1、（ 第 10题 图 ）RO（ 第 7题 图 ）yAxFBO虹口区 2015 学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 试卷 2016.1考生注意：1.本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1函数 的反函数1()2xf1()_.fx2设全集 则 _., ,URA若 集 合 UA3若复数 满足 （ i为虚数单位） ，则复数
2、_.z20156iz4在二项式 的展开式中，常数项的值为 _.（结果用数字表示）83()x5行列式 的最大值为_.12costan5c()x6. 在等差数列 中， n1352469,15,a则数列 的前 10 项的和等于_.na7如图，已知双曲线 C 的右焦点为 F，过它的右顶点 A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点 B ；若双曲线 C 的焦距为 4， 为等边三角形（ 为坐标原点，即双曲线OFBOC 的中心） ，则双曲线 C 的方程为_.8.已知数据 的方差为 16，则数据128,x 12,x的标准差为 .28,x9.已知抛物线 的弦 的中点的纵坐标为 4 ，则2xyAB的最大值为_.AB
3、10如图所示，半径 的球 O 中有一内接圆柱，当R圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于_.11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各 5 个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取 4 个水饺，则每种水饺都至少取到 1 个的概率为 _.（结果用最简分数表示）12. 设等比数列 的前 n 项和为 ,若 且anS12364,a213521()(nSaN则 _.13在由正整数构成的无穷数列 中，对任意的 且对任意na1,nnNa都 有的 数列 中恰有 ，则,kNnak个 2016_.14. 若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是,3xaf a_.二、选择题（本大题共 4 题，
4、满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分 .15. 设 为两个不同平面，若直线 则 、 l在 平 面 内 ， l“”是 “”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C ）充要条件 （D）既不充分也不必要条件16 . 已知直线 是函数 图像的两54x和 ()sin)(0,)fx条相邻的对称轴，则 的值为 （ ） （A） （B） （C） （D ）4323417.已知 均为单位向量，且 若 则 的取ab、 0.ab45,cabca值范围是( ) （ 第 19题 图 ）ABCPQA1 B1C1（A） （B）
5、（C） （D ）3,103,53,410,518设函数 若关于 的方程 有四个不同的解20(),xflogx()fa1234,x且 则 的取值范围是 ( ) 1234,x31234()x（A） （B） （C） （D）,3,3,三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19 (本题满分 12 分) 本题共 2 个小题，每小题 6 分.如图，在正三棱柱 中，已知它的底面边长为 10，1ABC高为 20 .(1)求正三棱柱 的表面积与体积；1(2)若 分别是 的中点，求异面直线 所PQ、 、 PQC与成角的大小（结果用反三角函数表示）.20 (
6、本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，每小题 7 分.已知 的面积为 S，且ABC.ABCS（1） 求 sinco,ta的 值 ；（2） 若 求 的面积 S .,6,421 (本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，第 1 小题 6 分， 第 2 小题 8 分.HJ（ 第 23题 图 ）F MxyABNo对于函数 定义 已知偶函数1(),fx11(),()().nnfxfxfN的定义域为 ()gx0,0g； 2015,1().gxf当 且 时 ，（1）求 并求出函数 的解析式；234(),()fxf ()yx(2) 若存在实数 使得函数 上的值域为 ，求实ab,ab在 ,mba数 的取值
7、范围.m22. (本题满分 16 分) 本题共 3 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 4 分，第 2 小题 6分.已知数列 的前 n 项和为 ， 且 anS20,().nnSaN（1 ） 计算 并求数列 的通项公式；1234,a（2 ） 若数列 满足 求证：数列 是nb1235(1)23,nbb nb等比数列； （3）由数列 的项组成一个新数列 ：nanc1234567, ,cca. 设 为数列 的前 n 项和，试求111221nnnn nTc的值.lim4nT23. (本题满分 18 分) 本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 2 小题8 分.已知椭圆
8、 的左焦点为 短轴的两个端点分别为2:1(0)xyCab,F且 为等边三角形 . ,AB、 ,ABFC1B1A1 QPCBA（ 第 19题 图 ）(1) 求椭圆 的方程；C(2) 如图，点 M 在椭圆 C 上且位于第一象限内，它关于坐标原点 O 的对称点为 N； 过点M 作 轴的垂线，垂足为 H，直线 NH 与椭圆xC 交于另一点 J，若 ，试求以线段 NJ 为直径的圆的方程；12（3 ）已知 是过点 的两条互相垂直的直线，直线 与圆 相交于12l、 A1l2:4Oxy两点，直线 与椭圆 交于另一点 ；求 面积取最大值时，直线 的方程. PQ、 CRPQ1l虹口区 2015 学年度第一学期期终
