量子力学习题.doc

1、河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量 G 在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋 zS 表象下，波函数 ),(),(21 zyx zyx 如何归一化 ？解释各项的几率意义。 二（ 20 分） 设一粒子在一维势场 cbxaxxU 2)( 中运动（

2、 0a ）。求其定态能级和波函数。 三 （ 20 分） 设某时刻，粒子处在状态 )c o s( s in)( 212 kxkxBx ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（ 20 分） 某体系存在一个三度简并能级，即 EEEE )0(3)0(2)0(1 。在不含时微扰 H 作用下，总哈密顿算符 H 在 )0(H 表象下为21100EEEH。求受微扰后的能量至一级。 五（ 20 分） 对电子，求在 xS 表象下的 xS 、 yS 、 zS 的矩阵表示。 A 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量 子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方

3、式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、何为束缚态？ 2、 当体系处于归一化波函数 ( , )r t 所描述的状态时，简述在 ( , )r t 状态中测量力学量 F 的可能值及其几率的方法。 3、 设粒子在位置表象中处于态 ),( tr ,采用 Dirac 符号时，若将 ( , )r t 改写为 ( , )r t 有何不妥？采用 Dirac 符号 时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、 Stern Gerlach 实验证实了什么？ 二（ 20 分） 设 粒子在三维势场 ax azyx

4、U x0,中运动，求粒子定态能量和波函数。 三 （ 20 分） 一维运动的粒子在态 000 xxA x ex x当当 中运动，其中0 。求 ? 22 px 四（ 20 分） 求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五（ 20 分） 对自旋为 21s 的粒子，求在 Sy 表象中 Sx 、 Sy 、 Sz 的矩阵表示。 B 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（ 共 20 分，每小题 4 分） 1、 一个物理体系

5、存在束缚态的条件是什么？ 2、 两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、 测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如 ()H0 的某一能级 )0(nE ，对应 f 个正交归一本征函数 i （ i =1， 2， f），为什么一般地 i 不能直接作为 HHH 0的零级近似波函数？ 5、 在自旋态 12 ( )sz中， Sx 和 Sy 的测不准关系 ( ) ( ) S Sx y2 2 是多少？ 二（ 20 分） 求 在三维势场 byaxzyxU 且当 其它区域0,中运动的粒子的定态能量和波函数。 三 （ 20 分） 求氢原子基态的最可几半径。 四（ 20 分） 已知哈密顿算符 H

6、 在某表象下2020500biiacH 且知其基态 E0= 3 ，求实数 a， b， c。 五（ 20 分） 求在 Sz 表象下， ( )Sn x z 2 12 32 的本征值及本征函数。当体系处于 12( )sz态时，求 Sn2的几率为多少？ C 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、 在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态 Schrodinger方 程 的

7、解 ？ 同 一 能 量 对 应 的 各 简 并 态 的 迭 加 是 否 仍 为 定 态Schrodinger 方程的解？ 2、 两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 3、 说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 4、何谓选择定则。 5、 能否由 Schrodinger 方程直接导出自旋？ 二（ 20分） 求在一维势阱 其它 bxaUxU 0中运动的粒子的定态能级和波函数。 三 （ 20分） 当体系处在状态 c o s2 3s in2 1 时，（这里 为角坐标）。求角动量 z分量 Lz 的可能值及其平均值。 四（ 20 分） 转动惯量为 I ，电偶

8、极矩为 D 的空间转子，处在均匀电场 中，如电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。 五（ 20 分） 已知 J J iJx y ， J 为角动量 算符， jm 为 ,J Jz2 共同本征态，试证明： ( ) ( ) ,J jm j j m m j m 1 1 1 D 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 E （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、叙述 量子力学的态迭加原理。 2、 厄米算符是如何定义的？ 3、

9、据 a ， a =1， aaN ， nnnN ，证明： 1 nnna 。 4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适 用条件。 5、 自旋 S2 ，问 是否厄米算符？ 是否一种角动量算符？ 二（ 20 分） 粒子在势场 axaxaxxU 2221 中运动，求其定态能级及波函数。 三（ 20 分） 氢原子处于基态。求 (1) r 的平均值； (2) 动量 P 的平均值 四（ 20 分） 已知哈密顿算符3020001aiaiH 求：（ 1）能量本征值；（ 2）当 a 很小时，能量修正至二级。 五（ 20 分） 设 ( ) , F l l L J L Sl 12 1 1 1 ，其中 , L S

