1、一元，多元线形回归分析：一. 请分别叙述变量间统计关系与函数关系的区别，以及相关分析与回归分析的联系与区别。答：各自然现象或社会现象之间普遍存在着各种联系，根据这些联系的紧密程度不同，可将之分为函数关系与统计关系。一种情况下某变量 Y 能被其余的一类变量 完全决定，这1,nX时两者之间存在着完全的确定性关系，这种关系可以通过一个函数表示。这样的确定性关系被称为函数关系。1(,)nYfX另一种情况下变量之间虽然存在紧密的联系，但并不能互相唯一确定，这种非确定性的紧密联系被称为统计关系。相关分析与回归分析都是研究两边统计关系的方法，在实际问题的处理中往往结合使用两者。两者的区别主要在于：1.目标不
2、同：相关分析主要用于刻画 X,Y 两变量间的联系的密切程度，而回归分析除此之外，还关心对未观察 Y 值的预测与控制。2.角度不同：相关分析中X，Y 两变量地位相同，因此假设两者都是随机变量；而回归分析中只将变量 Y 作为主要研究对象，因而往往假设 Y 是随机变量，而 X 是非随机变量。二. 请叙述（一元）多元线性回归模型及其基本假设答：1.一元线性模型的基本形式是：，其中 称为回归系数， 称为随机误差。i01iy=+x01， i其基本假设为：G-M 假设：iij2E0Cov=,ij，（ ， ）或者更强的正态性假设：独立同分布， 。i21N:（ ， ）2.多元线性模型的基本假设是：称为回归系数阵
3、， 称为随0py=X+=,T， 其 中 （ ） 1=,Tn（ ）机误差.其基本假设为：a. G-M 假设：iij2E=0Cov,ij，（ ， ）或者更强的正态性假设：独立同分布， 。i21N:（ 0， ）b.rank(X)=p+115),可以简化为 。0y3. 在未观测点 处， 的区间估计为（置信区间）0x0E。200/200(x)1t(n),yhnL其 中3. 给定置信上界 与置信下界 时， 的取值范围为2T101021 110201 10Tx时 ，时 ，七.叙述样本数据与回归系数标准化的意义与方法答：多元线性回归模型中，由于自变量的数量级差异较大，因而舍入误差将对估计的精度造成较大的影响；
4、同时自变量的单位不同也会造成回归方程的解释比较困难，因而通常需要对样本数据进行预处理，即数据的标准化。数据的标准化通常这样进行：* 2ij 11* 2i 11x=,(x),ynnijjjijijinni iyiiyxLL其 中其 中利用标准化样本数据的得到的回归方程系数 称为标准化回归系数，其满足:*i.* *0(,2.),iiyLp八.给出偏决定系数、偏相关系数的定义答：1.当其余自变量固定时， 对 y 的影响程度称为 的偏决定系数，定义ixix为1112;1,.i,.(,.,.)(,.)r ,.iippyp ipSESE2. 当其余自变量固定时， 与 的相关程度称为两者的偏相关系数，定ix
5、j义为。 ij;1,2.pr, iijijj其 中 是 样 本 相 关 阵 的 行 j列 的 代 数 余 子 式计算：1. （20 分）近来某时尚杂志进行了一项关于高清数字电视的调查。对于各不同品牌不同型号的数字电视，该杂志基于画面质量给出了一个测试总分（i=1,2,24） ，同时，该杂志也收集了这些数字电视的平均市场售价 。ix iy数据显示 24241109,30i ixy24242411158,76,5678i i ixx假设样本数据符合正态性假设，随机项的方差为 。根据以上条件，请2（1） （5 分）建立 y 关于 x 的一元线性回归方程（2） （5 分）给出作 的无偏估计。2（3）
6、（5 分）在 的显著性水平下，检验变量之间的显著性。 （已知：=0.5）0.F43（ ， ）（4） （5 分）假设某种新上市的数字电视的评分为 45 分，请给出其市场建议价 ，并作该价格的置信水平为 95%的区间估计。0y解：（1）根据题意，有：-1 分x=45.296.54，-1 分2x1L-n()103.8iiX-1 分xy1=-65.iiY从而 101L2.3,340.59xyyx所以回归方程为 -2 分=6.（2） -3 分21ST=L-n(y)418375.96,R395.,SE=20316yix TSR所以 -2 分26n-S（3）建立假设为：-1 分011H0原 假 设 ： 备
7、择 假 设 ：构造检验统计量： -3 分/F=4.3(,2)2SRFE:由于 ,所以拒绝原假设 -1 分0.5F4.3.（ ， ）即认为变量之间存在显著的线性关系。（4） 的估计值为 -1 分0y010x=936.4y由于样本量较大，所以可以用近似公式计算预测区间 -1 分即价格 的预测区间为0-3 分2=5936.4258.97=401.578.3y（ ， ）2.（15 分）某市最近进行的一项有关公共交通的调查发现，公交车的维护费用与其已使用月数 之间的关系可以用一元线性回归模型i ix描述，其误差项满足 ，其中随机项 满足 G-Mi01iy1iiii假设。实验的实际观测数据（10 组）由下
8、表给出，请根据数据给出该回归模型的估计，并预测某辆已使用了 4 年的公交车的维护费用。已使用月数 61 45 48 55 29 43 60维护费用 4968 6317 5198 5048 9182 5696 485865 29 318319 4571 6887解：由于误差项满足 ，而 满足 G-M 假设,所以可以通过差分法来1iiii消除自相关性。 -1分对原样本数据做一阶差分 ，得到差分数据样本11y,iiiix自变量差分-16 3 7 -26 14 17 5因变量差分 1349 -1119 -150 4134 -3486 -838 3461-36 2-3748 2316-4 分由于差分数据
9、必然已中心化，所以差分回归模型为,其中 -4 分iiy=x2=14.6niiiiyx从而回归方程为 -4 分1111-.(),=-4.6()i ii iyxyx即将 带入上述方程，得: -21x4864.28y分3.非参数检验（异方差）证明：1.对一元线性模型证明三种检验统计量等价证：对于一元线性回归模型来说，F 检验、t 检验、相关性检验的原假设与备择假设相同，均为-2 分011H0原 假 设 ： 备 择 假 设 ：而三者的检验统计量分别为：， ， 。/F=n-2SRE1xLt=22tnr-1 分由各参数的定义 -3 分21122211 ,(),nyi xinxyi ySTLRLEer所以-
10、2 分2211/xxLSRFtnSE-2 分2122()r1S/n-2xyxyLRt Fn所以 ，即三种检验完全等价。21Ft2. 在正态性假设下，求证 (一元)/ 221=()n-iiy（多元）是 的无偏估计221=()n-piiy2a. 记 ，则 。再记 。则Hx（ ） Hy,iieyy-4 分1(e)EY)(IH)(I)EYIX-0X（ ） （ ）-422(e)CoV(I),(I)(I)CoV(,)IHHD分所以 -2 分2Ee0,(e)iii从而-52222111(y)()(IH)(np1)nnni iii iDtr分即 是 的无偏估计，证毕。221=()n-piiyb. 记 . 则 . -1 分ie=y-iE0ie从而 -2 分2()y)Var(y)r()2Cov(y,)iii iiiD由正态性假设， 2(y)iVar-320101012 22 2=r (,)()1xi i i ii ii ix xovhnLLnL（ ） +)ar()+r分-4 分01 1222 2 Cov(y,)(,)Cov(y,)Cov(y,)xi iiiiii ixxhnLnL从而 -1 分22Ee(1-)iih-3 分22 21 1 ()n ni ii h所以 是 的无偏估计 -1 分221=()n-iiy
