1、解三角形应用举例一选择题（共 19 小题）1 （2014海南模拟）如图，已知 A，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点 A 所在的河岸边另选定一点 C，测得AC=50m，ACB=45，CAB=105，则 A、B 两点的距离为（ ）Am B m C m Dm2 （2014海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧 A、B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A、B 不共线的一点 C，然后给出了三种测量方案：（ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别记为 a、b、c）：测量 A、C、b；测量 a、b、C； 测量 A、B 、a；则一定能确定 A、B 间距离的所有方案的序号为（ ）A B C D3 （201
2、4重庆一模）在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于 P 点，一分钟后，其位置在 Q 点，且POQ=90，再过两分钟后，该物体位于 R 点，且QOR=30 ，则 tanOPQ 的值为（ ）AB C D4 （2014成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了 A、B 两个观测点，在 A 处测得该塔底部 C 在西偏北 的方向上，在B 处测得塔底 C 在西偏北 的方向上，并测得塔顶 D 的仰角为 ，已知 AB=a，0 ，则此塔高 CD为（ ）A tanB tanC tan Dtan5 （201
3、4浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米） ，已测得隧道两端点 A，B到某一点 C 的距离分别为 5 和 8，ACB=60，则 A，B 之间的距离为（ ）A7 B 10 C 6 D86 （2014房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于 800cm2 的内接矩形玻璃（阴影部分） ，则其边长 x（单位：cm）的取值范围是（ ）A10，30 B 25，32 C 20，35 D20，407 （2014濮阳一模）如图所示，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的
4、南偏西 30相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东+30角的方向沿直线前往 B 处营救，则 sin 的值为（ ）AB C D8 （2014成都三模）某公司要测量一水塔 CD 的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择 A，B两个观测点，在 A 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 ，在 B 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 ，已知AB=a，0 ，则水塔 CD 的高度为（ ）AB C D9 （2014怀化一模）在等腰 RtABC 中，AB=AC=4，点 P 是边 AB 上异于 A，B 的一点，光线从点 P 出发，经BC，CA 反射后又回到原来的点 P若 ，则PQR 的周长等于（ ）A
5、B C D10 （2012珠海一模）台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，则 B 城市处于危险区内的时间为（ ）A 0.5 小时 B 1 小时 C 1.5 小时 D 2 小时 11 （2011宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力 F1，F 2，F 3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 D 成120角，且 y=g（x）的大小分别为 1 和 2，则有（ ）AF1，F 3 成 90角 B F1，F 3 成 150角 C F2，F 3 成 90角 DF2，F 3 成 60角12 （2011大连二模）
6、已知 A 船在灯塔 C 北偏东 75且 A 到 C 的距离为 3km，B 船在灯塔 C 西偏北 15o 且 B 到 C的距离为 km，则 A，B 两船的距离为（ ）A5km B km C 4km Dkm13 （2011安徽模拟）如图，在山脚下 A 测得山顶 P 的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 a 米到达 B，在 B处测得山顶 P 的仰角为 ，则山高 PQ 为（ ）ABC D14 （2010武昌区模拟）某人朝正东方向走 xkm 后，向右转 150，然后朝新方向走 3km，结果他离出发点恰好，那么 x 的值为（ ）A2 或 B 2 C D315 （2010江门一模）海事救护船 A 在基地的北
7、偏东 60，与基地相距 海里，渔船 B 被困海面，已知 B 距离基地 100 海里，而且在救护船 A 正西方，则渔船 B 与救护船 A 的距离是（ ）A100 海里 B 200 海里C 100 海里或 200 海里 D海里16 （2010武汉模拟）飞机从甲地以北偏西 15的方向飞行 1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东 75的方向飞行1400km 到达丙地，那么丙地距甲地距离为（ ）A1400km B 700 km C 700 km D1400 km17 （2010石家庄二模）如图，一条宽为 a 的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为 b（0ba） 则该平板车长度的