10、2 分别为轨道角动量和自旋 s12 的自旋角动量。 lj, 分别为 ,L J2 2 的量子数。求证：在 l 确定的态中，当 j l 12 时 Fl 1 ；当 j l 12 时 Fl 0 。 E 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 F （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。 2、 动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。 3、 知 Ge ex x ，问能否得到 G ddx

11、 ？为什么？ 4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。 5、 简单 Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？ 二（ 20 分） 求在辏 力场势 ar arrU 0中运动的粒子，当 l=0 时的定态能级与波函 数。（ l为角量子数） 三（ 20 分） 证明 xL ， yP = zPi 。其中 xL 为轨道角动量 x 分量， yP 为动量 y 分量。 四（ 20 分） 已知哈密顿算符在某表象下 302020201biiaH 。求： （ 1）实数 a， b；（ 2）能级和本征态。 五（ 20 分） 已知 ( ) H A S S S B Lx y z z 2 2 2，其中 S 为自旋 21s 的自

12、旋角动量，L 为轨道角动量。求体系的定态能级与波函数。 F 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 G （ 注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、 不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级 En 的简并度是多少？若粒子自旋为 s，问 En 的简并度又是多少 ? 2、根 据 ,1 HFitFdtFd 说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。 3、 对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别 ？

13、4、简述氢原子的一级 stark 效应。 5、 写出 J jm 的计算公式。 二（ 20 分） 已知 粒子在势场 axaxxUxU 当当当0000中运动， 00U ，求束缚态能级所满足的方程。 三 （ 20 分） 证明： x ， )(Pf = xPi )(Pf 四（ 20 分） 求线性谐振 子在动量表象下的能级和波函数。 五（ 20 分） 已知体系 ( ) H A L L L B Sx y z z 2 2 2，其中 L 为轨道角动量， S 为自旋（ 21s ）角动量。求体系的定态能级与波函数。 G 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学

14、 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 H （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、由 12 d ，说明波函数的量纲。 2、 F 、 G 为厄米算符，问 F ， G 与 i F ， G 是否厄米算符？ 3、据 a ， a =1， aaN ， nnnN 证明： 11 nnna 。 4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？ 5、什么是耦合表象？ 二（ 20 分） 粒子在势场 其它 且当 czby,x0, azyxU中运动，求其定态能级及波函数。 三 （ 20 分） 球谐振子基态为 222123

15、 re ，求动能平均值和最可几半径。 四（ 20 分） 某体系 0H 存在三个非简并能级： E01， E02， E03，相应波函数为 01 ，02 ， 03 。受微扰 cdedbaieaiaH 下，求其能量至二级，波函数至一级。（注： H 是在 0H 表象下给出的）。 五（ 20 分） 求在 zS 表象下， )(22222 yxnS 的本征值及本征函数。当体系处于 12 ( )sz态时，求 2nS的几率为多少？ H 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 I （注：考生务必将答案写

16、在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、 不考虑粒子内部自由度，宇称算符 P 是否为线性厄米算符？为什么？ 2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。 3、 已知 aax 2 21 ， aaip x 2121 ，且 1 nn na ，11 nn na ，试推出线性谐振子波函数的递 推公式。 4、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。 5、 何谓无耦合表象？ 二（ 20 分） 粒子在 222221 2121, yxyxU 中运动，求其定态能级及波函数。 三 （ 20 分） 证明： 2122222 rPrrrr ，其中 rriPr 1 。 四（ 20分

17、） F 在某表象下矩阵形式为 0000000iiF ，求其本征值及本征函数。 五（ 20 分） 证明 ( )( ) ( ) A B A B i A B。其中 ,AB 为与 对易的矢量算符， S2 为 s12 的自旋算符。 I 1 1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 J （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共 20 分，每小题 4 分） 1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。 2、 G ， G 是否线性算符？ 3、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩

18、阵？ 4、何谓选择定则？ 5、写出 jmJ 公式。 二、（ 20 分） 已知粒子在 bxa0ax0bx0x0 当 当或当UxU 中运动，求束缚态能级满足的关系式。 三、 （ 20 分） 设粒子在一维无限深势阱中运动，其基态能量为2221 2 aE ，现体系处在由归一化波函数 axaxa 2c o ss in24 所表示的状态，求： （ 1）包含区间 0,4a 的势阱位置；（ 2）写出测量基态的几率的计算公式。 四、 （ 20 分 ） 当 l 1 时，求在 zL 表象中 xL 与 yL 的矩阵表示。 五、 （ 20 分） 求在 ,)(,)(231 11211021 YsYs zz中，算符 2J 与zJ 的本征值。 J 1 1