1、高三数学试卷第 1 页 （共 14 页）南京市 2012 届高三第一次调研测试数 学 2011.09注意事项：1.本试卷共 160 分.考试用时 120 分钟.2.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.参考公式：一组数据的方差 ，其中 为这组数据的平均数.22221()()()nsxxxn一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1计算 。0co32.若复数 为纯虚数，则 m= 。2(,)miRi是 虚 数 单 位3.某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10，则其方差
2、为 。4.已知等比数列a n的各项均为正数.若 a1=3，前三项的和为 21，则 a4+a5+a6= 。5.设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 .若 ，|,PQQ且 123P， ， ，则 。1|2,xxR6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 I 为 。7.已知扇形的周长为 8cm，则该扇形面积的最大值为 cm2。8.过椭圆 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线，与该椭圆的另一个交点为 M，与 y21(0)xyab轴的交点为 B.若 AM=MB，则该椭圆的离心率为 。9.若方程 在区间 上有解，则满足所有条件的 k 的值的和为 lg|5x(,1)kR。10.如图，海岸线上有相距 5 海里的两
3、座灯塔 A，B，灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲位于灯塔 A 的北偏西 750 方向，与 A 相距海里的 D 处；乙船位于灯塔 B 的北偏西 600 方向，与 B 相距 5 海里的32C 处.则两艘船之间的距离为 海里.S 1I 1While S5IEnd WhilePrint I第（6）题DCBA高三数学试卷第 2 页 （共 14 页）11.如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点.若截面BC 1D 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为 。12.设 p:函数 在区间 上单调递增；q： .如果“ ”是真命题， “p 或|()2xa
4、f(4,)log21apq”也是真命题，那么实数 a 的取值范围是 。13.如图，在正方形 ABCD 中，已知 AB=2,M 为 BC 中点.若 N 为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 。AMN14.已知函数 ，A,B 是其图象上不同的两点.若直线 AB 的斜率 k 总满足41(),2fxax，则实数 a 的值是 。142k二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 （本题满分 14 分）某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，球：（1）该队员只属于一支球
5、队的概率；（2）该队员最多属于两支球队的概率；第（11）题B1A1ABCC1DMD CBAN第（13）题篮球 25羽毛球32 314乒乓球高三数学试卷第 3 页 （共 14 页）16 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD=60 0，Q 为 AD 中点.（1）若 PA=PD，求证：平面 PQB平面 PAD；（2）点 M 在线段 PC 上，PM=tPC，试确定实数 t 的值，使得 PA/平面 MQB.17.（本题满分 14 分）已知函数 .2()cos3sincofxx（1）求函数 在区间 上的值域；,6（2）在ABC 中，若 , ,求 的值.()
6、fCis()cos()BACtanA18.（本题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 上横坐标为 4 的点到该抛物线的焦点的距离为2ypx5.（1）求抛物线的标准方程；（2）设点 C 是抛物线上的动点 .若以点 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦长为 4，求证：圆 C 过定点.19.（本题满分 16 分）设 ，函数 .0a2()|ln1|fxax（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；()yf（2）当 时，求函数 的最小值.,20.（本题满分 16 分）在数列 中，已知 ，且 .na10p2*13,nanN（1）若数列 为等差数列，求 p 的值；（2）求数列 的前 n 项和
7、 ；S（3）当 时，求证： .21iaBQPADMCO高三数学试卷第 4 页 （共 14 页）南京市 2012 届高三第一次调研测试数学附加题 2011.09注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟.3.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 41：几何证明选讲如图，已知四边形 ABCD 内接于O ，EF/CD，FG 切O 于点 G.求证 E