8、最大值为（ ）AB C D18 （2009韶关二模）北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 米（如图所示） ，则旗杆的高度为（ ）A10 米 B 30 米 C 10 米 D米19 （2009温州一模）北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，看台上第一排和最后一排的距离 米（如图所示） ，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为 50 秒，升旗手匀速升旗
9、的速度为（ ）A（米/秒） B （米/秒） C （米/秒） D（米/秒）二填空题（共 7 小题）20 （2014重庆模拟）如图，割线 PBC 经过圆心 O，PB=OB=1，PB 绕点 O 逆时针旋 120到 OD，连 PD 交圆 O于点 E，则 PE= _ 21 （2014南昌模拟）已知 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边的边长分别为 a，b，c，外接圆半径是 1，且满足条件 2（sin 2Asin2C）=（sinAsinB）b，则 ABC 面积的最大值为 _ 22 （2014韶关二模）一只艘船以均匀的速度由 A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从 A 点观测灯塔 C 的方位角（从正北
10、方向顺时针转到目标方向的水平角）为 45，行驶 60 海里后，船在 B 点观测灯塔 C 的方位角为75，则 A 到 C 的距离是 _ 海里23 （2014潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东 45，与观测站 A 距离 20 海里的 B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站 A 东偏北 （0 45）的 C 处，且cos= ，已知 A、C 两处的距离为 10 海里，则该货船的船速为 _ 海里/小时24 （2014潍坊三模）如图，C 、D 是两个小区所在地，C、D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B 间的距离为 3km
11、，某公交公司要在 A、B 之间的某点 N 处建造一个公交站点，使得 N对 C、D 两个小区的视角CND 最大，则 N 处与 A 处的距离为 _ km25 （2014台州一模）为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度（单位：km）如图所示，且 B+D=180，则 AC 的长为 _ km26 （2014黄冈模拟）路灯距地平面为 8m，一个身高为 1.75m 的人以 m/s 的速率，从路灯在地面上的射影点 C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率 v 为 _ m/s三解答题（共 4 小题）27 （2014广州模拟）如图，某测量人员，为了测量
12、西江北岸不能到达的两点 A，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点 C，从 C 点可以观察到点 A，B ；找到一个点 D，从 D 点可以观察到点 A，C；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B，C；并测量得到数据： ACD=90， ADC=60， ACB=15，BCE=105 ，CEB=45 ，DC=CE=1（百米） （1）求CDE 的面积；（2）求 A，B 之间的距离28 （2014福建模拟）如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M、N （异于村庄 A） ，要求 PM=PN=MN=2（单位：千
13、米） 如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远） 29 （2010福建）某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇（）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（）为保证小艇在 30 分钟内（含 30 分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（）是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种
14、不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由30在平地上有 A、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在 A 的西偏南 65距离为 300 米的地方，在 A 测得山顶的仰角是 30，求山高（精确到 10 米，sin70=0.94） 2014 年 12 月 27 日高中数学解三角形应用举例参考答案与试题解析一选择题（共 19 小题）1 （2014海南模拟）如图，已知 A，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点 A 所在的河岸边另选定一点 C，测得AC=50m，ACB=45，CAB=105，则 A、B 两点的距离为（ ）Am B m C m Dm考点： 解三角
