1、初二数学经典难题一、解答题（共 10 小题，满分 100 分）1 （10 分）已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点， PAD=PDA=15求证：PBC 是正三角形 （初二）2 （10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC ，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交MN 于 E、F求证：DEN= F3 （10 分）如图，分别以ABC 的边 AC、BC 为一边，在ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半4 （10 分）设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 PBA=PDA求证：P
2、AB= PCB5 （10 分）P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长6 （10 分）一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间 t 分求两根水管各自注水的速度7 （10 分） （2009 郴州）如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M（2， 1） ，且 P（1，2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
3、（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得OBQ 与OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值8 （10 分） （2008 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合） ，点 E 在线段 BC 上，且 PE=PB（1）求证：PE=PD；PE PD；（2）设 AP=x，PBE 的面积为 y求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围
4、；当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值9 （10 分） （2010 河南）如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 （x0）的图象交于 A（1，6） ，B（a，3）两点（1）求 k1、k 2 的值（2）直接写出 时 x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BCOD，OB=CD，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CEOD 于点 E，CE 和反比例函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由10 （10 分） （2007 福州）如图，已知直线 y= x 与双曲线 交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为4（1
5、）求 k 的值；（2）若双曲线 上一点 C 的纵坐标为 8，求 AOC 的面积；（3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 于 P，Q 两点（P 点在第一象限） ，若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共 10 小题，满分 100 分）1 （10 分）已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点， PAD=PDA=15求证：PBC 是正三角形 （初二）考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。1097743专题： 证明题。分析： 在正方形内做DGC 与ADP 全等，根据全等三角
6、形的性质求出PDG 为等边，三角形，根据 SAS 证出DGCPGC，推出 DC=PC，推出 PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可解答： 证明：正方形 ABCD，AB=CD，BAD=CDA=90，PAD=PDA=15，PA=PD，PAB=PDC=75 ，在正方形内做DGC 与ADP 全等，DP=DG，ADP=GDC= DAP=DCG=15，PDG=901515=60，PDG 为等边三角形（有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形） ，DP=DG=PG，DGC=1801515=150，PGC=36015060=150=DGC，在DGC 和 PGC 中，DGCPGC，PC=AD=DC
7、，和 DCG=PCG=15，同理 PB=AB=DC=PC，PCB=901515=60，PBC 是正三角形点评： 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求2 （10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC ，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交MN 于 E、F求证：DEN= F考点： 三角形中位线定理。1097743专题： 证明题。分析： 连接 AC，作 GNAD 交 AC 于 G，连接 MG，根据中位线定理证明 MGBC，且 GM= B
8、C，根据 AD=BC证明 GM=GN，可得GNM= GMN，根据平行线性质可得：GMF=F，GNM= DEN 从而得出DEN=F解答： 证明：连接 AC，作 GNAD 交 AC 于 G，连接 MGN 是 CD 的中点，且 NGAD，NG= AD，G 是 AC 的中点，又 M 是 AB 的中点，MGBC，且 MG= BCAD=BC，NG=GM，GNM 为等腰三角形，GNM=GMN，GMBF，GMF=F，GNAD，GNM=DEN，DEN=F点评： 此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明GNM 为等腰三角形3 （10 分）如图，分别以ABC 的边 AC、BC 为一边，在ABC 外作
9、正方形 ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半考点： 梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。1097743专题： 证明题。分析： 分别过 E，F，C ，P 作 AB 的垂线，垂足依次为 R，S，T，Q，则 PQ= （ER+FS） ，易证 RtAERRtCAT，则 ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB ，即可得证解答： 解：分别过 E，F，C ，P 作 AB 的垂线，垂足依次为 R，S，T，Q，则 ERPQFS，P 是 EF 的中点，Q 为 RS 的中点，PQ 为梯形 EFSR 的中位线，PQ= （ER+FS） ，AE=
10、AC（正方形的边长相等） ， AER=CAT（同角的余角相等） ，R=ATC=90 ，RtAERRtCAT（AAS） ，同理 RtBFSRtCBT，ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，PQ= AB点评： 此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键4 （10 分）设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 PBA=PDA求证：PAB= PCB考点： 四点共圆；平行四边形的性质。1097743专题： 证明题。分析： 根据已知作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，利用 ADEP，AD BC，进而得出
