1、2007年第 46卷第 5期数学通报 数学课程标准的若干思考 史宁中 (东北师范大学长春 130024) 编者按史宁中教授是数理统计学家自 1998年担任东北师范大学校长后，他对中小学教育做过深入 的思考，并于 2005年开始主持教育部九年义务教育数学课程标准的修订工作史校长将学校的主要培养 目标定位于教师的职前教育，主张数学教师的培养要注重专业课的学习，将教育理念渗透到课程当中目前 东北师大数学系的毕业生遍布于全国各地的中学，包括各大城市的许多重点中学，这件事情成为他的骄傲 本文根据史校长 4月 14日 在宁波数学教育高级研修班上的报告记录和4月 26日访问北京师范大学的座谈 记录整理而成
2、1 制定数学课程标准的目的 为什么要制定课程标准呢 ?为什么要进行如此 大规模的课程与教学改革呢 ?有的人说是要解决应 试教育的问题，有人说要减轻学生的负担，还有人 说要激发学生学习的兴趣等等，有各种各样的理 由但是我想这些都不是根本教育的好坏取决于 两条：第一，是不是有利予学生的发展；第二，是不 是有利于国家的发展如果教育既有利于学生的发 展又有利于国家的发展，即便辛苦一点也没什么了 不起的 我之所以说这些，是 因为在讨论问题时应当遵 循一个原则，也就是在考虑任何问题时应该有个很 好的出发点，这个出发点应当是大家公认的标准 关于学生发展的需要我不想谈的更多，过去的 教育是一种专业人才的培养，
3、专业人才的培养适应 于计划经济但是对市场经济来说，学生毕业之后 的工作、求职往往是会变化的，而且要更多地尊重 本人专业的志向，因此要采用自主发展的人才培养 模式 第二就是国家发展的需要现在国家最需要的 是创新人才，为什么呢 ?因为中国的经济已经得到 了快速的发展，要保持这个速度发展，创新是很重 要的新的思想、新的工艺、新 的技术很重要，所以 创新人才的培养是国家重要的发展战略 创新人才应该在基础教育阶段开始培养，这个 想法已经被国家采用了过去大家误认为创新型人 才都是在大学或者是工作之后才培养的，其实不 然为什么呢 ?创新最起码依赖于三个条件，创新意 识、创新能力和创新机遇事实上创新意识、甚至
4、创 新能力都是在基础教育阶段培养一个在 18岁之前 一个问题都没有认真思考过的孩子是不可能成为 创新型人才的所以在基础教育阶段应该培养学生 的创新意识和刽新能力，这是我们研制课程标准和 未来教学的最基本的出发点 2 创新能力的 基础 创新能力依赖于三方面：知识的掌握、思维的 训练、经验的积累，三方面同等重要关于“知识的 掌握”，我国的中小学数学教育是没有问题的；关于 “经验的积累”，大概还差得很多；关于“思维的训 练”，我们做得也不够，只能打五十分那么为了创 新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工 作我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去 创新，帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验，
5、没有这样的意识 我今天主要谈一谈思维训练思维训练主要靠 两个能力，一个是演绎能力，一个是归纳能力。爱因 斯坦说过：“西方科学的发展 是以两个伟大成就为 基础，希腊哲学家发明的形式逻辑体系 (在欧几里 德几何中 )，以及通过系统的实验发现有可能找出 因果关系 (在文艺复兴时代，特别是工业革命以 后 )”前者指的是演绎能力，后者指的是归纳的能 力 万方数据 2 数学通报 2007年第 46卷第 5期 3 我国教育的现状 回忆我们的数学教育，特别是 50年代的数学教 育，我们强调数学的双基双基主要是基础知识和 基本技能基础知识本质上是概念的记忆和命题的 理解，要求基础知识扎实；还要求基本技能，主要是
