1、第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆:知识梳理1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 1F、 2的距离的和大于| 1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| 12|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2|，则动点的轨迹是线段 1F2.（2）.椭圆的标准方程： byax 2bxa（ a b0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 2x项的分母大于 2y项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.2、椭圆的简单几何性质（ a b0）.（1） 椭圆的几何性质：设椭圆方程 12y, 线段 1A2、 1B2分别叫做
2、椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，(2).离心率： ace21b0e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0 时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径： xMF1， xaF2. 2=b+ 2cComment t1: 典例剖析(4).椭圆的的内外部点 0(,)Pxy在椭圆21(0)xyab的内部201xyab(5).焦点三角形 21F经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段 1PF、2PF、2c，有关角 结合起来，建立 12PF、 12等关系2.1.1 椭圆及其标准方程:典例剖析题型一 椭圆的定义应用例 1 题型二 椭圆标准方程的求法例 2 已知椭圆的两个焦点
3、为（-2，0） ， （2,0）且过点 53(,)2，求椭圆的标准方程2.1.2 椭圆的简单的几何性质典例剖析题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等例 1 已知椭圆 22(3)(0)xmy的离心率 32e，求 m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标例 2 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、 F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A B C D 21例 3 已知椭圆 C 的焦点 F1（ 2，0）和 F2（ ，0） ，长轴长 6，设直线2xy交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标2.2 双曲线:知识
4、梳理1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 1F、 2的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于|F2|）的动点 M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a| 1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| 12|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a| 1F2|，则无轨迹.若 1M 2时，动点 M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果 2x项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双
5、曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线 12byax实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 ace21离心率 e越大，开口越大.（2）.双曲线 2yx的渐近线方程为 xaby或表示为 02by.若已知双曲线的渐近线方程是 xnm，即 0n，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm22，其中 k 是一个不为零的常数.（3）焦半径公式21|()|aPFexc，2|()|aPFexc.双曲线焦半径应用举例双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点 P(x ，y )在双曲线0 = 1 (a0，b0)
6、上，F ， F 分别为双曲线的左、右焦点。若点 P 在右半支上，2axy12则| PF | = x + a ，| PF | = x a；若点 P 在左半支上，则| PF | =( x + a) 1e02e0 1e0，| PF | =( x a)利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，2供参考。一、求双曲线的标准方程例 1、 设 F 、F 是双曲线 = 1 (a0，b0)的左、右两个焦点，l 为左122axy准线，离心率 e= ，P( ,m)是左支上一点，P 到 l 的距离为 d，且 d，| PF |，| PF38 1|成等差数列，求此双曲线方程。2分析；利用焦半径，结合双曲线的
7、第二定义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d = | PF |，又| PF | =( x + a) = 14a, 3211e0| PF | =( x a) = 14a,由已知得：d| PF | = 2| PF |，即 (14a)2e0 2132(14a)=282a 得：a = 2， c =3， b = ，故双曲线的方程为 =1。542x5y评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。二、求值例 2 双曲线 =1 的两个焦点为 F 、F ，点 P 在双曲线上，若 P F P 92x16y12 1F ，则点 P 到 x 轴的距离为_.2分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出 P