8、F=FG.B. 选修 42：矩阵与变换已知矩阵 , .在平面直角坐标系中，设直线 在矩阵01M10N210xy对应的变换作用下得到曲线 F，求曲线 F 的方程.NC. 选修 44：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，P 是椭圆 上任意一点，求点 P 到42xy214xy直线 l 距离的最大值.D. 选修 45：不等式选讲已知 a，b 为正数，求证： .149abF GBE CDA.O高三数学试卷第 5 页 （共 14 页）【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知
9、圆 ，定点 .动圆 M 过点 F2，且与圆 F1 相内切.21:()16Fxy2(,0)F（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）若过原点的直线 l 与（ 1）中的曲线 C 交于 A,B 两点，且ABF 1 的面积为 ，求直线 l32的方程.23.已知 .23 *01()()(1)()(1)2,)n nxaxaxaxN（1）当 时，求 的值；52345（2）设 .试用数学归纳法证明：当 时，23,nnnbTbb.()nT O xy F2F1 M高三数学试卷第 6 页 （共 14 页）南京市 2012 届高三第一次模拟考试数学参考答案 2011.9一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5
10、分，共 70 分）1 22 32 4168 54 65 1274 8 91 10 118 12 （4，） 13 3136 1492二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 （本题满分 14 分）解：从图中可以看出，3 个球队共有 20 名队员2 分（1）记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 A 4 分则 P(A) 3 5 420 35答：随机选取一名队员，只属于一支球队的概率为 8 分 35（2）记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 B 10 分则 P(B)1P( )1 B 220 910答：随机抽取一名队员，该队员
11、最多属于两支球队的概率为 14 分91016 （本题满分 14 分）证明：（1）因为 PAPD ，Q 为 AD 的中点，所以 PQAD连接 BD，因为 ABCD 为菱形， DAB60，所以 ABBD所以 BQAD2 分因为 BQ 平面 PQB，PQ 平面 PQB，BQ PQQ所以 AD平面 PQB2 分因为 AD 平面 PAD，所以平面 PQB平面 PAD2 分（2）当且仅当 t 时，PA平面 MQB2 分13证明如下：连接 AC，设 ACBQO，连接 OM在AOQ 与 COB 中，因为 ADBC，所以 OQA OBC， OAQ OCB所以AOQ COB所以 所以 2 分AOOC AQCB 1
12、2 AOAC 13在CAP 与COM 中，当 t 时，因为 ， ACP OCM，13 COCA CMCP 23所以CAPCOM所以 CPA CMO所以 APOM 2 分因为 OM 平面 MQB，PA 平面 MQB， /BQPADMCO高三数学试卷第 7 页 （共 14 页）所以 PA平面 MQB以上每步可逆，当 PA平面 MQB 可得 t 2 分1317 （本题满分 14 分）解：（1）f(x) 1cos2x sin2x2sin(2x )1 3 分36因为 x ，所以 2x 5 分6 3 6 6 56所以 sin(2x )1所以12sin(2x )212 6 6所以 f(x)0，3即函数 f(
13、x)在 ， 上的值域为0，3 7 分6 3（2）由 f(C)3 得，2sin(2C )12，所以 sin(2C ) 6 6 12在ABC 中，因为 0C ，所以 2C 6 6 136所以 2C 所以 C ，所以 AB 9 分6 56 3 23因为 2sinBcos(A C )cos(AC )所以 2sinB2sinAsinC 11 分因为 B A ，C 所以 2sin( A) sinA23 3 23 3即 cosAsinA sinA即( 1)sinA cosA3 3 3 3所以 tanA 14 分sinAcosA18 （本题满分 16 分）解：（1）根据题意，抛物线 y22px 的准线方程为
14、x ，且 p0 2 分p2因为抛物线上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，所以该点到准线 x 的距离也为 5所以p2p2故所求抛物线的标准方程为 y24x 5 分（2）因为点 C 在抛物线上，故可设点 C 为( ，t)t24所以点 C 到 y 轴的距离为 t24高三数学试卷第 8 页 （共 14 页）因为圆 C 在 y 轴上截得的弦长为 4，所以圆 C 的半径 r 14t4 648 分所以圆 C 的方程为(x )2(yt )2( )2t24 14t4 64即 x2y 2 x2ty t 240 10 分t22（方法一）因为圆 C 是动圆所以当 t0 时，圆 C 的方程为 x2y 240， 当