6、 证明的技能和运算的技能；要求熟练这是我们当 时整 个教育的状况，也就是说我国的数学教育主要 关注的是演绎能力的培养关于这一点，杨振宁先 生深有体会他在我的生平中说：“我很有幸能够 在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我 在中国学到了演绎能力，在美国学到了归纳能力” 不仅仅是杨振宁先生，许多留学生都有同感，不管 他们是否作出了卓越的成绩，他们的感受是一样 的事实上，我国古代传统数学的基础是归纳推理， 因为在古代中国根本就没有演绎推理，一直是归 纳、计算但是现在归纳少了，演绎反而多了演绎 从康熙时代翻译几何原本开始到现在也不过几 百年 历史，但是现在却占了主导为什么会出现这 种情况 ?我想
7、大概演绎和中国上千年的科举考试关 系密切因为科举要求的是基本功扎实，知识记忆 的牢靠和八股文的写作演绎方法与此有相似之 处 现在，很多中学提出来，数学问题应该“一看就 会、一做就对”怎么能这样呢 ?不经过思考的不是 数学，数学不是技能训练一定程度的熟练是必要 的，但是过分强调就走向反面所以我这次跟教育 部很认真地提出来，要不然增加考试时间，要不然 减少考试题目只要学生经过思考能够答出就是好 样的 演绎能力是能够熟练使用演绎推理的能力演 绎 推理来源于什么呢 ?来源于亚里士多德当时的 古希腊非常盛行辩论，在辩论过程中，亚里士多德 发现两个事情需要清楚，第一，大家讨论问题得有 一个脱离逻辑背景的公
8、认前提；第二，在讨论过程 中必须有一个大家都认为可行的推理的办法，然后 再来推理亚里士多德对这个进行了总结，并将其 写入工具论这本书里他提出了著名的三段论， 即大前提、小前提和结论这个方面他有一个非常 重要的推理的模式，这个模式之一就是： 凡人都会死，苏格拉底是人，苏格拉底会死 凡人都会死是大前提，苏格拉底是人是小前 提，苏格拉底会死是结论 这是一种标准的三段论 模式这是一种前提和结论之间有必然性联系的推 理，是基于概念、按照规则进行的一种推理，是由一 般到特殊的推理欧几里德把这个思想成功地用到 了几何学的研究上，创立了几何公理化体系，即欧 氏几何 欧几里德几何是现代数学推理的典范，甚至是 开
9、源它的演绎推理是基于公理、定义和符号的，按 照规定的法则进行命题的证明或者公式的推导从 这个意义上来说，计算也是一种演绎的推理，因为 计算也是对符号在规定的法则下进行的一种推理 其基本推理模式是这样的：已知 A求证 B， A和 B都 是确定的命题，是由 确定的命题到确定的命题的一 种推理我们往往认为几何证明是数学的本质，这 是不正确的克莱因说，推理本身是个工具逻辑可 以是数学的标准和约定，但不是它的本质演绎推 理的主要功能在于验证结论而不在于发现结论，由 一般到特殊的推理本质上在于验证结论 前些年我写了篇文章，提出个问题：数学到底 是发明的还是发现的 ?事实上，在一个体系之下作 出任何结果都是
10、显然的为什么呢 ?因为这个结果 在体系中必然存在的，只是你发现它而已所以体 系建立有好处也有坏处它的好处在于讲课可以很 规范，坏处在于任何东西都是显然的 所以忙于建 立一个体系不是什么好的事情 4还缺少什么 那么我们还缺少什么呢 ?缺少的是根据情况预 测结果的能力和根据结果探究成因的能力这两个 能力很重要，是创新的基础前者有利于创造新产 品，形成新工艺；后者有利于发现新理论 拉普拉斯说，发现真理的主要工具是归纳和类 比庞加莱说，数学推理的性质是什么 ?真是我们通 常所认为的演绎吗 ?归纳能力是能够熟练使用归纳 推理的能力现代归纳推理来源于培根，他在新工 具论中谈到，就“帮助人们寻求真理”而言，
11、三段论 的“坏作用多于好作用”。黑格尔也有类似的说法 数学在本质上研究的是关系 (各种关系 )，最难研究 的是因果关系数学这些年来最核心的研究也是因 果关系，因果关系几乎无法用式子表达，但可以研 究其内涵休谟利用归纳和类比思想研究了因果关 系，虽没完全搞清楚因果关系，但是对因果关系研 究做出了很大的贡献，而这已经成为现代科学的动 力穆尔在他的著作论自由中认真地总结了归纳 万方数据 2007年第 46卷第 5期数学通报 3 推理归纳推理十分庞杂，就方法而言，包括枚举 法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察 实验、比较分类、综合分析与演绎推理相反，归 纳 推理是一种从特殊到一般的推理穆尔
