1、- 1 -2015 普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=BAxBx则,30,21A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)1、选 A(2)若 a 实数，且 aii则,312A.-4 B. -3 C. 3 D. 42、解：因为 故选 D.4,2)1(aiiai 所 以(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 27002600250024002300220021002000
2、19002013(年 )201220112010200920082007200620052004A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。3、选 D（4）已知向量 abba）则 （ 2),1(),0(A. -1 B. 0 C. 1 D. 24、选 B(5)设 若项 和 ，的 前是 等 差 数 列 nSn 5531,S则A. 5 B. 7 C. 9 D. 115、解：在等差数列中，因为 .,52)(,335153531 AaaSa
3、故 选所 以 - 2 -(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. B. C. D. 8176156、解：如图所示，选 D.(7)已知三点 ,则 外接圆的圆心到原点的距离为)32()0(),， CBAABA. B. C. D. 35321547、解：根据题意，三角形 ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为 D，则 D（1， ）所以，故选 B.3274O(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 。执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a为是 否是 否A. 0 B. 2 C
4、. 4 D.148、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以 a=b=2，故选 B.开始输入 a,babb=b-aa=a-b输出 a结束a b- 3 -(9)已知等比数列 C24531),1(,4aaan 则满 足A. 2 B. 1 C. D. 289、解：因为 所以，),(,4531n满 足故选 C.214,2),(4 1231442 qaqaaa 所 以， 所 以又解 得（10）已知 A,B 是球 O 的球面上两点， 若三棱锥 O-为 该 球 面 上 动 点 ，CAOB,90ABC体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为A. 36 B. 64 C.
5、144 D.25610、解：因为 A,B 都在球面上，又所以为 该 球 面 上 动 点 ，CAOB,90三棱锥的体积的最大值为 ，所以361231RR=6，所以球的表面积为S= ，故选 C.42R(11)如图，长方形的边 AB=2，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动，记 的 图 像 大 致 为则数两 点 距 离 之 和 表 示 为 函到将 动 点 )(, xffBAPxBO DCBA 34243442342222243424 XOYXYOXOYYXO11、解：如图，当点 P 在 BC 上时， ,tan4ta,t,22xxPAB当 时取得最大值 ，4x51
6、xPOD CBAxPOD CBA- 4 -以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB.51又函数 不是一次函数，故选 B.)(xf（12）设函数 的 范 围 是成 立 的则 使 得 xxffxf )12(),1)ln()2A. B. C. D. )1,3(,3,3,1(),3(,12、解：因为函数 时 函 数 是 增 函 数是 偶 函 数 ， )0)l()2xxxf故选 A.1,)1(,122() fxf 解 得第二卷二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分（13）已知函数 。axaxf ） ， 则的 图 像 过 点 （ 4,-
7、)(313、答：a=-2（14）若 x,y 满足约束条件 。的 最 大 值 为则 yxzyx2,012,514、解：当 x=3,y=2 时，z=2x+y 取得最大值 8.（15）已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为），（ 3,4xy21。15、解：设双曲线的方程为 .43,4),0(2 kkyx） 代 入 方 程 ， 解 得，点 （142双 曲 线 的 标 准 方 程 为（16）已知曲线 在点（1,1）处的切线与曲线xylnaaxy相 切 ， 则1)2(2。16、解： .122, xy， 切 线 方 程 为切 线 的 斜 率 为.80.8,0 ,01)(1222 aaxx
8、ayxy所 以 与 切 线 平 行 ， 不 符 。时 曲 线 为或解 得由 联 立 得与将- 5 -三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分） .2,DCBADBCA平 分上 的 点 ，是中 ，（）求 （）若;sin60求17、解：（）由正弦定理得 ,sin再由三角形内角平分线定理得 ，21BDCA.21sinB（） 0,60BAC.30,tan ,sin)1si(,isin.21si1展 开 得） 得由 （18. （本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的
9、评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.400.0050.0100.035A地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O 满 意 度 评 分频 率组 距B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100频 数 2 8 14 10 6（I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）-
