1、第 1 页 共 12 页天津市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分） （2013 天津）计算（ 3）+ （ 9）的结果等于（ ）A12 B 12C6 D 62 （3 分） （2013 天津）tan60 的值等于（ ）来#% 源: 中教 网A 1 B C D 23 （3 分） （2013 天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）ABCD4 （3 分） （2013 天津）中国园林网 4 月 22 日消息：为建设生态滨海，2013 年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210
2、000m2，将 8210 000 用科学记数法表示应为（ ）A821102 B82.1105 C8.21106 D0.8211075 （3 分） （2013 天津）七年级（1）班与（2）班各选出 20 名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同， （1）班成绩的方差为 17.5， （2）班成绩的方差为 15，由此可知（ ）A（1）班比（2）班的成绩稳定 B （2）班比（1）班的成绩稳定C 两个班的成绩一样稳定 D无法确定哪班的成绩更稳定6 （3 分） （2013 天津）如图是由 3 个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（ ）ABCD7 （
3、3 分） （2013 天津）如图，在 ABC 中，AC=BC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，将ADE 绕点 E 旋转180得 CFE，则四边形 ADCF 一定是（ ）A矩形 B菱形 C正方形 D梯形考点： 旋转的性质；矩形的判定3718684分析： 根据旋转的性质可得 AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形 ADCF 是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出ADC=90 ，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩第 2 页 共 12 页形解答解答： 解：ADE 绕点 E 旋转 180得CFE ，AE=CE，DE=EF，四边形 ADCF 是
4、平行四边形，AC=BC，点 D 是边 AB 的中点，ADC=90，四边形 ADCF 矩形故选 A8 （3 分） （2013 天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ）A ：3 B ：2 C 1：2 D ：29 （3 分） （2013 天津）若 x=1，y=2，则 的值等于（ ）ABCD10 （3 分） （2013 天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列 3 个不同的问题情境：小明骑车以 400 米/分的速度匀速骑了 5 分，在原地休息了 4 分，然后以 500 米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为 x 分，离出发地的距离为 y 千米；有一个容积为 6 升的开口空桶，小亮以 1.2 升
5、/ 分的速度匀速向这个空桶注水，注 5 分后停止，等 4 分后，再以 2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为 x 分，桶内的水量为 y 升；矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，动点 P 从点 A 出发，依次沿对角线 AC、边 CD、边 DA 运动至点 A 停止，设点 P的运动路程为 x，当点 P 与点 A 不重合时，y=S ABP；当点 P 与点 A 重合时，y=0其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ）A0 B1 C2 D3考点： 函数的图象3718684分析： 小明骑车以 400 米/分的速度匀速骑了 5 分，所走路程为 2000 米，与图象不符合；小亮以 1.2 升/分
6、的速度匀速向这个空桶注水，注 5 分后停止，注水量为 1.25=6 升，等 4 分钟，这段时间水量不变；再以 2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，则 3 分钟后水量为 0，符合函数图象；当点 P 在 AC 上运动时，S ABP 的面积一直增加，当点 P 运动到点 C 时，S ABP=6，这段时间为 5， ；当点P 在 CD 上运动时， SABP 不变，这段时间为 4， ；当点 P 在 DA 上运动时，S ABP 减小，这段时间为 3，符合函数图象；解答： 解：小明骑车以 400 米/分的速度匀速骑了 5 分，所走路程为 2000 米，与图象不符合；小亮以 1.2 升/分的速度匀速向这个空桶注水，
7、注 5 分后停止，注水量为 1.25=6 升，等 4 分钟，这段时间水量不变；再以 2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，则 3 分钟后水量为 0，符合函数图象；如图所示：第 3 页 共 12 页当点 P 在 AC 上运动时， SABP 的面积一直增加，当点 P 运动到点 C 时，S ABP=6，这段时间为 5， ；当点 P 在CD 上运动时，S ABP 不变，这段时间为 4， ；当点 P 在 DA 上运动时，S ABP 减小，这段时间为 3，符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为 2故选 C二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）11 （3 分） （201
8、3 天津）计算 aa6 的结果等于 a 7 12 （3 分） （2013 天津）一元二次方程 x（x 6）=0 的两个实数根中较大的根是 6 13 （3 分） （2013 天津）若一次函数 y=kx+1（k 为常数， k0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 k0 14 （3 分） （2013 天津）如图，已知C=D ，ABC=BAD，AC 与 BD 相交于点 O，请写出图中一组相等的线段 AC=BD（答案不唯一） 考点： 全等三角形的判定与性质3718684专题： 开放型分析： 利用“ 角角边 ”证明 ABC 和BAD 全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可解答： 解： 在 ABC
