1、智浪教育普惠英才文库高中数学竞赛专题讲座解析几何一、选择题部分1(集训试题)过椭圆 C： 上任一点 P，作椭圆 C 的右准线的垂线 PH（H 为垂123yx足） ，延长 PH 到点 Q，使|HQ|=|PH|(1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时，点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为 （ ）A B C D3,0( 23,()1,3)1,23(解：设 P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为 x=3，所以 H 点的坐标为(3, y)。又HQ= PH，所以 ，所以由定比分点公式，可得： ，代PQHyxx1)(入椭圆方程，得 Q 点轨迹为 ，所以离心率 e=123)1(2yx. 故选 C.)
2、,321232 （2006 年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y12 上,则抛物线方程为(D)A B C D21yx21yx216y216yx3 （2006 年江苏）已知抛物线 ， 是坐标原点， 是焦点， 是抛物线上的点，pOFP使得 是直角三角形，则这样的点 共有（B）POFPA0 个 B2 个 C4 个 D6 个4 （200 6 天津）已知一条直线 与双曲线 （ ）的两支分别相交于 、l12byax0aP两点， 为原点，当 时，双曲线的中心到直线 的距离 等于（A ）QOQPld智浪教育普惠英才文库A B C D2ab2abab2ab25(2005 全国)方
3、程 表示的曲线是 （ 13cos3sini 2yx）A焦点在 轴上的椭圆 B焦点在 轴上的双曲线xC焦点在 轴上的椭圆 D焦点在 轴上的双曲线y y解： 即),23cos()2cos(,2320,32 .sini又 ,03cos,03cos,s,32,0方程表示的曲线是椭圆.)(42sin(2si)s(co)sin(i ,03si(.34,32,023,023 即 曲线表示焦点在 轴上的椭圆，选 C。.)(式 .cossini y6 （2006 年浙江省预赛）已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 ，25,则满足条件的直线 L 共有 条.（C ）A1 B2 C3
4、D4解: 由 分别以 A，B 为圆心， ， 为半径作两个圆，则两圆外切，有,525三条共切线。正确答案为 C。7 （2006 年浙江省预赛）设在 平面上， ， 所围成图形的面积为 ，xOy20xy131则集合 的交集 所表示的图,1),(M),(NNM形面积为 （B）A B C D 3132134解： 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称，由此 的图形面积N智浪教育普惠英才文库只要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得， 的图形在第一象限的面积为 A . 因此NM6132的图形面积为 . 所以选（B） 。N32二、填空题部分1
5、 （200 6 天津）已知椭圆 （ ） ，长轴的两个端点为 、 ，若椭圆12byax0aAB上存在点 ，使 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是 Q0ABe136e2 （2006 年江苏）已知 ，则 的最大值是 9 30yx2xy3 （2006 吉林预赛）椭圆 x2/a2+y2/b2=1(ab0)的右顶点为 A，上顶点为 B，左焦点为 F，若ABF 是直角，则这个椭圆的离心率为 _。4 （2006 陕西赛区预赛）若 a，b，c 成等差数列，则直线 ax+by+c = 0 被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 218xy 12)()1(2yx5(2005 年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：
6、先从原点 O 沿正东偏北 （ ）方向行走一段20时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为 10 米/分钟，则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 .【解】：如图，设机器人行走 2 分钟时的位置为 P . 设机器人改),(yx变方向的点为 A， ， 。则由已知条件有 ，以及aOb201baA xy P(x,y)O1,3,51,3,5智浪教育普惠英才文库.所以有 bayxsinco20)cos(in4)(i222 baayxb即所求平面图形为弓形，其面积为 平方米.016 （2006 年浙江省预赛）已知 , RyxyA ,0)1(sin(),(2。若 为单
7、元素集，则 .RkxyB,3),( B3k解 由 1)(sin1,cos 0)sin1()cos(0(222222 yxyx为单元素集，即直线 与 相切，则 .BA3ky 3k7(2005 全国)若正方形 ABCD 的一条边在直线 上，另外两个顶点在抛物线72xy上.则该正方形面积的最小值为 80 .2xy解：设正方形的边 AB 在直线 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为172xy、 ，则 CD 所在直线 的方程 将直线 的方程与抛物线),(1yxC),(2yxDl,2bxyl方程联立，得 令正方形边长为 则.12,1bxba).(0)(5)()( 21212 yxa在 上任取一点（6，,5）
8、 ，它到直线 的距离为 .7y bxy5|17|,ba、联立解得 或,80.3,221ab .80.122min8 （2004 全国）在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点 M（1，2）和 N（1，4） ，点 P在 X 轴上移动，当 取最大值时，点 P 的横坐标为_.MPN解：经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3x 上，设圆心为S（a，3a） ，则圆 S 的方程为： .对于定长的弦在优222()(3)()xaya弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当 取最大值时，经P过 M，N，P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 a 值必