10、 6 -0.0050.0100.035B地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O 满 意 度 评 分频 率组 距（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.18、解：（1）B 地区频率分布直方图如图所示0.0050.0100.035B地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图0.0400.0300
11、.0250.0200.0151009080706050O 满 意 度 评 分频 率组 距比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分A 地区用户评价意见较分散， B 地区用户评价意见相对集中。（2）A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6，B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25，所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概
12、率大。19. （本小题满分 12 分）如图 ,长方体 中 AB=16,BC=10, ,点 E,F1ABCD18A分别在 上, 过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一11,BDC14.E个正方形.- 7 -FED1 C1B1A1 D CBA（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由） ；（II）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.19、解：（I）在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即平面 。（II）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即 .9712604121E
13、MBASV20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ,点 在 C 上.2:10xyCab2（I）求 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.20、解、 （I）如图所示，由题设得 ,2ac又点的坐标满足椭圆的方程，所以 ，14b联立解得：.48,4,822 yxCba的 方 程 为 ：所 以 切 线（II）设 A,B 两点的坐标为 .,21 mnkMyxyx o）的 坐 标 为 （点） ， （ ,8,822 则上面两个式子相减得： .2121.0)()
14、( 222121 nmyxxyxy 变 形 得FED1 C1B1A1 D CBAC(2, 2)YXOMBA- 8 -（定值）.21)(12 mnnxykoml21. （本小题满分 12 分）已知 .lfxax（I）讨论 的单调性；fx（II）当 有最大值,且最大值大于 时,求 a 的取值范围.221、解：已知 .ln1fxax.),1()1,0)(0.)(1 上 是 减 函 数上 是 增 函 数 ， 在在 （时 ， 函 数当 ） 上 是 增 函 数 ；，在 （时 ， 函 数当 aaxfaf（II）由（1）知，当 .ln1( afxf 时 取 得 最 大 值在时 ， 函 数 .01ln,2lna
15、a整 理 得由 .1,0(,),(,0)1( ),l ）即上 述 不 等 式 即函 数 。 又 ） 是 增，在 （）（则设 agag xgxxgx请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点, O 与ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.（I）证明 .B（II）若 AG 等于 O 的半径,且 ,23AMN求四边形 EDCF 的面积.22、（I）证明：由切线的性质得 AE=AF，所
16、以AEF 是等腰三角形，又 AB=AC,所以 EFABCACFBE, . NM GO FE D CB A- 9 -（II）解： , ROGEAOE则连 接 2)32(4,22 MRA， .,600, 310cos511,1 都 是 等 边 三 角 形， AEFBCBADBOE DMN .316sin32sin3212 CFS四 边 形23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中,曲线 （t 为参数,且xOy1cos:inxtCy）,其中 ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴0t的极坐标系中,曲线 23:si:2cos.（I）求 与 交点的直角坐标；2C3（II
17、）若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求121C3最大值AB23.在直角坐标系 中,曲线 （t 为参数 ,且 ）,其中 ,xOy1cos,:inxty0t在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 23:sin,:2cos.C（I）求 与 交点的直角坐标；2C3（II）若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 最大值.11C3A解：（I）曲线 的直角坐标方程是2:sin,:2cos.03;021 xyxyx .23,.23.0,21 ），、 （）交 点 的 直 角 坐 标 为 （联 立 解 得 CyNMGOFED CBA- 10 -（II）曲线 .01 ），（的 极 坐
18、标 方 程 为 RC.465.)3sin(co32sin ,cos2,i取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为时 ，当所 以 ）的 极 坐 标 为 （点）的 极 坐 标 为 （因 此 点 ABB24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲设 均为正数,且 .证明：,abcdabcd（I）若 ,则 ；（II） 是 的充要条件.cc24、证明：（I）因为 ,2,222 cddcabba ）（由题设知 .,cd（II）（必要性） .4)(4)(,)()(, 2222 cdabbadcba 变 形 得则若 .1, dcba） 得由 （充分性）若 22,dcba则. .444.,22 222dcba dcdcab 成 立 的 充 要 条 件 。是所 以 ，