9、 和BAD 中，ABCBAD（AAS） ，AC=BD，AD=BC故答案为：AC=BD（答案不唯一） 15 （3 分） （2013 天津）如图，PA、PB 分别切 O 于点 A、B，若P=70，则 C 的大小为 55 （度） 16 （3 分） （2013 天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率是 17 （3 分） （2013 天津）如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD=3，ADE=60 ，则 AE 的长为 7 第 4 页 共 12 页考点： 相似三角形的判定与
10、性质；等边三角形的性质3718684分析： 先根据边长为 9，BD=3 ，求出 CD 的长度，然后根据 ADE=60和等边三角形的性质，证明ABDDCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得 CE 的长度，即可求出 AE 的长度解答： 解：ABC 是等边三角形，B=C=60，AB=BC；CD=BCBD=93=6；BAD+ADB=120ADE=60，ADB+EDC=120，DAB=EDC，又B=C=60 ，ABDDCE，则 = ，即 = ，解得：CE=2，故 AE=ACCE=92=7故答案为：718 （3 分） （2013 天津）如图，将 ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A
11、、B、C 均落在格点上（）ABC 的面积等于 6 ；（）若四边形 DEFG 是ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点 P，连接 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与 AB 相交得点 E，分别过点 D、E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点G，F，则四边形 DEFG 即为所求 考点： 作图 相似变换；三角形的面积；正方形的性质3718684专题： 计算题分析： （）ABC 以 AB 为底，高为 3 个单位，求出面积
12、即可；（）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点 P，连接 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与 AB 相交得点 E，分别过点 D、E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点 G，F ，则四边形 DEFG 即为所求第 5 页 共 12 页解答： 解：（）ABC 的面积为： 43=6；（）如图，取格点 P，连接 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与 AB 相交得点 E，分别过点 D、E 画 PC 的平行线，与
13、CB 相交得点 G，F，则四边形 DEFG 即为所求故答案为：（）6；（）取格点 P，连接 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接 PQ 与 AC相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与 AB 相交得点 E，分别过点 D、E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点G，F，则四边形 DEFG 即为所求点评： 此题考查了作图位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键三、解答题（共 8 小题，满分 66 分）19 （6 分） （2013 天津）解不等式组 20 （8 分） （2013 天津）已知反比例函数 y= （k 为常数，k0）的图象经过
14、点 A（2，3） （）求这个函数的解析式；（）判断点 B（ 1，6） ，C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；（）当3x 1 时，求 y 的取值范围考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征3718684分析： （1）把点 A 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得 k 的值（）只要把点 B、C 的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于 6 时，即该点在函数图象上；（）根据反比例函数图象的增减性解答问题解答： 解：（）反比例函数 y= （k 为常数，k0）的图象经过点 A（2，3） ，把点 A 的坐标代入解析式，得3= ，解得，k=
15、6，这个函数的解析式为：y= ；（）反比例函数解析式 y= ，6=xy分别把点 B、C 的坐标代入，得第 6 页 共 12 页（1 ）6= 66，则点 B 不在该函数图象上32=6，则点 C 中该函数图象上；（）当 x=3 时，y= 2，当 x=1 时，y=6，又 k 0，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，当 3 x1 时，6y 221 （8 分） （2013 天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校 1900 名学生发起了“ 心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图和图，请根据相关信息，解答下列是问题：（）本次接受随机抽
16、样调查的学生人数为 50 ，图中 m 的值是 32 ；（）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数解答： 解：（1）根据条形图 4+16+12+10+8=50（人） ，m=1002024168=32；（2） = （54+10 16+1512+2010+308）=16，这组数据的平均数为：16，在这组样本数据中，10 出现次数最多为 16 次，这组数据的众数为：10，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 15，这组数据的中位数为： （15=15）=15 ；（3）在 50 名学生中，捐款金额为 10 元
17、的学生人数比例为 32%，由样本数据，估计该校 1900 名学生中捐款金额为 10 元的学生人数比例为 32%，有 190032%=608，该校本次活动捐款金额为 10 元的学生约有 608 名故答案为：50，3222 （8 分） （2013 天津）已知直线 I 与O，AB 是O 的直径，ADI 于点 D（）如图，当直线 I 与O 相切于点 C 时，若DAC=30 ，求BAC 的大小；（）如图，当直线 I 与O 相交于点 E、F 时，若DAE=18 ，求BAF 的大小第 7 页 共 12 页考点： 切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系3718684分析： （）如图，首先连接 OC，根据当