9、教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2016年 1 月 一、填空题（本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 分）1 2 3. 2 428 2log(0)x5 13 6. 80 7. 8 8 13yx9. 12 10 11 12. 85091n1363 14 1,2,3二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）15. B 16. A 17. B 18. D 三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分）19 (本题满分 12 分) 本题共 2 个小题，每小题 6 分.解：（1） 1 12 23=23=0+1053()4ABCABCBASS cm正 三 棱 柱 侧
10、 矩 形(3 分)(6 分)1 2313=05(4ABCABVScm正 三 棱 柱（2）连结 则 又,/,PQ1/,AC故 等于异面直线 所成角. (8 分)1与易得 ，故1105,0BCA而2215cos .BAC于是异面直线 所成角的大小为 (12 分)PQ与 cos.10ar20 (本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，每小题 7 分.解：（1）由 得 ABSssin2bAb(4 分)tan,0,.于 是进而求得 (7 分)2554sin,cos,t.3（2）(9 分)66.CABAc由 得 即(122sin5,sin()5bcB由 正 弦 定 理 ， 有分)(14 分)125sin
11、61.2SbcA于 是21 (本题满分 14 分) 本题共 2 个小题，第 1 小题 6 分， 第 2 小题 8 分.解：（1）因为 1(,fxfx故21()0,x3243()()(,1)()10, (3)fxfxff 分故对任意的 ,()(2,34)niinNff有于是 2015367121()()0,;fxfxx（ 第 21题 解 图 ）y1 x1-1O20150,1()().xgxfx故 当 时 ，()又 故 当 时 ，由 为偶函数， x1,().xgxx当 时 ，. (6 分)1,0,1().gxx，因 此(2) 由于 的定义域为 ，()y(,)(,)又 ,abmab可 知 与 同 号
12、 ， 0m且 ;进 而且 (8 分) ()gx在 递 减 0.函数 的图像，如图所示. 由题意，有()yx(10 分)1,()agbm故 是方程 的两个不相等的负实数根，即方程 在,1x210mx上有0两个不相等的实根，于是(12 分)14010.4mab综合上述，得：实数 的取值范围为 (14 分)m1,.4注：若采用数形结合，得出直线 与曲线 有两个不同交点，ymx1(0)yx并进行求解也可.22. (本题满分 16 分) 本题共 3 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 4 分，第 2 小题 6分.解：（1）当 时，由 得 由 得1n12,Sa1;2120,Sa21;a当 时，由
13、得3333当 时，由 得 44440,5.猜想： (3 分)2().naN下面用数学归纳法证明： 当 时， 结论显然成立；21, 假设当 时， 由条件知 故nk3.ka2,nSa1 1 12()()()(,kkk kkkaS a 于是 ()21,2()3.从 而故数列 的通项公式为： (6 分)n 3().naN另解（1）：当 时，由 得 由 得11,S1;2120,Sa21;a当 时，由 得33332.当 时，由 得 (2 分)4n4440,a5当 时，由条件知 故,nS1 1 12()()(),nn nnnaS a 于是 (4 分)()() ,2na1132)()()1211( ()234
14、nnnnn从 而故 于是数列 的通项公式为： (6 分)23).nana23.aN证：（2）当 时， 当 时，由条件得1n12,b 23112311 1(1)5()()5()3()8n nn nn nnb bbba 分从而 故数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列. (10 分)1.nnb解：（3）由题意，得 11122211(3)()()(27)(25)5134nnnn nnncaa 分223122(4)()34()1) (14)nnnnTcc 故 分从而 (16 分)limli3.4n注：在解答第（3）小题时，可直接求出 .nT23. (本题满分 18 分) 本题共 3 个小题，第
15、1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 2 小题 8分. 解：（1）由题意，得 (2 分)22,3,bca故椭圆 C 的方程为 (4 分),13.abc解 得 21.4xy（2 ）设 则由条件，知0(,)Mxy0000,(,),().NxyHx且从而 0(,).HNxy于是由 200012,),.y及 得再由点 M 在椭圆 C 上，得201.4yx求 得所以 (6 分)(2,)(,),(2);NH进而求得直线 NH 的方程: 0.xy由 (8 分)240,1xy71(2,).5J求 得进而 22731()4, (2).5 5NJ NJ线 段 的 中 点 坐 标 为 ，因此以线段 NJ 为直
16、径的圆的方程为： (10 分)221153()().50xy（3）当直线 的斜率不存在时，直线 与椭圆 C 相切于点 A，不合题意；当直线 的1l 2l 1l斜率为 0 时，可以求得 (12 分)3.PQRS当直线 的斜率存在且不为 0 时，设其方程为 则点 O 到直线 的距1l 1(0),ykx1l离为 从而由几何意义，得2,dk 2243,d由于 故直线 的方程为 可求得它与椭圆 C 的交点 R 的坐标为1,l2l1,yxk于是2284,;k 22 28481.44kAR(15 分)213,PQRSk故 243,uk令 则 2163PQRuS当且仅当 时，上式取等号.01(),k即因为 故当 时， ； 此时直线 的方程为：63212max163PQRS1l（也可写成 ） (18 分)0.yx02.y
