1、 1 / 10华东理工大学线性代数作业簿（第八册）学 院_专 业_班 级_学 号_姓 名_任课教师_6.1 二次型及其标准型1. 填空题(1)设三阶矩阵 的行列式为 0,且有两个特征值为 1， ，A矩阵 与 合同 , 与 合同,则矩阵 是_阶矩阵,其秩BC._)(Cr解：三，2.(2) 设 阶矩阵 与正交阵 合同，则 . nAB_)(Ar解： . 因 为正交阵，故 可逆. 与 合同即存在可逆矩阵 ，使得 ，故 = .CT)(rn(3)二次型 , 则此二次型的211221 )(),(ninixxf矩阵 , 二次型的秩为_, 二次型的正交A变换标准型为_.2 / 10解： ， ，1.1.nn221
2、1,nnyy提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）. 因此求二次型的秩有两种方法：1) 直接求二次型的矩阵 的秩，2）先求 的特征值，AA有几个非零特征值（重根按重数计算） ，二次型的秩就是几.A(4) 二次型 其中 ，则二次型的矩阵为,)(TxfT_ _.解： . 提示： 不是二次型的矩阵，因 不是对)(21TA A称阵。注意到 的值是一个数，即 ，故有xfT)()(Txf. 而 为对称阵.xAxf )(2121)( 21(5) 设 元( 2)实二次型 的正n()Tf)(TA其 中交变换标准型为 ，则 _，矩阵 的迹为 21y_.解：0, . 提
3、示： 的特征值为 A1,2,，根据 易得.30n trnini11),(6) 如果二次型 221231313(,)56fxxcx的秩为 2，则参数 = _， 表示的曲面236xc),(2f为_.3 / 10解：3, 椭圆柱面. 提示：二次型的矩阵 的秩为 2，故3A，由此可求得 = 3. 再求出 的特征值为0|Ac，即标准型为 ，由此知9,4,3212394yf为椭圆柱面.)(xf2. 已知二次型 （ ） 32321321),( xaxxf 0通过正交变换化成标准型 ，求 a 的值及所用25yyf的正交变换矩阵 .Q解：二次型的矩阵为 ， ，由30aA)9(2aA即 得 . 有三个不同的特征值
4、123A1)9(2a1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出对应的特征向量 , , 并把它们单位T10T20T31,化，得正交变换矩阵为 .120Q3. 已知二次曲面方程 可以通4222 yzxbzayx过正交变换4 / 10xyPz化为椭圆柱面 . 求 a,b 的值和正交矩阵 Q.24解: 由 与 相似，故1A410B， =0，进而得 . 代入后分别()5trAtB,3ba求出 的线性无关的特征向量 , , T10,T21, 显然他们两两正交，把它们单位化，可得正交变换T312矩阵为.123601236Q6.2 正定二次型与正定矩阵1. 选择题(1) 设矩阵 ，则 与 （
5、2130,2ABAB）.(A) 合同，但不相似； (B) 合同，且相似；(C) 不合同，也不相似； (D) 不合同，但相似.解：A.5 / 10(2) 下列二次型中，正定的二次型是 ( ).22131322 2143434236CD.fxxxfxxxA； ；解：D.(3) 设 n 阶方阵 都正定，则下述选项不正确的是（ ）.BA,(A) 正定； (B) 正定；AB(C) 正定； (D) 正定. 1*解：B . 未必对称，故不正定.A(4) 与“实二次型 （其中 ）是正定的”等AxfT)(AT价的选项是（ ）.(A) 对任意 ，恒有 ； x0)(f(B) 二次型的负惯性指数为零；(C) 存在可逆