18、直线 l 与O 相切于点 C，ADl 于点 D易证得 OCAD，继而可求得BAC=DAC=30；（）如图，连接 BF，由 AB 是O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 AFB=90，由三角形外角的性质，可求得AEF 的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得 B 的度数，继而求得答案解答： 解：（）如图，连接 OC，直线 l 与 O 相切于点 C，OCl，ADl，OCAD，OCA=DAC，OA=OC，BAC=OCA，BAC=DAC=30；（）如图，连接 BF，AB 是O 的直径，AFB=90，BAF=90B，AEF=ADE+DAE=90+18=108，在 O 中，四边形 ABFE 是圆的内
19、接四边形，AEF+B=180，B=180108=72，BAF=90B=18072=1823 （8 分） （2013 天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点 A处测得天塔最高点 C 的仰角为 45，再往天塔方向前进至点 B 处测得最高点 C 的仰角为 54，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度 CD（tan360.73，结果保留整数） 第 8 页 共 12 页考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 3718684分析： 首先根据题意得：CAD=45，CBD=54，AB=112m，在 RtACD 中，易求得 BD=ADAB=CD
20、112；在 RtBCD 中，可得 BD=CDtan36，即可得 CDtan36=CD112，继而求得答案解答： 解：根据题意得：CAD=45，CBD=54，AB=112m，在 RtACD 中， ACD=CAD=45，AD=CD，AD=AB+BD，BD=ADAB=CD112（m） ，在 RtBCD 中，tan BCD= ，BCD=90CBD=36，tan36= ，BD=CDtan36，CDtan36=CD112，CD= 415（m ） 答：天塔的高度 CD 为：415m 24 （8 分） （2013 天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过
21、100 元后，超出 100 元的部分按 90%收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95%收费，设小红在同一商场累计购物 x 元，其中 x100（1）根据题题意，填写下表（单位：元）累计购物实际花费130 290 x在甲商场 127 在乙商场 126 （2）当 x 取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（3）当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费少？解答： 解：（1）在甲商场：100+（290100）0.9=271，100+（290 100） 0.9x=0.9x+10；在乙商场：50+（290 50） 0.95=278，第 9 页 共
22、12 页50+（290 50） 0.95x=0.95x+2.5；（2）根据题意得出：0.9x+10=0.95x+2.5，解得：x=150，当 x=150 时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，（3）由 0.9x+100.95x+2.5 ，解得：x150，0.9x+100.95x+2.5，解得：x150，yB=0.95x+50（195%）=0.95x+2.5，正确；当小红累计购物大于 150 时上没封顶，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过 100 元而不到 150 元时，在乙商场实际花费少25 （10 分） （2013 天津）在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0） ，点 B（0，4） ，
23、点 E 在 OB 上，且OAE=0BA（）如图，求点 E 的坐标；（）如图，将AEO 沿 x 轴向右平移得到A EO，连接 AB、BE 设 AA=m，其中 0m2 ，试用含 m 的式子表示 AB2+BE2，并求出使 AB2+BE2 取得最小值时点 E的坐标；当 AB+BE取得最小值时，求点 E的坐标（直接写出结果即可） 解答： 解：（）如图，点 A（2，0） ，点 B（0，4） ，OA=2，OB=4OAE=0BA， EOA=AOB=90，OAEOBA， = ，即 = ，解得，OE=1，点 E 的坐标为（0，1） ；（）如图，连接 EE由题设知 AA=m（0m2） ，则 AO=2m在 RtABO
24、 中，由 AB2=AO2+BO2，得 AB2=（2 m） 2+42=m24m+20AEO是AEO 沿 x 轴向右平移得到的，EEAA，且 EE=AA第 10 页 共 12 页BEE=90，EE=m又 BE=OBOE=3，在 RtBEE 中， BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m24m+29=2（ m1） 2+27当 m=1 时，AB 2+BE2 可以取得最小值，此时，点 E的坐标是（1，1） 如图，过点 A 作 ABx，并使 AB=BE=3易证ABAEBE ，BA=BE，AB+BE=AB+BA当点 B、A、B在同一条直线上时， AB+BA最小，即此时 AB+BE取得最小值易证
25、ABAOBA， = = ，AA= 2= ，EE=AA= ，点 E的坐标是（ ，1） 26 （10 分） （2013 天津）已知抛物线 y1=ax2+bx+c（a 0）的对称轴是直线 l，顶点为点 M若自变量 x 和函数值 y1 的部分对应值如下表所示：（）求 y1 与 x 之间的函数关系式；（）若经过点 T（0，t）作垂直于 y 轴的直线 l，A 为直线 l上的动点，线段 AM 的垂直平分线交直线 l 于点 B，点B 关于直线 AM 的对称点为 P，记 P（x，y 2） （1）求 y2 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x 取任意实数时，若对于同一个 x，有 y1y 2 恒成立，求 t 的取值范围x 1 0 3 y1=ax2+bx+c 0 0 分析： （II）先根据（I）中 y1 与 x 之间的函数关系式得出顶点 M 的坐标
