPF，所以PFPF，在 RtFPF中，PF 2PF 2FF 2，则(3a) 2a 2(2c) 2，即e .故选C.ca 10211解：因为抛物线y 22px(p 0)的焦点F
14、，(p2，0)所以c a， 所以双曲线方程为 1.因为点M是双曲线与抛物线的一个交点，且|MF| p，p2 x2a2 y2p24 a2 54所以x M p，x M ， 代入抛物线y 22px得M ，p2 54 5p4 p2 3p4 (3p4， 6p2)代入双曲线方程得9p 4148p 2a264a 40，解得p4a或p a，因为p2a，所以p4a.23联立两式得c2a，即e 2.故选A.12解：因为|AB| BF2|AF 2|345，不妨设|AB|3t ，|BF 2|4t，| AF2|5t，因为| AB|2|BF 2|2| AF2|2，所以7ABF 290 ，又由双曲线的定义得|BF 1|BF
15、 2|2a，|AF 2|AF 1|2a，所以| AF1|AB| BF2|2a，即|AF 1|2at，又5t(2at)2a，即ta.所以|BF 1|3t (2 at )6a，|BF 2|4a，且| F1F2|2c，在Rt BF1F2中，| F1F2|2|BF1|2 |BF2|2，即 (2c)2(6 a)2(4a) 2，所以e .故选A.ca 1313解：由双曲线的标准方程知a 22，b 24，则c 2a 2b 26，所以e .故填 .ca 62 3 314解：由题意，得k OP 2，则该圆在点P处的切线的斜率为 ，所求切线方程为y2 (x1)，即x2 01 0 12 122y50.故填x2y 5
16、0.15解：易知|OF|1, | PF|2，则| | | .故填 .OF PF OP |OF|2 |FP|2 5 516解：由双曲线的定义得|F 1A|F 2A| |F2A|2 a，则|F 1A|4a，因为双曲线的离心率为 ，则|F 1F2|2c5a.在AF 1F2中，cos AF 2F152 25a2 4a2 16a225a2a .故填 .1320 132017解：由椭圆 1c5. 设双曲线方程为 1(a0，b0)，x249 y224 x2a2 y2b2由渐近线为y x，得 ，且 a2b 225，则a 29，b 216. 故所求双曲线方程为 1.43 ba 43 x29 y21618解：(1
17、)依题意可设P (a0)，易知F(0，1)，(a，a24)因为|PF|2，结合抛物线的定义得 12，即a2，所以点 P的坐标为(2 ，1)a24(2)设点P的坐标为 (a0)，(a，a24)则点P到直线y x10的距离 d .|a a24 10|2|a24 a 10|2因为 a10 (a2) 29，所以当a2时， a10 取得最小值9，a24 14 a24故点P到直线y x10的距离的最小值 dmin .92 92219解：(1)由题意可知a2b，且2a4，所以a2，b 1，则椭圆C的方程为 y 21.x24(2)易知A点坐标为(2，0)，直线MN过定点D (1，0)，即可令直线MN的方程为x
18、my1，联立 消去x得(m 24)y 22my30，x my 1，x24 y2 1)令M(x 1，y 1)，N( x2，y 2)，则y 1y 2 ， y 1y2 ，2mm2 4 3m2 48所以S AMN |AD|y1y 2| 2 ，12 12（y1 y2）2 4y1y2 12 4m2（m2 4）2 12m2 4 m2 3（m2 4）2令tm 23，则t3，所以S AMN2 2 2 ，t（t 1）2 1t 1t 2 13 13 2 32所以当且仅当tm 233，即m 0时，AMN的面积取最大值，最大值为 . 3220解：(1)由题意知c1，根据椭圆的定义得2a 2 ，（ 1 1）2 ( 22)
19、2 22 2即a ，所以b 2a 2c 22 11.所以椭圆C的标准方程为 y 21.2x22(2)假设在x轴上存在点Q(m， 0)，使得 恒成立QA QB 716当直线l的斜率为0时，即A( ，0) ， B( ，0)2 2则( m，0)( m，0) ，解得m .2 2716 54当直线l的斜率不存在时，即 A ，B .(1，22) (1， 22)则 ，解得m 或m .(1 m，22)(1 m， 22) 716 54 34由可知当直线l的斜率为 0或不存在时，m 使得 成立54 QA QB 716下面证明当m ，即Q 时， 恒成立54 (54，0) QA QB 716设直线l的斜率存在且不为0
20、时，直线 l的方程为yk(x1)，A (x1，y 1)，B( x2，y 2)，由 可得(2k 21) x24k 2x2k 220，所以x 1x 2 ，x 1x2 .y k（x 1），x22 y2 1) 4k22k2 1 2k2 22k2 1因为y 1k(x 1 1)，y 2k (x2 1)，所以y 1y2k (x11)k(x 2 1)k 2x1x2 (x 1x 2)1k 2 ，(2k2 22k2 1 4k22k2 1 1) k22k2 1所以 x 1x2 (x1x 2) y 1y2 .QA QB (x1 54，y1)(x2 54，y2) 54 2516 2k2 22k2 1 54 4k22k2
21、 1 2516 k22k2 1 716综上所述，在x轴上存在点Q ，使得 恒成立(54，0) QA QB 71621解：(1)由题意可知F 1( 1，0)，F 2(1，0) ，即c 1，因为PF 1F2的周长为6，所以|PF 1|PF 2|2c 2a2c6，所以a2，则b ，所以椭圆的标准方程为 1.a2 c2 3x24 y239(2)证明：由(1)知P ，可知两直线斜率均存在，(1，32)设直线PE的方程为y k (x1) ，则联立 得(34k 2)x24k(32k) x4 120，32 x24 y23 1，y k（x 1） 32) (32 k)2 设E(x E，y E)，F(x F，y F
22、)因为点P 在椭圆上，所以x E ，y Ekx E k，(1，32) 4(32 k)2 123 4k2 32又直线PF的斜率与PE 的斜率互为相反数，将上式中以k代k，可得xF ，y Fkx F k，所以直线EF的斜率k EF ，4(32 k)2 123 4k2 32 yF yExF xE k（xF xE） 2kxF xE 12即直线EF的斜率为定值，其值为 .1222解：(1)由已知得c ， a2b 22，且b| OM|1，解得a ，则椭圆C 的方程为 y 21.2 3x23(2)当直线l的斜率不存在时，由 得x1，y ，设A ，B ，x 1，x23 y2 1) 63 (1，63) (1，
23、63)则k 1k 2 2.2 6322 632当直线l的斜率存在时，设直线 l的方程为yk(x1)，将 yk(x1)代入 y 21，化简整理得x23(3k21)x 26k 2x3k 230，依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x 1，y 1)，B( x2，y 2)，则x 1x 2 ，x 1x2 ，6k23k2 1 3k2 33k2 1又y 1k(x 11)，y 2k (x21)，所以k 1k 2 2 y13 x1 2 y23 x2 （2 y1）（3 x2） （2 y2）（3 x1）（3 x1）（3 x2） =2 k（x1 1）（3 x2） 2 k（x2 1）（3 x1）9 3（x1 x2） x1x2 12 2（x1 x2） k2x1x2 4（x1 x2） 69 3（x1 x2） x1x2 2. 综上得k 1k 2为定值.12 2 6k23k2 1 k(23k2 33k2 1 4 6k23k2 1 6)9 3 6k23k2 1 3k2 33k2 1 2()1
