1、高二数学椭圆双曲线专项练习选择题： 1、双曲线 x2ay 21 的焦点坐标是（ ）A( , 0) , ( , 0) B( , 0), ( , 0) aaa1a1C（ , 0）,（ , 0） D( , 0), ( , 0)12、设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 ,则该双曲线的离心率 为 （ ）12yxA5 B /2 C D5/4553椭圆 的两个焦点为 F1、F 2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则142yx= （ ） A /2 B C4 了 D7/2|2PF334过椭圆左焦点 且倾斜角为 60的直线交椭圆于 两点，若 ，则椭圆的离心率等于 A,FB2（ ）
2、 22135已知椭圆 和双曲线 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）253nymx23nymxAx By Cx Dy1543x46设 F1 和 F2 为双曲线 y21 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足 F 1PF290，则F 1PF2 的面4x积是（ ） A1 B C2 D557已知 F1、F 2 是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1PF 2，e 1和 e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ ）A B C D1421e21e 21e8已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ） |2mxy2
3、Am0,mb0)的离心率互为倒数，那么以 a、b、m 为边长的2axby2mxy三角形是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角或钝角三角形10椭圆 上有 n 个不同的点: P1, P2, , Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列|P nF|是公差大于 的1342yx 10等差数列, 则 n 的最大值是（ ） A198 B199 C200 D201一、填空题： 11对于曲线 C =1，给出下面四个命题：由线 C 不可能表示椭圆；42kyx当 1k4 时，曲线 C 表示椭圆； 若曲线 C 表示双曲线，则 k1 或 k4;若曲线 C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则 1k 其中所有正确命
4、题的序号为 _ _2512设圆过双曲线 =1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离_692yx13双曲线 1 的两焦点为 F1、F 2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF 2，则点 P 到 x 轴的距离_214若 A（1，1），又 F1 是 5x29y 2=45 椭圆的左焦点，点 P 是椭圆的动点，则|PA|P F 1|的最小值_15、已知 B(-5，0)，C(5，0)是ABC 的两个顶点，且 sinB-sinC= sinA,则顶点 A 的轨迹方程是53二、解答题：16、设椭圆方程为 =1，求点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 为坐标原点，点 P 满足
5、42yx，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 .)(21OBAP17、已知 F1、F 2 为双曲线 （a0，b0）的焦点，过 F2 作垂直12yx于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF 1F230求双曲线的渐近线方程18、已知椭圆 的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰)0(12bayx好通过椭圆的左焦点 ，向量 与 是共线向量（1）求椭圆的离心率 e；（2）设 Q 是椭圆上1FABOM任意一点， 、 分别是左、右焦点，求 的取值范围；2 2QF19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为 。 (1) 求双曲线 C 的方程；(
6、2) 若直)0,3(线 l： 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 (其中 O 为原点) ，求 k 的取值范2kxy 2围。图20、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是 （1）求双12byax32e),0(,bBaA.23曲线的方程； （2）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C， D 都在以 B 为圆)(5kxy心的圆上，求 k 的值.21、设 F1、F 2 分别为椭圆 C： =1（ab 0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆 C 上的点 A（1，28yax）到 F1、F 2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；（2）设点 K 是（1）中所得椭3
7、圆上的动点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程；（ 3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN 时，那么 kPM与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明12byax参考答案:1、双曲线 x2ay 21 的焦点坐标是（ C ） A( , 0) , ( , 0) B( , 0), (a1a1a1, 0) C（ , 0）,（ , 0） D( , 0), ( , 0)aa12、设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 ,则该双曲线的离心率 e（
8、 B ）2yxA5 B /2 C D5/4553椭圆 的两个焦点为 F1、F 2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则142yx= （ D ） A /2 B C4 D7/2|2PF334过椭圆左焦点 且倾斜角为 60的直线交椭圆于 两点，若 ，则椭圆的离心率等于 A,FB2（D ） B2C2135已知椭圆 和双曲线 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）253nymx23nymxAx By Cx Dy114x4解：由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，椭圆焦点（ ，0），双曲线焦点（253nm，0），3m 25n 2=2m2+3n2m 2=8n2 又双
9、曲线渐近线为 y= x代入2n |6m2=8n2， |m|=2 |n|，得 y= x436设 F1 和 F2 为双曲线 y21 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足 F 1PF290，则F 1PF2 的面积是（A ）A1 B C2 D55解：由双曲线方程知|F 1F2|2 ，且双曲线是对称图形，假设 P（x， ），由已知 F1PF 2 P，142有 ，即 ， 54122x 14521,422 Sx7已知 F1、F 2 是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1PF 2，e 1和 e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ D ）A B C D14