8、 点纵坐标即可。解：不妨设 P 在双曲线上右支上，设 P(x ，y )，0则| PF | = x + a = 3 x ，| PF | = x a = x 3，1e0502e50则| PF | | PF | = |F F | ，即：(3 x ) ( x 3) =100，221222所以 = ，又 =1，所以 = ，所以点 P 到 x 轴的距离为 。20x5690x6y20y56516评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。三、求范围例 3 如图，已知梯形 ABCD 中，|AB| = 2|CD|，点 E 分有向线段 所成的比为 ， AC双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点，当 时
9、，求双曲线离心率 的取值324e范围解：以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则 CDy 轴，因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性可知，C、D 关于 y 轴对称设双曲线的焦距为2c，则 A、B、C 三点的横坐标分别为c、c、 ，2c则点 E 的横坐标为 x = 根据双曲线焦E12c半径公式，有：|AE| =( x a ) = a，|BC| = x a eE1e)(2cecxyA BOD CE= a，2ec而 AC 与 AE 同号，从而 = = |AEC1|AC| = |AE| = a = a，1ec)(2ec21由双曲线的定义
10、有|AC|BC| = 2a，即( a)( a) = 2a，1两边同除以 a，并化简整理，得( 1) = 2 ， = =2 1ee213由 ，得 3 4，解得 7 103242 ，故所求双曲线离心率 的取值范围是 ， 7e10e710评注：凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式四、其他问题例 4 在双曲线 =1 的上支上有三点 A(x ，y 1),B( ,6),C(x ,y )与12y3x 263F(0，5)的距离成等差数列。求证：AC 的垂直平分线经过某一定点。分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。证明：|AF| =ey 1a，|BF|=6ea，|CF
11、|= ey a，由已知得：2|BF|=|AF|CF|，3得：y 1 y =26 = 12。设 AC 的中点 M(x ，6)，其中 x = ，又 A，C 在双曲线3 00231上，于是 ，132321x两式相减得：13(y y )(y y )12(x x )(x x )= 0，得：13(y y 1)3131312（x x ）=0，13y31得： = ，所以 AC 的垂直平分线方程为：y6= (xx )，即ACk20 021313xx (2y25)=0，故经过定点(0， )。0 25评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。例 5 已知双曲线 = 1 的左、右焦点分别为 F 、F ，左准线为 能
12、否在双25x42y12l曲线的左支上找到一点 P，使| PF |是 P 到 的距离与| PF |的等比中项？若能，试求出1l2P 点坐标；若不能，请说明理由分析；此题为探索题目，一般可设存在点 P，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。解：由 a = 5，c =13，知 = ， = e513ca2设 P(x ，y )，P 到 的距离为 d，则| PF | =a x =5 x ，| PF |= a0l1e01302x = 5 x ，d = x = x e0130ca2030令| PF | = d| PF |，即(5 x ) = ( x )(5 x )，1221021350130解得：x = 或
13、 x = 030另一方面，因为 P 在左支上，所以 x 5 0 与矛盾故符合条件的 P 点不存在评注： 一般的， 是双曲线 = 1 左支上存在 P 点，使| 21e2abyPF | = d| PF |成立的充要条件。本题中双曲线离心率 = ，故符合条件122 e532的 P 点不存在 例如双曲线 = 1 的离心率 ，则这样的 P 点一定存02x5y12在。类似的可得： 是双曲线 = 1 左支上存在 P 点，使 2| PF |= d +| 32e2axby1PF |成立的充要条件。2通过以上几例，不难看到，适当的利用焦半径公式，以及双曲线的第二定义解答双曲线类问题确能起到事半功倍之效果。（4）双
14、曲线的方程与渐近线方程的关系若双曲线方程为 12byax渐近线方程：20xyabxab；若渐近线方程为 y0双曲线可设为 2；若双曲线与12bax有公共渐近线，可设为 2byax（ 0，焦点在 x 轴上， 0，焦点在 y 轴上）.双曲线21(,0)xyab焦点三角形面积： 12FPScotb，高 h2cotb。2.2.1 双曲线的定义与标准方程:典例剖析题型一 双曲线标准方程的判断题型二 求双曲线标准方程例 2 已知双曲线过 (1,)2,5)MN两点，求双曲线的标准方程例 32.2.2 双曲线的简单的几何性质典例剖析题型一 双曲线的性质例 1 已知双曲线与椭圆 1259yx共焦点，它们的离心率之和为 514，求双曲线方程.题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法例 2 求与双曲线2193xy有共同的渐近线，并且经过点 (3,4)的双曲线方程例 3 设双曲线21yx上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）,求直线 AB 方程；