6、阵 ，使得 ； PPAT(D) 的特征值均不小于零.A解：C .(5)若用 表示 为负定矩阵，则下述选项正确的是 ( ). O(A) 若 ，则 0;A(B) 若 ，则 的顺序主子式均小于零 ;(C) 若 ，则对任意与 同阶的可逆阵 都有 ;ACATO(D) 若 ，则其中至少有一个 .12.nAOi6 / 10解：C . 提示：事实上, 等价于 ACTO0TACxf, 即 ，等价于 .)0(x0Ty)(2. 填空题(1) 二次型 在正交变221231313(,)54fxxx换下的标准型为 ；而它在非正交变换 下的结果是 .65210xy解：都是 . 2212313(,)560fxyy(2) 设
7、是正定二次型，3212321321),( xtxf则 的取值范围是_.t解： . 提示：根据二次型矩阵的各阶顺序主子t式大于零求解.(3) 设 为一个三阶矩阵，其特征值为-1，-1，2，则当 满A k足_条件时， 为正定二次型, 此时的规3()TfxAkIx范型为_.解： , . 提示：由 的特征值为-1，-1，21k232知 的特征值为 又3()AI ,)(,1(,)(33kk为正定二次型，其特征值必须全部都大于零，Tfxkx故得 .17 / 103. 设二次型 经正交变换 可化为标准型AxfT)(Pyx，证明：二次型221nyy经相同的正交变换 可化为标准)()(TRkxAxg yx型22
8、21 )()()( nkyy证： TTgxPAkP yy)()(（ ）（221n）221nkyky 221 )()()( nykyk4. 设二次型 ，试221231313(,)4fxtxtx24x用正交变换化 为标准型，并讨论当 取何值时 为负定二次f型解：根据第 3 题的结论，我们只需先求出二次型的正交变换矩阵及其标准型。经计算得21244xxg二次型 的矩阵的特征值为-2,-2,4. 对应的线性无关的特征向量为 . 经施密特正交化，单位化可得所求TT,0,的正交变换矩阵为 , 而 在正交变12613 0Pg8 / 10换下的标准型为 故有：23214yyg3231212321 4),( x
9、xtxtxf 在正交变换 下的标准型为 Py )()()( ytty二次型 为负定二次型，即 , ,故有 （也f 0t0可用顺序主子式来解）.5. 设矩阵 A 为任意 n 阶的实对称阵，试分别确定实数 的取值范t围，使得 是 1)正定矩阵；2)负定矩阵；3)不定矩阵；4)tI不可逆矩阵解: 因 A 为 n 阶实对称矩阵,故一定存在正交矩阵 P,使得: ,其中)(21nTdiagP为矩阵 A 的特征值.21in 于是有: , ),()( 21nT ttdiagAtI 故: 1) 当 时, 为正定矩阵；1ttI2) 当 时, 为负定矩阵；n3) 当 时, 为不定矩阵；1tAtI4) 当 时, 为不
10、可逆矩阵.2n t6. 设 A 为 n 阶实对称阵，试证：如果 A 是正定阵又是正交矩阵，则 .I证:（证法一）因为 A 为 n 阶实对称阵，故存在可逆阵 P，使9 / 10，ndiagAP,211其中 是 A 的特征值. 因为 A 正定且正交，所以n,21，且 为 也即 的特征值；由于 的0,ii i11属于 的特征向量与 A 的属于 的特征向量相同，故有1i i.112,nPdiag又由 可得APAT1.1212(,),nndiagi 所以 ，由 得 . 即,ii 0i,i，故IAP1.IPA1（证法二） 由 及 ，得 ，即TITIA2，O因为 A 正定，所以1 不是 A 的特征值，即 ，所以0I可逆，从而 ，即 .III7. 阶实对称矩阵 A，B 均为正定矩阵，试证明：乘积矩阵 ABn正定的充分必要条件是 A，B 可交换.证：“必要性”显然；“充分性” 由题设，知 ， ；再由 ，TTBA可知 ，故 AB 是对称矩阵.T()由正定矩阵的判别定理知，存在可逆矩阵 C，D，使成立10 / 10，TACTBD于是 ，进而成立TABD1TTT()()C由 C， D 均可逆， 知矩阵 正定，故而其特征D值全大于零. 结合它相似于 ，即知 的特征值全大于零. AB综合即得， 正定.
