1、 插值方法初探与应用 届学生 毕业 论文 （设计） 题目 ： 系 别 ： 专 业 ： 班 级 ： 姓 名 ： 学 号 ： 指导教师 ： 完成时间： 年 月 日 插值方法初探与应用 插值方法初探与应用 摘要 插值法是计算数学中的一种重要的方法，而且计算问题可以说是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，无论哪一行哪一 业都有许多数据需要处理，插值法正在科学技术中发挥越来越大的作用 .本文首先介绍了插值法的概念，并进一步 讨论了插值问题的存在性与唯一性；由该性质出发，结合数学归纳法与猜想法构造性的引出拉格朗日插值法 .但拉格朗日插值法随着插值结点的变化，会引起重复计算的问题；为克服该问题又引出了牛顿插
2、值 .但牛顿插值随着插值结点的增多，会导致多项式的增高插值函数的稳定性降低，为克服该问题又进一步引出分段线性插值 .但分段线性插值带来光滑性问题，埃尔米特插值在插值结点处的一阶微商处也符合插值条件，一定程度上克服了这个缺点 .三次样条插值能够很好的求出插值结点处的微商值，因此在这些方面，三次样条插值代替了埃尔米特插值 .其次介绍了插值法在 初高中的一些问题上的应用 ，为了说明插值法并不是陌生的知识 ；最后介绍了插值法在热工计算上及温度预测上的处理数据的实际应用 . 关键字 ： 插值；插值结点；拉格朗日插值；热工计算；温度预测 插值方法初探与应用 PRELIMINARY SYUDY AND AP
3、PLICATION OF INTERPOLATION METHOD ABSTRACT Interpolation method is a kind of important methods of computational mathematics, and computing problems can be said to be the common problems of each modern social domain, no matter which field it is, many data need dealing with, and interpolation is playi
4、ng a more and more important role in science and technology. This paper first introduces the concept of interpolation method, and further discusses the existence and uniqueness of the interpolation problem. Starting from the nature, combined with the method of mathematical induction and conjecture l
5、eads Lagrange interpolation method constructively. But the Lagrange interpolation method will cause repeated calculation problems with the change of the interpolation node. In order to overcome this problem, piecewise linear interpolation the Newton interpolation is introduced. But piecewise linear
6、interpolation Newton interpolation can lead to the reduction of the stability of higher polynomial interpolation function along with the increase in interpolation nodes, in order to overcome this problem, is introduced. But the piecewise linear interpolation bring smoothness problem, Hermite interpo
7、lation order interpolation nodes in the micro business is also in line with the interpolation conditions, to a certain extent, overcomes this drawback. Cubic spline interpolation is good for the derivative of the interpolation node value, so in these respects, cubic spline interpolation can replace
8、Hermite interpolation. Secondly, the application of interpolation method in some problems in the secondary and high school stages are introduced to illustrate interpolation method is not new knowledge. Finally this paper introduces the practical application of interpolation method in the data proces