15、t2 时，圆 C 的方程为 x2y 22x 4y0 联立，得 解得 或 14 分x2 y2 4 0 ，x2 y2 2x 4y 0 ) x 2，y 0， )把(2，0)代入圆 C 方程，左边 220 2 22t 0t 240右边，方程成立，所以圆 C 恒过定t22点(2，0)把( ， )代入圆 C 的方程得，左边 t2 t 不恒为 0，即随着 t 的变化而变化65 85 85 165故点( ， )可能不在圆 C 上65 85所以圆 C 恒过定点(2，0) 16 分（方法二）将方程 x2y 2 x2tyt 240 整理为t22(1 )t2 2yt( x2y 24) 0 14 分x2式对任意实数 t
16、 都成立的充要条件是 即 x 2，y 0 )所以圆 C 恒过定点(2，0) 16 分19 （本题满分 16 分）解：（1）当 a1 时，f(x )x 2| lnx1|当 0xe 时，f(x)x 2lnx1，f (x) 2x 2 分1x令 x1 得 f(1)2，f (1) 1，所以切点为(1，2)，切线的斜率为 1所以曲线 yf(x )在 x1 处的切线方程为 xy10 5 分（2) 当 xe 时，f(x )x 2alnxa，f (x)2x （x e） ax因为 a0，所以 f(x)0 恒成立所以 f(x)在 e，)上为增函数故当 xe 时，y minf( e)e 2 7 分当 xe，即 x1
17、，e 时，f(x)x 2alnxa，f (x )2x (x )(x )（1 xe ） ax 2x(i)当 1，即 0a2 时， f (x)在 x（1，e ）时为正数，所以 f(x)在1 ，e上为增函数故当 x1 时，y min1a，且此时 f(1)f(e)(ii)当 1 e ，即 2a2e 2 时，f (x)在 x(1， )时为负数，在 x( ，e)时为正数，高三数学试卷第 9 页 （共 14 页）所以 f(x)在1， )上为减函数，在( ，e上为增函数故当 x 时，y min ln ，且此时 f( )f(e)3a2 a2 a2(iii)当 e，即 a2e 2 时， f (x) 在 x(1，e
18、)时为负数，所以 f(x)在1，e 上为减函数在故当xe 时，y min f(e)e 213 分综上所述，当 a2e 2 时，f( x)在 xe 时和 1xe 时的最小值都是 e2，所以此时 f(x)的最小值 f(e)e 2；当 2a2e 2 时，f( x)在 xe 时最小值为 e2，在 1xe 时，最小值为 f( ) ln( )，3a2 a2 a2而 f( )f(e)，所以此时 f(x)的最小值 f( ) ln 3a2 a2 a2当 0a2 时，f(x )在 xe 时最大值为 e2，在 1xe 时最小值为 f(1)1a，而 f(1)f(e) ，所以此时 f(x)的最小值为 f(1)1a所以函
19、数 yf(x )的最小值为 ymin 16 分20 （本题满分 16 分）解：（1）设数列a n的公差为 d，则 ana 1(n1) d，a n1 a 1nd由题意得，a 1(n1) d(a1 nd)n 23n2 对 nN *恒成立即 d2n2(2a 1dd 2)n( a12a 1d)n 23n2 所以 即 或d2 1，2a1d d2 3，a12 a1d 2， ) d 1，a1 2， ) d 1，a1 2 )因为 a1p0，故 p 的值为 2 3 分（2）因为 an1 ann 23n2(n1)( n2)，所以 an2 an1 (n2)( n3)所以 5 分an 2an n 3n 1当 n 为奇
20、数，且 n3 时， ， ， a3a1 42 a5a3 64 anan 2 n 1n 1相乘得 ，所以 an p当 n1 时也符合ana1 n 12 n 12当 n 为偶数，且 n4 时， ， ， a4a2 53 a6a4 75 anan 2 n 1n 1相乘得 ，所以 an a2ana2 n 13 n 13因为 a1a26，所以 a2 所以 an ，当 n2 时也符合6p 2(n 1)p所以数列a n的通项公式为 an 7 分当 n 为偶数时，S np 2p p p 6p 10p n2 2(n 1)p 2p高三数学试卷第 10 页 （共 14 页） p n(n 2)8 n(n 4)2p当 n
21、为奇数时，S np 2p 3p p6p 10p 14p 2np n 12p p 2p (n 1)(n 3)8 (n 1)(n 3)2p所以 Sn 10 分（3）当 n 为偶数时， 4( )n i=12ai2 2a12 2a22 2a32 2an 12 2an2 1a1a2 1a3a4 1an 1an4 123 145 1n(n 1)2 123 134 145 1n(n 1) 1(n 1)(n 2)2( ) 13 分12 13 13 14 1n 1 1n 2 nn 2当 n 为奇数，且 n2 时， n i=12ai2 2a12 2a22 2a32 2an 12 2an24( ) 4（ ）1a1a2 1a3a4 1an 2an 1 2an2 123 145 1(n 1)n2（ ） 123 134 1(n 1)n 1n(n 1) n 1n 115 分又因为对任意 nN*，都有 ，n 1n 1 nn 2故当 n2 时， 16 分n i=12ai2 n 1n 1