9、须满足智浪教育普惠英才文库解得 a=1 或 a=7。即对应的切点分别为 ，而22(1)(3,a (1,0)(7,)P和过点 M，N， 的圆的半径大于过点 M，N ，P 的圆的半径，所以 ，p MNP故点 P（1，0）为所求，所以点 P 的横坐标为 1。三、解答题部分1(集训试题)已知半径为 1 的定圆P 的圆心 P 到定直线 的距离为 2，Q 是 上一动点，llQ 与P 相外切，Q 交 于 M、N 两点，对于任意直径 MN，平面上恒有一定点lA，使得MAN 为定值。求MAN 的度数。解：以 为 x 轴，点 P 到 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系，设 Q 的坐标为(x, l0)，点 A
10、(k, )，Q 的半径为 r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以 x= , tanMAN=232krxhorxkAMN11，3223)32()(2 222 rkrkhhhrkx 令 2m=h2+k2-3，tan MAN= ，所以 m+r k =nhr，n1rm+(1-nh)r= ，两边平方，得：m 2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，32rk因为对于任意实数 r1，上式恒成立，所以 ，由（1） （2）式，得)3()1(2knhm=0, k=0，由（ 3）式，得 n= .由 2m=h2+k2-3 得 h=
11、，所以 tanMAN= =h=h n。所以MAN=60 或 120（舍） （当 Q(0, 0), r=1 时MAN=60） ，故3MAN=60.2 （2006 吉林预赛）已知抛物线 C：x 2=2py(p0)，O 是坐标原点， M(0，b)(b0)为 y 轴上一动点，过 M 作直线交 C 于 A、B 两点，设 SABC =mtanAOB，求 m 的最小值。 （ 0.5p 2 ）1,3,5智浪教育普惠英才文库xyoABCDP3 （2006 年南昌市）(高二)给定圆 P: 及抛物线 S: ,过圆心 作直线 ,2xy24yxPl此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 ,如果线段,ABCD,A
12、BCD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程.解:圆 的方程为 ,则其直径长 ,圆心为 ,设 l 的方程为P21xy210,即 ,代入抛物线方程得: ,设kyxk24yk2 xy有 ,则421 212121)()(y故 )4()()()(| 21212121 yyxyAD,因此22121 )(6)4()(k)(|2kA据等差, ,BCADBC所以 即 ,63AD6)1(42k2则 l 方程为 或 .yxyx4 （2006 年上海）已知抛物线 ，其焦点为 F，一条过焦点 F，倾斜角为2(0)p的直线交抛物线于 A，B 两点，连接 AO（O 为坐标原点） ，交准线于点 ，(0) B连接
13、BO，交准线于点 ，求四边形 的面积解:当 时， （4 分）22ABSp当 时，令 设 ，则由tank12(,)(,)xyB智浪教育普惠英才文库， ， ()2pykx2ypx消去 x 得， ，所以0k， 12y21y又直线 AO 的方程为： ，即为 ，1x12pyx所以，AO 与准线的交点的坐标为 ，21(,)By而由知， ，所以 B 和 的纵坐标相等，从而 轴同理 轴，21py BxAxA故四边形 是直角梯形（9 分）AB所以，它的面积为 1()22ABSA2111()()xyy21yk21122()4yk（14 分）3322 2(cot)pp5 (2005 年浙江)（20 分）设双曲线 的
14、左、右焦点分别为 ， ，若12yx1F2的顶点 P 在第一象限的双曲线上移动, 求 的内切圆的圆心轨迹以及该21F 2FP内切圆在边 上的切点轨迹。【解】 如图，记双曲线在 轴上的两顶点为 A(1, 0)， B(-1, 0)，G 为 的内切圆x 21FP在边 上的切点，H 为 的内切圆在边 上的切点， K 为 的内切圆21F21FP2PF在边 上的切点。则有PB/A/FBAO xy智浪教育普惠英才文库-5 分2121HFKGF )()(21HPFK21F由双曲线的定义知，G 必在双曲线上，于是 G 与 A(1, 0)重合，是定点。而 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，2A所以 的内切圆在
15、边 上的切点的轨迹是以 为圆心，1FP2PF)0 ,2(F为半径的圆弧。- 10 分因为 是在 第一象限的曲线上移动，当 沿双曲线趋于无穷时，),(yx12y2P与 轴正向的交角 的正切的极限是 1limtanli xx即 。 故点 H 的轨迹方程为 (极坐标形式) ， （4sin)2(coy）- 15 分也可以用直角坐标形式。由于 G 与 A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为 （ ） 。 - 20 分1x0y6 （2006 浙江省）在 轴同侧的两个圆：动圆 和圆x1C外切（ ） ，且动圆 与 轴相024422 bayyax 0,aNb1Cx切，求（1）动圆 的圆心
16、轨迹方程 L;1C（2）若直线 与曲线 L 有且仅有一个公共点，069584)7(42abayx求 之值。ba,解：（1）由 可得222yxyx,)41()2(ayax智浪教育普惠英才文库由 N，以及两圆在 轴同侧，可知动圆圆心在 轴上方，设动圆圆心坐标为ba,xx, )(yx则有 ,41)()2(2aya整理得到动圆圆心轨迹方程 .（5 分）bx22)(a另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以 为焦点， 为准线，且顶点41,y41在 点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程)0,2(ab，即 （5 分）yx1 )2(42abxbax（2）联立方程组 )(22069584)17(42abayx消去
17、得 ，y )(72x由 整理得,6ab69582从可知 。 故令 ，代入可得a721712再令 ，代入上式得.72b1b（10 分）12947a同理可得， 。可令 代入可得1,a,mn智浪教育普惠英才文库nm14272对进行配方，得 ,71)71(22m对此式进行奇偶分析，可知 均为偶数，所以 为 8 的倍数，n, 22)71(n所以 。令 ，则 .4r245r所以 （15 分）654321,0，仅当 时， 为完全平方数。于是解得,r7r. （20 分）)(06958不 合 ， 舍 去ba84ba784ba10 （2004 全国）设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 也是一个正整数，则2pkk=_.解：设 ，22*224,0,nknNpn则从而 是平方数，设为24p2* 2,()mmp则 22113,4nppn是 质 数 ， 且 解 得. （负值舍去）22(1)(1),244pmpkk故1,3,5