15、形的实际应用菁优网版权所有专题： 应用题；解三角形分析： 依题意在 A，B，C 三点构成的三角形中利用正弦定理，根据 AC，ACB，B 的值求得 AB解答： 解：由正弦定理得 ，AB= = =50 ，A， B 两点的距离为 50 m，故选：D点评： 本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键2 （2014海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧 A、B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A、B 不共线的一点 C，然后给出了三种测量方案：（ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别记为 a、b、c）：测量 A、C、b；测量 a、b、C； 测量 A、B 、a；则一定能确
16、定 A、B 间距离的所有方案的序号为（ ）A B C D考点： 解三角形的实际应用菁优网版权所有专题： 应用题；解三角形分析： 根据图形，可以知道 a，b 可以测得，角 A、B、C 也可测得，利用测量的数据，求解 A，B 两点间的距离唯一即可解答： 解：对于可以利用正弦定理确定唯一的 A，B 两点间的距离对于直接利用余弦定理即可确定 A，B 两点间的距离故选：D点评： 本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用3 （2014重庆一模）在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于 P 点，一分钟后，其位置在 Q
17、 点，且POQ=90，再过两分钟后，该物体位于 R 点，且QOR=30 ，则 tanOPQ 的值为（ ）AB C D考点： 解三角形的实际应用菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 根据题意设 PQ=x，可得 QR=x，POQ=90，QOR=30， OPQ+R=60算出 R=60OPQ，分别在ORQ、OPQ 中利用正弦定理，计算出 OQ 长，再建立关于OPQ 的等式，解之即可求出 tanOPQ 的值解答： 解：根据题意，设 PQ=x，则 QR=2x，POQ=90， QOR=30，OPQ+R=60，即R=60OPQ在ORQ 中，由正弦定理得OQ= =2xsin（60 OPQ）在OPQ 中，
18、由正弦定理得 OQ= sinOPQ=xsinOPQ2xsin（60 OPQ）=xsin OPQ2sin（60 OPQ）=sin OPQ =sinOPQ整理得 cosOPQ=2sinOPQ，所以 tanOPQ= = 故选：B点评： 本题考查利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进行求解是解决本题的关键4 （2014成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了 A、B 两个观测点，在 A 处测得该塔底部 C 在西偏北 的方向上，在B 处测得塔底 C 在西偏北 的方向上，并测得塔顶
19、 D 的仰角为 ，已知 AB=a，0 ，则此塔高 CD为（ ）A tanB tanC tan Dtan考点： 解三角形的实际应用菁优网版权所有专题： 计算题分析： 先求出 BC，再求出 CD 即可解答： 解：在ABC 中， ACB=，ACBA= ，AB=a， ，BC= ，CD=BCtan= tan故选：B点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力5 （2014浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米） ，已测得隧道两端点 A，B到某一点 C 的距离分别为 5 和 8，ACB=60，则 A，B 之间的距离为（ ）A7 B 1
20、0 C 6 D8考点： 解三角形的实际应用菁优网版权所有专题： 解三角形分析： 由余弦定理和已知边和角求得 AB 的长度解答： 解：由余弦定理知 AB= = =7，所以 A，B 之间的距离为 7 百米故选：A点评： 本题主要考查了余弦定理的应用已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解决6 （2014房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于 800cm2 的内接矩形玻璃（阴影部分） ，则其边长 x（单位：cm）的取值范围是（ ）A10，30 B 25，32 C 20，35 D20，40考点： 解三角形的实际应用菁优网版权所有专题： 应用题；解三角形分析： 设矩形的另一边
21、长为 ym，由相似三角形的性质可得： ， （0x60） 矩形的面积 S=x（60x） ，利用 S800 解出即可解答： 解：设矩形的另一边长为 ym，由相似三角形的性质可得： ，解得 y=60x， （0x60）矩形的面积 S=x（60 x） ，矩形花园的面积不小于 800m2，x（ 60x）800，化为（x 20） （x40）0，解得 20x40满足 0x60故其边长 x（单位 m）的取值范围是 20，40故选：D点评： 本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题7 （2014濮阳一模）如图所示，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东
22、方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东+30角的方向沿直线前往 B 处营救，则 sin 的值为（ ）AB C D考点： 解三角形的实际应用菁优网版权所有专题： 应用题；解三角形分析： 连接 BC，在三角形 ABC 中，利用余弦定理求出 BC 的长，再利用正弦定理求出 sinACB 的值，即可求出 sin 的值解答： 解：连接 BC，在ABC 中，AC=10 海里，AB=20 海里，CAB=120根据余弦定理得：BC 2=AC2+AB22ACABcosCAB=100+400+200=700，BC=10 海里，
