1、 I 摘 要 大 关 键 字 正态分布 ;概率密度函数 ;标准差 ;误差 II 目 录 引言 : .1 1正态分布概念 . 1 2.正态曲线的特性 . 2 3.参数 和 的意义 . 3 4.标准正态分布及正态分布表 . 4 4.1.标准正态分布 .4 4.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表 .4 4.3.正态分布表的几种形式 .5 5.正态随机变量落在区间 (x1,x2)内的概率计算 . 7 5.1.当值机变量 N(0,1)时的概率计算 .8 5.2.当随机变量 N(,) 时的概率计算 .9 5.2.1.服从一般正态分布的随机变量 N(, )的分布函数 . 9 5.2.2.概率计算 . 1
2、0 6正态分布在几个领域内的应用实例 . 12 6.1已知 , 求某条件下的概率 8 . 12 6.2已知某条件下的概率 ,求参数和 ?. 14 6.3已知 , 和区问 (a,b)内的变量数 ,求总变量数 . 16 6.4已知 ,及各范围内的概率 ,求某范围 的上、下限 . 16 6.5. 用标堆差确定所需测量次教 . 17 参考文献 . 19 致谢 . 20 1 正态分布的若干理论及其应用 数学系 2004级 1班 王文瑞 数学与应用数学 04104141 指导老师 李海增 引言 : 正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布 ,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重
3、要的地位 ,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用 ,数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的 .正态分布也具有许多良好的性质 ,因此在理论研究中正态分布十分重要 . 1正态分布概 念 设连续型随机变量 的密度函数 (也叫分布密度 ,概率密度 ,概率密度函数 )为 : 2 2221 xex ()x (1.1) (其中 、 是常数 ,且 0 , 为正 态总体的平均值 , 为正态总体的标准差 , x 为正态总体中随机抽取 得 的样本值 ).则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布 ,记作 2, N ,式 (1.1)是德国著名数学家高
4、斯在找误差分布时于 1795年推导发现的 ,因此正态分布又称高斯分布、误差分布或常态分布 .正态分布密度函数 x 的图形如图 1所 示 ,这条曲线称 “正态分布密度函数曲 线 ”或 “正态分布曲线 ”,简称 “正态曲线 ”,由于它的形状象只钟 ,又称 “钟形曲线 ”,为纪念高斯又称 “高斯曲线 ”1. 20100-10-200.070.060.050.040.030.020.010.00 X密度图1 正态密度曲线分布图2 2.正态曲线的特性 对式 (1.1)进行数学处理 ,可得正态曲线特性 . 对式 (1.1)求导 ,有 )(21)( 222 )(3 xex x (2.1) 令 0x ,则有
5、x ,即当 x 时 , ()x 有极大值m ax 1() 2x 对式 (2.1)求导有 : 2225 2 221 xex x (2.2) 令 0x ,则有 2 2x ,即曲线在 :x 处有两个拐点 . 将正态曲线的特性列入表 1. 表 1 正态曲线特性 x ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x 0 - - - x 0 - - - 0 x e 21 21 e 21 曲线 凹 拐点 凸 极大值 凸 拐点 凹 由表 1和图 1可知正态曲线有以下特性 : 1) 曲线以 x 为对称轴 ,且在 x 时取得极大值m ax 1() 2x ,曲线由 起向左右延伸时 ,不断降低 ,呈现中间高 ,两头
6、低的钟的形状 . 2) 曲线在对称轴两侧 x 处有两个拐点 . 3) x 的取值范围为整个 x 轴 ,x 离 越远 , x 越小 ,当 x 时 ,曲线以 x 轴为渐进线 . 3 4) 曲线总在 x 轴上方 ,它于 x 轴所 围 面积等于 l,对称轴两边曲线下的面积相等各为0.5. 机械加工得到的尺寸是服从正态分布的 ,如在机床上加工 100件 中 mm03.010 的轴 ,则这 100件轴的尺寸有以下统计规律 . 1) 100个尺寸中 ,在 10附近的占的数量最多、这是正态分布的单峰性 . 2) 在这 100个尺寸中 ,约有 50个左右大于 10,有 50个左右小于 10,这是正态分布的对称性
7、 . 3) 在这 100个尺寸中 ,大于 10.03mm 的个数和小于 9.97mm 个数都很少 ,这是正态分布的有界性 . 4) 这 100个尺寸与标准尺寸 10的差的平均值趋与零 ,这是正态分布的抵偿性 . 上述四条规律 ,零件数量越多就越准确 2. 3.参数 和 的意义 和 是正态分布的两个参数 ,当 和 确定后 ,正态曲线就完全 确定了 . 和 不同 ,正态曲线的位置和形状则不同 . 是位置参数 ,它的大小决定曲线在 x 轴上的位置 ,是形状参数 ,它的大小决定曲线的高矮胖瘦 .若 不变只让 变 ,则曲线形状不变 ,仅在 x轴上平行移动如图 2所示 ;若 不变只让 变 ,则曲线在 x
8、轴上的位置不变 ,仅形状发生变化 , 越小则曲线越显的高瘦陡峭 ; 越大则曲线越显得矮胖平缓 ,如图 3所示 : 从几何角度看 , 是正态曲线极大值的横坐标、 是曲线拐点的横坐标到 之间的距离 ,或者说 是凸、凹曲线连接点的横坐标 ;从物理角度看 , 是正态曲线与 x 轴之间的平面图形重心的横坐标 .在数理统计中 , 是正态分布的数学期望或叫均值 , 是标准偏差 .在4 计量学中 , 是被测量的真值 , 是表征测量值分散特性的一个度量指标 . 越大 ,观测值落在 附近的概率越小 ,即观测值分散 ,测量精度低 ; 越小 ,观测值落在 附近的概率越大 ,即 观测值集中 ,测量精度高 .总之 , 表