9、sing of thermal calculation and temperature prediction. 插值方法初探与应用 Key words: interpolation; interpolation node; Lagrange interpolation; thermal calculation; temperature prediction 插值方法初探与应用 目 录 1 前 言 -1 2 插值法 -2 2.1 插值法的概念 -2 2.2 几种不同插值法 -2 2.2.1 拉格朗日插值 -3 2.2.2 牛顿插值 -5 2.2.3 分段线性插值 -6 2.2.4 埃尔米特插值
10、-7 2.2.5 三次样条插值 -8 3 插值法的应用 -11 3.1 基础知识 -11 3.2 插值法在初高中数学问题中的应 用 -11 3.2.1 插值法在初中数学问题中的应用 -12 3.2.2 插值法在高中数学问题中的应用 -16 3.3 插值法在实际问题中的应用 -19 3.3.1 热工计算上的实际应用 -19 3.3.2 温度预测上的实际应用 -22 4 结论 -25 参考文献 -26 致谢 -27 插值方法初探与应用 第 1 页 共 27 页 1 前 言 插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题 .插值法是一个古老的话题，早在公元六世纪，刘焯就创立“等间距二次内插法公
11、式”来计算日、月、五星 的运行速度，之后，插值法就随着后来科学家的深入研究使之更加完善 .插值法不仅是在算法上能够更加简便， 而且在实际应用中，插值法会使很多问题由复杂变为简单从而方便解决 .插值法的提出主要源于实际问题， 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系 经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值 ，因此需要用插值方法处理，求出近似函数 .在插值问题的研究工作中，对用于逼近的简单函数的类型有不同的选取 .多项式或分段多项式最便于计算和使用，因而使用的也比较多。特别计算机出现后，人们更把注意力集中在利用多项式的插值方面， 因为计算公式相
12、对的易于描述和进行程序设计，其误差分析也比较简单 .无论国外还是国内，科学家们对于插值法已有了很多研究，如： 刘焯 、牛顿、拉格朗日、莱昂哈德 欧拉 、 爱德华 华林 等，对于插值法算法的研究，虽然在一些想法上比较抽象，不容易理 解，但是在解法上还是比较具体的 .通过本论文的研究会对插值法有进一步不一样的了解，会让它在初学者眼里都比较熟悉，同时拓展运算思维能力，因此进一步开展这方面的研究将大有可为 . 插值方法初探与应用 第 2 页 共 27 页 2 插值法 实际问题中遇到的函数 fx是多种多样的，有的表达式很复杂，有的甚至没有给出表达式，只提供了一些离散点上的函数值或导数值。为进一步分析问题
13、的性质和变化规律，希望找到一种能近似描述函数 fx变化规律、又便于处理的简 单函数 px作为fx的近似 .这就是下面要介绍的插值法所要解决的问题 . 2.1 插值法的概念 插值法又称 “ 内插法 ” ，是利用函数 ()fx在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数 x ，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用函数 x 的值作为函数()fx的近似值，这种方法称为插值法 . 如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式 ；如果这特定函数值是三角函数，就用三角多项式作为插值函数等 .因此函数 x 的类型可以有各种不同的选择，但我们最常用的类型是代数多项式，这是因为代数多项式具有一 些很好的特性，如：
14、它具有各阶导数，计算多项式的值比较方便，等等 .因此本文中的所有插值函数都是代数多项式插值，所以本文讨论的都是代数插值多项式 . ()fx为定义在 区间 ,ab 上的函数， 0x ,1x ， nx 为 , ab 上 1n 个互不相同的点， x 为给定的某一函数类。若函数 ()x ，满足 ()ix = ()ifx ， 0,1,2, ,in 则称 ()x为 ()fx关于节点 0x ,1x ， nx 上的插值函数 .称点 0x ,1x ， nx 为插值节点；称()fx称为被插函数 . 2.2 几种不同插值法 上节讨论了插值法的概念，使读者了解插值函数 ()x 通常用来代替实际函数 ()fx计算，因此
15、构造插值函数很重要，而且越逼近实际函数，就说明插值效果更好，所以插值方法很重要，下面就介 绍几种常用的插值 . 插值方法初探与应用 第 3 页 共 27 页 2.2.1 拉格朗日插值 欲构造插值函数 ()x ，首先想到的就是定义 .即设函数 y f x 在区间 , ab 上有定义，且已知在点 0 1 2 na x x x x b 上的函数值 01, , , ny y y ，求一个次数不高于 n的 插 值多 项 式 1 nnnx a a x a x ，使 n i ixy 0,1, 2, ,in 成 立， 即0 1 0 00 1 1 1 101nnonnnn n n na a x a x ya a
