1、花有重开日，人无再少年祝愿所有 2017 耕耘付出的同学取得 2018 最理想的成绩12017 年考研数学一真题及答案解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数 在 处连续，则（ ）1cos,0(),xfxab1()220AabBCDab【答案】A【解析】 在 处连续 选 A.0011cos2limli,()xxfxaa011.22ba（2）设函数 可导，且 ，则（ ）()fx()fx()11()()AfBfCfDf【答案】C【解析】 或 ，只有 C 选项满足 且满足 ，所以
2、选 ()0(),1fxfx()02fx(1)(2)C。2 2 精勤求学 自强不息（3）函数 在点 处沿向量 的方向导数为（ ）2(,)fxyzz(1,20)1,2u()126(4ABCD【答案】D【解析】2(1,20) 12,4,4,0,.|u3fgradfxyzgradf gradf选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，1()vt/ms 2()vt计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（ ）0t0512053()ts(/)v0000()1()5
3、2()()AtBtCtDt【答案】B【解析】从 0 到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲，则t 0012(t),(t),tvd，当 时满足，故选 C.021(t)vtdt025t花有重开日，人无再少年祝愿所有 2017 耕耘付出的同学取得 2018 最理想的成绩3（5）设 是 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则（ ）nEn()22TTAEBCD不 可 逆 不 可 逆不 可 逆 不 可 逆【答案】A【解析】选项 A,由 得 有非零解，故 。即()0TE()0TEx0TE不可逆。选项 B,由 得 的特征值为 n-1 个 0，1.故 的特征值为 n-1 个TE(1r 1，2.故可逆。其它选项
4、类似理解。（6）设矩阵 ,则（ ）202100,2ABC(), ,CABD与 相 似 与 相 似 与 相 似 与 不 相 似与 不 相 似 与 相 似 与 不 相 似 与 不 相 似【答案】B【解析】由 可知 A 的特征值为 2,2,1()0E因为 ，A 可相似对角化，且3(2)1r102A由 可知 B 特征值为 2,2,1.0E因为 ，B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，3(2)r4 4 精勤求学 自强不息 ，且 B 不相似于 CAC（7）设 为随机概率，若 ，则 的充分必要条件是（ ,0()1,()PAB()()PAB） ()()()()APBBCADPA【答案】A【解析】按照条件
5、概率定义展开，则选项符合题意。（8）设 为来自总体 的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正12,()nX(,1)N1niiX确的是（ ） 2 2112()()ni niiiABXCXD服 从 分 布 服 从 分 布服 从 分 布 服 从 分 布【答案】B【解析】 2121 221(,)(0,1)()()()C, 0,(1),()0,)(),BiniiniinXNASXnNNXD:正 确 ， 正 确 ， 正 确 ,故 错 误 .花有重开日，人无再少年祝愿所有 2017 耕耘付出的同学取得 2018 最理想的成绩5由于找不正确的结论，故 B 符合题意。二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共
6、24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 已知函数 ，则 =_21()fx(3)0f【答案】 06f【解析】 222200 321()()(1)()1nnnnfxxxf(10) 微分方程 的通解为 _30yy【答案】 ，（ 为任意常数）12(cosin)xex12,c【解析】齐次特征方程为 1,230i故通解为 12(cosin)xex(11) 若曲线积分 在区域 内与路径无关，则21Ldayx2(,)|1Dyx_a【答案】 16 6 精勤求学 自强不息【解析】 由积分与路径无关知2222, ,(1)(1)PxyQaxyy1PQayx(12) 幂级数 在区间 内的和函数 _1()nx(1
7、,)()Sx【答案】 2()1sx【解析】 11 21()()()nnxx（13）设矩阵 ， 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 的秩为012A123,123,A_ 【答案】2【解析】由 线性无关，可知矩阵 可逆，故123,123,再由 得123123, ,rArArA123,rA（14）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则X4()0.5().()2xFx()x_E【答案】2 【解析】 ，故0.54().()()2xFx 0.540.5()()2xEXxdd花有重开日，人无再少年祝愿所有 2017 耕耘付出的同学取得 2018 最理想的成绩7。令 ，则 =()0xdEX
8、42xt4()2xd2()814()8 tdtd因此 . 2三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续偏导数， ，求，(,)fuv(,cos)xyfe0xdy20x【答案】2 1100(,)(,)xxdydff【解析】 0 12121002 2 2 1120(,cos)(,)sin(,)(,)0(,)(i)sinsicos,),(,xx xxxx xxyfeyfdf ffffeffexffedy结论： 102 1120(,),(,),xxdyffff8 8 精勤求学 自强
9、不息（16）（本题满分 10 分）求 21limlnnkk【答案】 14【解析】 211 12202001 11limln()ln()ln()(ln)2 4nk xxdxdxd （17）（本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值()yx320yx()yx【答案】极大值为 ，极小值为1(1)【解析】两边求导得：（1）2330xy令 得01对（1）式两边关于 x 求导得 （2）2630xyy将 代入原题给的等式中，得 ，x1ory将 代入（2）得1,y()0将 代入（2）得,0x12y故 为极大值点， ； 为极小值点，1()x(1)0y花有重开日，人无再少年祝愿所有 2017 耕耘付
10、出的同学取得 2018 最理想的成绩9（18）（本题满分 10 分）设函数 在区间 上具有 2 阶导数，且 ，证明：()fx0,1 0()(1),limxff方程 在区间 内至少存在一个实根；f(,)方程 在区间 内至少存在两个不同实根。()2()()0fxfx(,1)【答案】【解析】（I） 二阶导数，()fx0()(1),limxff解：1）由于 ，根据极限的保号性得0lix有 ，即,(,)(0fx()0fx进而 0,xf有又由于 二阶可导，所以 在 上必连续()f()fx0,1那么 在 上连续，由 根据零点定理得：fx,1,()ff至少存在一点 ，使 ，即得证(,)()0f（II）由（1）
11、可知 ， ，令 ，则0f,1()0f使 ()()Fxfx(0)f由罗尔定理 ，则 ，(,)(f使 F对 在 分别使用罗尔定理：()Fx0,10 10 精勤求学 自强不息且 ，使得 ，即12(0,)(,)1212,(0,)12()0F在 至少有两个不同实根。Fxfxf,得证。（19）（本题满分 10 分）设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密度为S2zxy2zx。记圆锥面与柱面的交线为229xyC求 在 平面上的投影曲线的方程；()CO求 的 质量。SM【答案】64【解析】（1）由题设条件知， 的方程为C22zxyx则 在 平面的方程为Cxoy20xyz（2） 2222:2cos0(x,yz)991864s DxymdSxyzdSxydr（20）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 有 3 个不同的特征值，且 。12,A312