10、21e21e212e8已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 （ D ）|2mxy2Am0,mb0)的离心率互为倒数，那么以 a、b、m 为边长的2axby2mxy三角形是（ B ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角或钝角三角形10椭圆 上有 n 个不同的点: P1, P2, , Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列|P nF|是公差大于 的1342yx 10等差数列, 则 n 的最大值是（ C ） A198 B199 C200 D201二、填空题：11对于曲线 C =1，给出下面四个命题：由线 C 不可能表示椭圆；当 1k4 时，曲线142kyxC
11、表示椭圆；若曲线 C 表示双曲线，则 k1 或 k4;若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1k 25其中所有正确命题的序号为_ _； 12设圆过双曲线 =1 的一个顶点和一692y个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_16/3；解：如图 815 所示，设圆心 P（x 0，y 0），则|x 0| 4，代入 1，得235ac2yxy02 ，| OP| 13双曲线 1 的两个焦点为 F1、F 2，971631620692点 P 在双曲线上，若 PF1PF 2，则点 P 到 x 轴的距离为 16/5；解：设|PF 1|m ，| PF2|n（m n），a3、b4、c5，m n m
12、2n 24c 2，m 2n 2（mn）2m 2n 2（m 2n 22mn）2mn4253664，mn32.又利用等面积法可得：2cymn ，y16/5 14若 A 点坐标为（1，1）， F1 是 5x29y 2=45 椭圆的左焦点，点 P 是椭圆的动点，则|PA|P F1|的最小值是_ _ ；615、已知 B(-5，0)，C(5，0)是ABC 的两个顶点，且 sinB-sinC= sinA,则顶点 A 的轨迹方程是5321(3)96xy三、解答题：16、设椭圆方程为 =1，求点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 为坐标原点，点 P 满足42yx，当 l 绕点 M 旋转时，求动点
13、P 的轨迹方程 .)(21OBAP解：设 P（x，y）是所求轨迹上的任一点，当斜率存在时，直线 l 的方程为 y=kx+1，A（x 1，y 1），B（x 2， y2），联立并消元得：（4+k 2）x 2+2kx3=0， x1+x2= y1+y2= ，由,4k48k得：（x，y）= （x 1+x2，y 1+y2），即：)(1OA2214kyx消去 k 得：4x 2+y2y =0 当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程所以动点 P 的轨迹方程为：4x 2+y2y= 017、已知 F1、F 2 为双曲线 （a0，b0）的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点12xP，且PF
14、1F230求双曲线的渐近线方程解：（1）设 F2（c ，0）（c 0），P（c，y 0），则 =1解得 y0= | PF2|= ，在直角三20byacab2ab角形 PF2F1 中， PF 1F2=30解法一：| F1F2|= |PF2|，即 2c= ，将 c2=a2+b2 代入，解得 b2=2a2 33图解法二：|PF 1|=2|PF2|，由双曲线定义可知|PF 1| PF2|=2a，得| PF2|=2a. |PF 2|= ，2a= ，即b2b2=2a2， 故所求双曲线的渐近线方程为 y= x18、已知椭圆 的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰)0(12ba
15、yx好通过椭圆的左焦点 ，向量 与 是共线向量（1）求椭圆的离心率 e；（2）设 Q 是椭圆上1FABOM任意一点， 、 分别是左、右焦点，求 的取值范围；2 2QF解：（1） ， 是共线向量，abycxcM21,),0(则 acbkOMABOabkAB与,，b=c,故 （2）设ac2e1212,rF22 2111 21214()4os 0()rcrrcr当且仅当 时，cos=0， 21r,019、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为 (1) 求双曲线 C 的方程；(2) 若直线 l：)0,3(与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 (其中 O 为原点)，求 k
16、 的取值范围。kxy 2解：（）设双曲线方程为 由已知得21xyab).0,(ba故双曲线 C 的方程为.,2322ca得再 由 .132yx（）将 得代 入 13yxkxy .096)3(2kk由直线 l 与双曲线交于不同的两点得2220,(6)(1)3().即 设 ，则.1322k且 ,),(BAyx2269,2,3ABAB AxxOk由 得而 ()()(1)2()ABBAByxkxkx于是222267(1) .1k 2339,0,1即 解 此 不 等 式 得.312k由、得 故 k 的取值范围为.12k 3(1,)(,1).20、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是 （1）求
17、双2byax32e),0(,bBaA.23曲线的方程； （2）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C， D 都在以 B 为圆)(5kxy心的圆上，求 k 的值.解：（1） 原点到直线 AB： 的距离 故所,3ac 1bya.3,1.2abcbd求双曲线方程为 .12yx（2）把 中消去 y，整理得 .352ky代 入 078)3(2kx设 的中点是 ，则CDxC),(),(21 ),(0xE.1,31550 210xk kyBE,00ky 7,0,315315 222 kkk又故所求 k= .721、设 F1、F 2 分别为椭圆 C： =1（ab 0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆 C
18、上的点 A（1，28yax）到 F1、F 2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；3（2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程； （3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值 .试对双曲线 写出具有类12byax似特性的性质，并加以证明解：（1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2.又点A（1，
19、 ）在椭圆上，因此 =1 得 b2=3，于是 c2=1.所以椭圆 C 的方程为 =1，焦点232)3(1 3yxF1（1，0），F 2（1，0）（2）设椭圆 C 上的动点为 K（x 1，y 1），线段 F1K 的中点 Q（x，y）满足： ， 即 x1=2x+1，y 1=2y.,yx因此 =1.即 为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若 M、N 是双曲3)(4(22 4)(2线： =1 上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并2byax记为 kPM、k PN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值 . 设点 M 的坐标为（m，n），则点 N 的坐标为（m，n），其中 =1.又设点 P 的坐标为（x，y），由 ，得2bnam mxnykxykPNP,kPMkPN= ，将 m2b 2 代入得 kPMkPN= .2xyxy222,anba 2ab