9、明了观测值的集中趋势 , 反映了观测值的分散程度 .显然我们希望 越小越好 3. 4.标准正态分布及正态分布表 4.1.标准正态分布 称 1,0 的正态分布为标准正态分布 ,将 1,0 代入 (1.1)式有 : 2221 xex x (4.1.1) 式 (4.1.1)为标准正态分布的密度函数 ,服从标准正态分布的随机变量 2, N 1. 4.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表 概率论告诉我们 ,随机变量的分布函数 Fx等于密度函数 x 在 无穷区间 , 上的广义积分 ,于是 标准正态分布的分布函数 (也叫概率分布函数 )为 : dtedttxPxPxF txx 2221 (4.2.1) 通
10、常用 x 表示标准正态分布的分布函数 ,即 : dtedttxPxPx txx 2221 (4.2.2) 取不同的 x 的值 ,由式 (4.2.2)可得不同的 x 的数值 ,这就得到 “标准正态分布函数数值表 ”简称 “标准正态分 布表 ”或 “正态分布表 ”.有些文献也叫 “正态概率曲线下的面积 ”、 “概率积分函数表 ”、 “正态分布积分值 ”、 “误差函数表 ”、 “正态曲线下的面积函数表 ”、 “拉普拉斯函数 dtex x t 2221 的值 ”等不同的名称 . 5 式 (4.2.2)的几何意义是在区间 ,x 内正态曲线与 x 轴之间所围曲边梯形的面积 ,如图 (4)所示 , 这也是将
11、 “正态分布表 ”称作 “正态概率曲线下的面积 ”的道理 . 由于密度函数 x 可以在整个 x 轴上取值 ,由密度函数性质得 : 121 22 dtet即正态曲线性质 4:曲线与 x 轴所 围 面积为 l4. 4.3.正态分布表的几种形式 式 (4.2.2)通常称概率积分由于积分的上下限不同 ,可得到以下几种不同形式的正态分布表 . dtex x t 2221 x (4.3.1) dteu u t 0 2221 ( 0u ) (4.3.2) dtez zzt 2221 (4.3.3) dtet ttx 2212 (4.3.4) dtek k tx 0 2222 0k (4.3.5) dtekk
12、t 0220 21 0 0k (4.3.6) 6 02tx u z k k 、 、 、 、 和均有现成表可查 . 一种文献只附有一种形式的正态分布表 .这六种不同形式的正态分布表 ,形式虽异 ,但实质相同 ,对同一问题 ,无论用那种形式的表都会得到同一结果 .这六种表中 ,其 x u z k 、 、 、较为常见而 2t 0k和 则出现较少 5. 式 (4.3.2)的几何意 义 如图 5所示 ,式 (4.3.3)式 (4.3.4)和式 (4.3.5)的几何意义如图 6,式(4.3.6)的几何意义如图 7.只有弄清了这 六种表的含义 ,工作中无论碰到哪种形式的表 ,都可以运用自如 . 对式 (4.
13、3.1)、 式 (4.3.2)所定义的这两种形式的正态分布表 ,由正态曲线的对称性和曲线与横轴所围面积为 l可知 : 当 0x ,则有 5.0x ,即 : 5.021 20 2 dte t 当 ,u 则有 5.0u ,即 : 5.021 20 2 dte t 当 ux 且均为正值时有 : 5.0 ux 当 x 为 u 的相反数时有 : 5.0 ux 当 kzx 时 ,有 : kzu 2 7 令 10 kktzux ,由各相应正态分布表查得 : 8413.01 x , 3413.01 u , 6826.01 z , 6826.0707.021 , 6826.01 k , 1587.010 k ,
14、 可以看出 : 5.011 0 ku , 这从图 5、 图 7及曲线性质 4(对称轴两边面积各为 0.5)容易得出 . 由正态曲线的对称性和曲线与 x 轴所围面积为 1还可以得到以下关系式 : xxPxP 11 (4.3.7) xx 1 (4.3.8) 式 (4.3.7)式 (4.3.8)的几何意义如图 8,如图 9所示 其实由 x 的几何意义可直接得出式(4.3.7)和式 (4.3.8) 4. 5.正态随机变量落在区间 (x1,x2)内的概率计算 概率统计指出 ,连续随机变量 落在区间 21,xx 内的概率等于它的密度函数 x 在该区间上的定积分 ,即 : dxxxxxP xx 2121 对
15、 1,0 N 有 : dtexxxP xx t 21 2221 21 (5.1) 对 2, N 有 : 8 dtexxxP xx t 21 2 2221 21 ( 1.5 ) 式 (5.1)的几何意义如图 10所示 . 有了正态分布表 ,计算上面两个积分就十分容易了 对服从标准正态分布的随机变量 ,可直接查正态分布表 ,对服从一般正态分布的随机变量 ,通过变量置换也可以直接查正态分布表 . 5.1.当值机变量 N(0,1)时的概率计算 若 1,0N ,则 落在区间 21,xx 内的概率由式 (5.1)和式 (4.2.2)得 : 1222221 1 22 221 2 212121 xxdtedtedtexxxP x tx txx t (5.1.1) 12 xx 和 可由式 (4.2.2)所定义的正态分布表查得 .以后若无特别指明 ,文中的正态分布表均指式 (4.2.2)定义的那种形式的正态分布表 . 倒 1设 )1,0(N ,求 : 2.13.0 P ; 3.0P ; 2.1P 解 : 由式 (5.1.1)得 : 3.02.12121212.13.0 3.0 22.1 22.1 3.0 2 222 dtedtedteP ttt 由正态分布表查得 : X图1 0Ox1 x2