12、说过，“这句 话不是很确实的，归纳推理是一种从特殊到范围更 广的推理”归纳推理主要包括两种方法，归纳法和 类比法借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果 和探究的能力，这是演绎推理不可比拟的，因此从 方法、思维角度来说，过去双基教育缺少了对归纳 能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创 新人才不利 5 如何培养归纳能力 现在的教育本质上是知识的教育，考察的是该 教的内容是否教了，教了的知识学生是否掌握了 这样的教育是不够的我们必须知道教育应该是以 人为本的教育 ，要考虑学生的全面发展不仅考虑 学生知识的掌握，还要考虑身心的发展，要考虑能 力、思维的教育所以新课标提出的三维目标很重 要，除了知识
13、能力的考察外，还要考察过程的目标、 情感态度的目标 演绎推理表现为一种知识，归纳推理则表现为 一种智慧知识和智慧有什么不同呢 ?我在一篇文 章中谈到，“知识在本质上是一种结果，可能是经 验的结果，也可能是思考的结果”单纯追求知识的 教育是一种结果的教育，这种教育要走在时代的前 面是不可能的“智慧并不表现在经验的结果上，也 不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程， 表 现在思考的过程中 智慧表现于对问题的处理， 对危难的应付，对实质的思考以及实验的技巧等 等”归纳能力是建立在实践的基础上的，更多地依 赖于过程，依赖于经验的积累 要培养一个人的创新能力，必须注重过程，启 发思考，总结经验，教会反
14、思“过程的教育”不是指 在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过 程，甚至不是指知识的呈现方式而是学生探究的 过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理 的过程、反思的过程等等讨论知识产生的过程是 必要的，但是不可能把知识产生过程都重复一遍， 因此，重要的是加 深对问题本身的理解，并且能够 抓住问题的本质，启发新的思考比如函数，现在函 数的定义非常好，但是当初并不是这样定义的当 初“ function”是莱布尼兹给出的，他当时定义的只 是图形与数量的对应虽然他的定义是有问题的， 但是他抓住了函数最本质的东西虽然以后定义改 的非常好了，本质却看不见了一个学者或发明家 得到的最后结论可能是非
15、常完美，但头脑中思考的 是非常简洁的东西我在教研究生时，总是让学生 先读懂华丽文章的背后思考的东西是什么、思考的 主线是什么、思考的核心是什么，这个读出来才能 发明创造， 把根本的东西吃透了才能得到新的东 西现在，数学课堂上讨论的很热闹，讨论时是一锅 粥，讨论完了还是一锅粥为什么呢 ?老师必须帮学 生总结，不是总结结论对还是错，而是讨论过程中 孩子的思考对还是不对，思考的是符合常理还是不 符合常理老师帮助孩子反思总结，积累经验，这是 我们的目的我们必须清楚，世界有很多东西是不 可传递的，只能靠亲身经历，比如智慧智慧并不完 全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验， 你只能让学生在实际操作中磨练，自己去感悟，去 积累去反思 下面我举例说明 先讲分类分类是很重要 的可以给小学三年 级以下的学生出这样的题目：自己选择某一个标准 将全班同学分成两类，并与同学交流分类的标准和 分类的结果分类有个基本的原则，能把类分出来，
