1、 皖 西 学 院 本科毕业论文（设计） 论 文 题 目 微分中值定理应用初探 姓名（学号） 倪森 系 别 数 理 系 专 业 数学与应用数学 导 师 姓 名 邵毅 二一一年四月 微分中值定理应用初探 作 者 倪森 指导教师 邵 毅 摘要 ：本文首先介绍 了 微分三大中值定理以及它们之间的关系， 然后 论述 了 微分中值定理在研究函数性质，求极限，求近似值和在实际生活中的应用。 关键词 ：中值定理 联系 应用 微分中值定理是微分学的基本定理之一， 是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具 .应用十分广泛。 1、微分中值定理及其几何意义 则在 (, )ab 内至
2、少存在一点 ,使得 ( ) 0f (1) 证明： 因为 f 在闭区间 , ab 上连续 ,所以有最大值与最小值 ,分别用 ,Mm表示 ,现分两种情况来讨论 : (1)若 mM ,则 f 在 , ab 上必为常数 ,从而结论显然成立 。 (2) 若 mM ,则因 ( ) ( )f a f b ,使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在(,)ab 内某点 处取得 ,从而 是 f 的极值点 。 由条件 (ii), f 在点 处可导 ,故由费马定理推知 ( ) 0f 。 罗尔 定理的几何意义 :在每一点都可导的一段连续曲线上 ,如果曲线的两端点高度相等 ,则至少存在一条水平切线 （图 1）。 xyo
3、 a bAB图 1 1.1 罗尔 （ Rolle） 中值定理： 若函数 f满足如下条件 : (i)f在闭区间 a,b上连续 ; (ii)f在开区间 (a,b)内可导 ; (iii) ( ) ( )f a f b , 证 明： 作辅助函数 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f aF x f x f a x aba 显然 , ( ) ( ) 0F a F b,且 F 在 , ab 上满足罗尔定理的另两个条件 故 ( , )ab ,使 ( ) ( )( ) ( ) 0f b f aFf ba 移项后即得所要证明的 (2)式 。 拉格朗日公式还有下面三种等价表示形式： ( ) ( )
4、 ( ) ( ) ,f b f a f b a a b ; ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , 0 1f b f a f a b a b a ; ( ) ( ) ( ) , 0 1f a h f a f a h h 拉格朗日中值 定理的几何意义 :在满足定理条件的曲线 ()y f x 上至少存在一点 ( , ( )Pf,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线 AB（图 2）。 1.3 柯西 （ Cauchy） 中值定理 : 设函数 f 和 g 满足 : (i) 在 , ab 上都连续 ; O x y B A P a b y=f(x) y=F(x)+f(a) y= x b-a 图 2
5、 1.2 拉格朗日 （ Lagrange） 中值定理： 若函数 f满足如下条件 : (i) f在闭区间 a,b上连续 ; (ii) f在开区间 (a,b)内可导 , 则在 (, )ab 内至少存在一点 ,使得 ( ) ( )() f b f af ba . （ 2） f(b)-f(a) 则 在 内至少 存在 ( , )ab ,使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f f b f ag g b g a (3) 证 明： 作辅助函数 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )( ) ( )f b f aF x f x f a g x g ag b g a , 易见 F
6、 在 , ab 上满足罗尔定理的条件 ,故存在 ( , )ab ,使得 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0( ) ( )f b f aF f gg b g a 因为 ( ) 0g (否则由上式 ( ) 0f ),所 以 可 把 上 式 改 写 成 (3)式 。 此 定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义 ,只是要把 ,fg这两个函数写作以 x 为参量的参 数 方程 ( ),()u g xv f x , x ab . 在 uov 平面上表示一段曲线 ,由于 (3)式右边的 ( ) ( )( ) ( )f b f ag b g a表示连接该曲线两端点的弦 AB 的斜率 ,而 (3)式左边的
7、 ()() xf dvg du ,则表示该曲线上与 x 相对应的一点 ( ( ), ( )P g f处的切线的斜率 。 因此 (3)式即表示上述切线与弦 AB 互相平行 （图 3）。 1.4 泰勒公式 若函数 f(x)在开区间（ a， b）有直到 n+1 阶的导数，则当函数在此区间内 时 ， 可 以 展 开 为 一 个 关 于 （ x-x.) 的 多 项 式 和 一 个 余 项 的 和 ： f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!(x-x.)2,+f(x.)/3!(x-x.)3+(ii) 在 (a,b)上都可导 ; (iii) f(x)和 g(x)不同时为零 ; (iv)