11、ABP=ADP=AEP，得出 AEBP 共圆，即可得出答案解答： 证明：作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，ADEP，ADBC四边形 AEPD 是平行四边形，四边形 PEBC 是平行四边形，AEDP，BE PC，ABP=ADP=AEP，AEBP 共圆（一边所对两角相等） BAP=BEP=BCP，PAB=PCB点评： 此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键5 （10 分）P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长考点： 正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质
12、。1097743专题： 综合题。分析： 把ABP 顺时针旋转 90得到 BEC，根据勾股定理得到 PE=2 a，再根据勾股定理逆定理证明PEC 是直角三角形，从而得到BEC=135，过点 C 作 CFBE 于点 F，CEF 是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出 BC 的长度，即可得到正方形的边长解答： 解：如图所示，把ABP 顺时针旋转 90得到 BEC，APBCEB，BE=PB=2a，PE= =2 a，在PEC 中，PC 2=PE2+CE2=9a2，PEC 是直角三角形，PEC=90，BEC=45+90=135，过点 C 作 CFBE 于点 F，则CEF 是等腰直角三角形，CF=EF=
13、CE= a，在 RtBFC 中， BC= = = a，即正方形的边长为 a点评： 本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键6 （10 分）一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间 t 分求两根水管各自注水的速度考点： 分式方程的应用。1097743分析： 设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为 4x，一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高
14、度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间 t 分可列方程求解解答： 解：设小水管进水速度为 x 立方米/分，则大水管进水速度为 4x 立方米/ 分由题意得：解之得：经检验得： 是原方程解小口径水管速度为 立方米/分，大口径水管速度为 立方米/分点评： 本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解7 （10 分） （2009 郴州）如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M（2， 1） ，且 P（1，2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B（1）写出正比例函数
15、和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得OBQ 与OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值考点： 反比例函数综合题。1097743专题： 压轴题。分析： （1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M（2，1） ，设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；（2）因为 P（ 1，2）为双曲线 Y= 上的一点，所以 OBQ、OAP 面积为 1，依据反
16、比例函数的图象和性质，点 Q 在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；（3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP=CQ，OQ=PC，而点 P（1，2）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值解答： 解：（1）设正比例函数解析式为 y=kx，将点 M（2，1）坐标代入得 k= ，所以正比例函数解析式为 y= x，同样可得，反比例函数解析式为 ；（2）当点 Q 在直线 OM 上运动时，设点 Q 的坐标为 Q（m， m） ，于是 SOBQ= |OBBQ|= mm= m2，而 SOAP= |（ 1） （
17、2）|=1，所以有， m2=1，解得 m=2，所以点 Q 的坐标为 Q1（2，1）和 Q2（2，1） ；（3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP=CQ，OQ=PC，而点 P（1， 2）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值， （8 分）因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 Q（n， ） ，由勾股定理可得 OQ2=n2+ =（n ） 2+4，所以当（n ） 2=0 即 n =0 时，OQ 2 有最小值 4，又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 OQ2 同时取得最小值，所以 OQ 有最小值 2，由勾股定
18、理得 OP= ，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是 2（OP+OQ）=2（ +2）=2 +4 （10 分）点评： 此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强要注意对各个知识点的灵活应用8 （10 分） （2008 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合） ，点 E 在线段 BC 上，且 PE=PB（1）求证：PE=PD；PE PD；（2）设 AP=x，PBE 的面积为 y求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值考点： 二次函数综合题。1
19、097743专题： 动点型。分析： （1）可通过构建全等三角形来求解过点 P 作 GFAB，分别交 AD、BC 于 G、F，那么可通过证三角形GPD 和 EFP 全等来求 PD=PE 以及 PEPD在直角三角形 AGP 中，由于 CAD=45，因此三角形 AGP 是等腰直角三角形，那么 AG=PG，而 PB=PE，PFBE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边 DG，PF 相等，因此可得出两直角三角形全等可得出 PD=PE，GDP= EPF，而 GDP+GPD=90，那么可得出GPD+ EPF=90，由此可得出 PDPE（2）求三角形
20、PBE 的面积，就要知道底边 BE 和高 PF 的长， （1）中已得出 BF=FE=AG，那么可用 AP 在等腰直角三角形 AGP 中求出 AG，GP 即 BF，FE 的长，那么就知道了底边 BE 的长，而高 PF=CDGP，也就可求出 PF 的长，可根据三角形的面积公式得出 x，y 的函数关系式然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出 y 的最大值以及对应的 x 的取值解答： （1）证明：过点 P 作 GFAB，分别交 AD、BC 于 G、F如图所示四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形，AGP 和PFC 都是等腰直角三角形GD=FC=FP，GP=AG=BF ，PGD=PFE=90 度又 PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD（SAS） PE=PD1=2