16、 x a x ya a x a x y 这是一个关于 01, , , na a a 的 1n 元线性方程组，其系数矩阵的行列式为 01, , ,nnV x x x0011111nnnnnxxxxxx ,这个行列式称作范德蒙（ Vandermonde）行列式，如果 ijx x i j，则 01, , ,nnV x x x 0 ，所以方程组有唯一解 01, , , na a a 但是这样的方法比较麻烦，计算量大，不便于实际应用 .因此我们讨论一下用其它简单的方法来解决类似的问题 .先给出简单的两个点讨论，如下表格 x 0x 1x y 0y 1y 构造一个插值函数 1 x 若 把直线方程用两点式来表
17、示，则有 0 1 00 1 0y y y yx x x x 100010yyy y x xxx 0y 101xxxx+1y 010xxxx 1 x 0y 101xxxx +1y 010xxxx 上式是 两个 线性 函数 101xxxx 和 010xxxx 的线 性组 合， 把这两 个函 数分 别记为0lx= 101xxxx ， 1lx= 010xxxx ，并把 0lx叫做点 0x 的一次基函 数，把 1lx叫做点 1x 的一插值方法初探与应用 第 4 页 共 27 页 次基函数 .插值函数 1 x 是两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值，这种形式的插值称之为拉格朗日（ La
18、grange）插值 . 插值函数 1x 与函数 ()fx 之间存在误差，则误差 Rx = ()fx - 1 （ x ）= 2!f 01x x x x， ab 若在 01,xx两点的基础上在增加一个点 2x ，如下表： x 0x 1x 2x y 0y 1y 2y 构造一个插值函数 2 x 由于两点的关系式 为： 1 x 0y 101xxxx +1y 010xxxx ，由于此关系式为关于 01,yy的关系式，因此很容易猜想到 2 x 是关于 0 1 2,y y y 的关系式，并且此关系 式是二次的 .由于需要满足 2 0 0xy ， 2 1 1xy ， 2 2 2xy ，因此由 2 0 0xy ，
19、可知与 0y 相乘的式子为 1，与 1y ， 2y 相乘的式子为 0，所以与 2y 相乘的式子有 0xx ；由 2 1 1xy ，可知与 1y 相乘的式子为 1，与 0y ， 2y 相乘的式子为 0，所以与 2y 相乘的式子有 1xx ；由 2 2 2xy ，可知与 2y 相乘的式子为 1，与 0y ， 1y 相乘的式子为 0，因此推出与 2y 相乘的式子是 012 0 2 1x x x xx x x x， 所 以 可 以 推 出 与 0y ， 1y 相乘的式子分别为 120 1 0 2x x x xx x x x， 021 0 1 2x x x xx x x x，由一次基函数的定义，可以定义
20、0lx 120 1 0 2x x x xx x x x为 点 0x 的二 次基函数 ， 1lx 021 0 1 2x x x xx x x x为点 1x 的二次基函数， 2lx 012 0 2 1x x x xx x x x为点 2x 的二次基函数 . 因此2x 0y 120 1 0 2x x x xx x x x1y 021 0 1 2x x x xx x x x2y 012 0 2 1x x x xx x x x 插值方法初探与应用 第 5 页 共 27 页 插值函数 2x 与函数 ()fx 之 间 存 在 误 差 ， 则 误 差Rx= ()fx- 2 x = 3!f 01x x x x
21、2xx ， ab 由以上的分析，可知对于拉格朗日插值，随着插值节点的增加，基函数都需重新计算，比较麻烦，因此需要找到另一个插值方法克服拉格朗日插值法的缺点 . 2.2.2 牛顿插值 拉格朗日插值公式是由直线方程的两点式表示的，数据同 2.2.1 中的数据表，若 把直线方程用点斜式表示，则有 1 x = 0y + 1010yyxx （ 0xx ） ，也可按照通常的写法写为： 101 0 010f x f xx f x x xxx ，若在在 01,xx两点的基础上在增加一个点 2x ，从 101 0 010f x f xx f x x xxx 式子中很难推断再增加一个点 2x 后 2 x 的关系式
22、 .因此将 1 （ x ） 的关系式用另外一种角度分析， 函数 fx在 ix ， jx 处一阶均差的定义是： , ijij ijf x f xf x x xx ， 所以 1 x 式中的 1010()f x f xxx 是 fx在 1x ， 0x 处的一阶均差 01,f x x .利用均差的对称性， 1 x 可表示为 1 x = 0fx +（ 0xx ） 01,f x x ，这种形式的插值叫做牛顿（ Newton）插值 .误差与拉格朗日两点的误差一样 . 变化后的 1 x 就比较容易推出再增加一个点 2x 后 2 x 的关系式，表格如下： x 0x 1x 2x y 0y 1y 2y 构造一个插值函数 2 x 令 2 x = 0fx +（ 0xx ） 01,f x x A 0xx 1xx ，由于 2 2 2xy ，所以， 0 2 0 0 1 2 0 2 1 2,f x x x f x x A x x x x y 可得 A 202 0 2 1f x f xx x x x 0121,f x xxx 2 0 0 121,f x x f x xxx 这是 一阶均差的均差，函数 fx在任意三个互异点 ix ， jx ， kx 处的