8、 O 图 3 x y B(g(b),f(b) C(g( ),f( ) A(g( ),f( ) a ag(a) g(b),+f(n)(x.)/n!(x -x.)n+Rn 其中 Rn=f(n+1)()/(n+1)!(x -x.)(n+1),这里 在 x 和 x.之间，该余项称为 拉格朗日 型的余项。 （注： f(n)(x.)是 f(x.)的 n阶导数，不是 f(n)与 x.的相乘。） Lagrange 中值定理 是的特例。 1.5 中值定理的一些推论 1、 Rolle 定理的推论：若 f 在 1x ， 2x 上连续，在 ( 1x ， 2x )内可导，12( ) ( ) 0f x f x，则存在 1
9、2( , )xx ，使得 ( ) 0f （简言之：可导函数的两个根 之间必有导 数的零点）。 2、 Lagrang 定理的推论： 推论 若函数 f 在区间 I上可导，且 ( ) 0fx ， xI ，则 f为 I 上的一个常量函数。 几何意义：斜率处处为 0 的曲线一定是平行于 x 轴的直线。 推论 若函数 f 和 g 均在 I 上可导，且 ( ) ( )f x g x ， xI ，则在区间 I 上 f(x)与 g(x)只差一个常数，即存在常数 C，使得 ( ) ( )f x g x C。 2、微分中值定理之间的内在联系 罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都
10、具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，它们之间的关系可用简图示意 3、微分中值定理的应用 以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态。 中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可 导出一个求极限的洛必达法则中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判 断函数单调性、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。从而把握 函数图象的各种几何特征此外， 在研究 极值问题 中也 有重要的实际应用 3.1 判别可微 函数
11、的 单调性 定理 1 设 f(x)在区间 a,b上可导，则 f(x)在 a,b上递增（减）( ) 0( 0)fx . 证明：如 f 为增函数，则对每一 0xI ，当 0xx 时，有 00( ) ( ) 0f x f xxx 令 0xx 即得 ( ) 0fx 反之，若 ()fx在区间 I 上恒有 ( ) 0fx ，则对 12,x x I （不妨设 12xx ）由 Lagrange 中值定理知， 12( , )x x I ，使得 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x x 由此即得 ()fx在 I 上递增 # 例 1.设 ()fx在 0, a 上连续 ,在 (0,
12、)a 内可导 ,且 (0) 0f , ()fx单调增加 求证 : ()fxx 在 (0, )a 内也单调增加 证明 :由于 ( ) ( ) (0 ) ( )f x f x f xf , 0 x(当 0x 时 ) 又 ()fx单调增加 ,有 ( ) ( )f x f (当 x 时 ) 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x f x f x x f x x fx x x ( ) ( ) 0 , (0 , )f x f xax ()fxx 在 (0, )a 内单调增加 3.2 求解不定式的极限 柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。仔细观察柯西中值定理里的表达式
13、的形式，可以看到两个函数式的比值，在 一定 条件下可以化成者两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，通过求导，而得到非未定型。这是一个基本的思路，我们有下面的定理： ( Hospital 法则 ) 若函数 f 和 g 满足 : (i) 00lim ( ) lim ( ) 0x x x xf x g x; (ii) 在点 0x 的某空心邻域 0 0()Ux内两者都可 导 ,且 ( ) 0gx ; (iii) 0()lim ()xxfx AAgx 可为实数 .也可为 或 ), 则 00( ) ( )lim lim( ) ( )x x x xf x f x A
14、g x g x. 证明 : 补充定义 00( ) ( ) 0f x g x,使得 f 与 g 在 0x 处连续 ,任取 0 0()x U x ,在区间 0 , xx(或 0, xx )上应用柯西中值定理 ,有 00( ) ( ) ()( ) ( ) ( )f x f x fg x g x g 即 ( ) ( ) ( ) ( )f x fg x g 介于 0x 与 x 之间 )。 当令 0xx 时 ,也有 0x ,故得 0 0 0( ) ( ) ( )l i m l i m l i m( ) ( ) ( )x x x x xf x f f x Ag x g g x 注 :若将 其 中 0xx 换
15、成 00, , ,x x x x x x ,只要相应地修正条件 (ii)中的邻域 ,也可得同样的结论 . 例 2.求21 coslim tanx xx . 解 :易 知 , ( ) 1 cosf x x 与 2( ) tang x x 在 0x 的邻域内满足 Hospital法则 的条件 (i)和 (ii),又因 32( ) s in c o s 1l im l im l im( ) 2 ta n s e c 2 2x x xf x x xg x x x , 故由洛必达法则求得00( ) ( ) 1lim lim( ) ( ) 2x x x xf x f xg x g x. 例 3.求 lnl
16、imx xx. 解 : 由洛必达法则有 l n ( l n ) 1l i m l i m l i m 0()x x xxxx x x . 3.3 证明不等式和等式 例 4.设 0 ab,证明不等式：222 ln lna b aa b b a证明：设 ()fx=lnx ( 0)xa 根据 拉格朗日中值定理得 ln lnbaba =(ln )|xx =1， ab 由于 221 1 2ab a b （ 222a b ab ） 222 ln lna b aa b b a# 例 5.设 函数 ()fx在 , ab 上连续，在 (, )ab 内可导，且 ( ) 0fx 求证：对函数 1( ) ( ) ,
17、( , )xaF x f t d t x a bxa 有 ( ) 0Fx 成立 证明：21( ) ( ) ( ) ( )() xaF x f x x a f t d txa =21 ( ) ( ) ( ) ( ) () f x x a f x axa ()ax = ( ) ( )()f x fxa= ( ) 0xfcxa ()cx # 例 6.设 120, 0,xx求证： 211 2 1 2(1 ) ( )xxx e x e e x x ，其中 在 1x 与 2x 之间。 证明：由于 120, 0,xx则 0x 不在 1x 与 2x 之间 令 () xefxx ， 1()gxx ， 则 ()f
18、x与 ()gx 在 1x 与 2x 所限定的区间上满足柯西中值定理的条件 21221221( ) (1 )1 1 1( )xxee eexx f egxx 整理得， 211 2 1 2(1 ) ( )xxx e x e e x x # 3.4 证明中值点的存在性 例 7.设函数 ()fx在 0， 12 上二阶可导，且 1(0 ) (0 ), ( ) 02f f f 求证：至少存在一点 1(0, )2 ，使得 3 ( )“( )12ff 。 分析：结论可写为 “ ( ) (1 2 ) 2 ( ) ( )f f f x “ ( ) (1 2 ) 2 ( ) ( )f x x f x f x 即 (
19、 )(1 2 ) ( )f x x f x ( )(1 2 ) ( )f x x f x c 令 0c ，移项得 ( )(1 2 ) ( ) 0f x x f x 取 ( ) ( ) (1 2 ) ( )F x f x x f x 证明： 作辅助函数 ( ) ( ) (1 2 ) ( )F x f x x f x 易见，由题设可知 ()Fx在 0， 12 上连续，在（ 0， 12 ）内可导，且 (0 ) (0 ) (1 0 ) (0 ) 0F f f 1 1 1 1( ) ( ) (1 2 ) ( ) 02 2 2 2F f f 于是， ()Fx在 0， 12 上满足 罗尔定理 至少存在一点
20、（ 0， 12 ），使得 ( ) 0F 即 “ ( ) (1 2 ) 3 ( ) 0ff 例 8.设函数 ()fx在 , ab 上连续，在 (, )ab 内可导，求证： 至少存在一点 (, )ab ，使得 ( ) ( ) ( ) ( )b f b a f a ffba 分析：令 ( ) ( )bf b af a kba ，则 ( ) ( )bf b kb af a ka 可见，这是一个对称式（ a 与 b 互换，等式不变），故取 ( ) ( )F x xf x kx 证明：取辅助函数 ( ) ( )( ) ( ) b f b a f aF x x f x xba 显然， ()Fx在 , ab
21、上连续，在 (, )ab 内可导，且 ( ) ( )F a F b 所以， ()Fx在 , ab 上满足 罗尔定理 的条件，故至少存在一点 ( , )ab ，使得 ( ) 0F 即 ( ) ( )( ) ( ) 0b f b a f aff ba 即 ( ) ( ) ( ) ( )b f b a f a ffba # 注：例 8采用的方法称为常数 k值法，通常它可以如下进行： （ 1） 令常数部分为 k； （ 2） 恒等变形，使等式一端为 a 及 ()fa构成的代数式，另一端为 b 及 ()fb 构成的代数式； （ 3） 看两端的表达 式是否为对称式或轮换对称式，若是，只须把 a （或 b ）
22、改为 x ，相应的函数值 ()fa（或 ()fb）改成 ()fx，则替换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数 ()Fx. 例 9.设 ()fx在 -1， 1内有三阶连续导数，且 ( 1) 0f ， (1) 1f ， (0) 0f 求证： ( 1,1) 使 “( ) 3f 证明：作三次多项式 32()p x A x B x C x D ，满足 (1) 1p ， (0) 0p ( 1) 0 , (0 ) (0 )p p f ，由此得 0C ， (0)Df ， 12A ， 1 (0)2Bf 即 3211( ) (0 ) (0 )22p x x f x f 而令 ( ) ( ) ( )x f x p x ， 则 ( 1 ) (0 ) (0 ) (1 ) 0 先在 -1， 0和 0， 1上对 ()x 用罗尔中值定理知存在 121 0 1 ，使得 12( ) (0 ) ( ) ，再在 1 ,0 ， 20, 上 对 ()x 用罗尔中值定理得， 1 1 2 20 ，使得 12“( ) “( ) 再在 12 , 上对 “()x 用罗尔中值定理得， 12( , ) ( 1,1) ，使得 “( ) 0 ，又 “( ) “( ) 3x f x ， 故 “( ) 3f 注：例 9 所表述的方法称为多项式函数法，在运用时须注意所设函数导数的阶数
