1、作者简介：钱胜（1984） ，男，安徽枞阳县人，硕士研究生，助教。研究方向：机电产品噪声与振动控制、橡胶件力学研究、CAE 分析。邮箱：基金项目：黄山学院自然科学研究项目 (2014xkj005) ；橡胶超弹性本构模型选用及参数确定方法分析钱胜 1 陆益民 2 杨咸启 1 吴承伟 1 （1 黄山学院机电工程学院 黄山，245041； 2 合肥工业大学机械工程学院 合肥，230009）摘要 首先概括隔振橡胶材料常见超弹性本构模型，并列举典型本构模型改进和创新，然后从材料试验、有限元分析适应性、橡胶件计算精度三个角度综述国内外学者选用橡胶本构模型原则和经验，最后介绍橡胶材料参数确定方法研究进展，数
2、值优化方法及先进材料参数测试方法是发展趋势，并提出研究过程存在问题。这对后续橡胶隔振器性能相关计算具有指导意义，为橡胶材料力学研究指明方向。关键词 隔振橡胶；超弹性本构模型；综述；本构模型选用；参数确定中图分类号 TQ330.1 文献标识码 ASelecting for Hyper-elastic Constitutive Model of Rubber and Analysis Methods of Determination the Material Parameter QIAN Sheng1, LU Yimin2, YANG Xianqi1, WU Chengwei1(1 College
3、 of Mechanical and Electronic Engineering, Huangshan University, Huangshan, 245041,China)(2 School of Mechanical Engineering，Hefei University of Technology, Hefei，230009, China)Abstract First of all, common hyper-elastic constitutive models of the rubber material used for vibration isolation were su
4、mmarized. Then, the principle and experience which base on domestic and foreign scholars selected the constitutive model were reviewed from three aspects that is the material test, the adaptability of the finite element analysis and the calculation accuracy of the rubber parts. At last the research
5、progress about investigation methods of rubber material parameters determination were introduced. Numerical optimization method and advanced material parameter test method are the trend of the development. And some problems in the research progress were puts forward. These work was to be guiding sig
6、nificance for calculation about rubber vibration isolator in future, and they points out the direction for the research of rubber material mechanics.Keywords Rubber material of the isolators; Hyper-elastic constitutive model; Reviewed; Selecting for Constitutive Model; Parameters determination0 引言橡胶
7、材料具有高弹性、大阻尼等优点，是一种高性能隔振减震材料，广泛应用于工业、建筑、国防等领域，如汽车悬置、舰船、航天器隔振器等。橡胶材料研究已有很长历史，人们一直尝试对橡胶力学行为真实描述，但是其有分子结构比较复杂，以及材料、几何、边界的非线性，而且其对于温度、周围的介质、时间、载荷率和应变量等因素的作用和影响敏感，这使得建立精确的数学模型更加困难 【1】 。目前橡胶隔振器计算采用比较复杂数值技术，其计算精度与所使用本构模型正相关。随着计算力学快速发展和橡胶应用广泛需求，发展更为精确、实用且能与有限元分析理论相融合的本构模型 【2】 。橡胶一般添加填料形成三维链状网络，在外载荷的作用下表现出非线性
8、、大变形、超弹性、黏弹性、Payne 效应和 Mullins 效应等特性，其力学行为异常复杂 【3】 。研究橡胶内部真实力学行为对于隔振器设计和生产有着重大意义，若能根据隔振器工作状态和周围环境以及橡胶成分，选取合适的本构模型和获取较为精确模型参数是对橡胶隔振器动静态特性分析、隔振性能以及疲劳寿命研究有重大影响。1橡胶超弹性本构模型分析 橡胶具有体积近似不可压缩，在外界载荷作用下表现出弹性变形，当卸载后又能恢复原形，称为超弹性。超弹性本构模型为两大类：基于连续介质唯象理论模型和基于热力学统计方法本构模型。1.1 基于连续介质唯象理论模型连续介质力学描述所观察到的橡胶性质，而不是建立在聚合物的分
9、子结构基础上，其核心问题是求出体系内贮存的弹性能表达式 【4】 。基于连续介质唯象理论模型有两种形式：一种是采用应变不变量I1，I 2，I 3 表示应变能函数形式 ，（1）()=（ 1,2,3）这种形式本构模型有：Mooney-Rivlin【5,6】 、Neo-Hooke 【5】 、 Yeoh【7】 、Gent【8】 、高玉臣应变能函数 【9】 、Isihara、 Gent-Thomas、Swanson 、Arruda-Boyce、 Yeoh-Fleming、Carroll、Hart-Smith、Alexander、van der Waals、Pucci-Saccomandi、Lopez-Pa
10、mies 模型 【10】 。基于基于伸长率的连续介质模型，其应变能函数都可用主伸长率来表征，该形式模型有 Ogden【11】 、Shariff 、Attard 。橡胶件设计与计算采用有限元分析，能够应用本构模型有 Mooney-Rivlin、Yeoh、Neo-Hooke Arruda-Boyce、van der Waals。1.2 基于热力学统计方法本构模型分子统计学理论认为橡胶材料的应力应变行为主要由构象熵决定，假设橡胶大分子是随机取向的长链分子，并通过分子链节点处的化学交联而形成交联网络结构【1，12】 。基于热力学统计方法本构模型有高斯统计模型和非高斯统计模型。1.3 本构模型改进和创新
11、评价本构模型标准是在无任何困难（包括稳定性）前提下，通过材料试验数据获得少量参数的本构模型，能够描述弹性体所有行为 【13】 。但是原有本构模型都存在一定局限性，在文献【1】 、 【2】都大篇幅介绍，本文不作阐述。为此国内外学者结合具体橡胶件设计及工程实践，对一些对原有超弹性本构模型改进或者提出新本构关系。我国学者刘峰等 【14】 研究橡胶材料在大应变时表现出应力与应变增强或软化效应，提出一种应变能函数来描述橡胶大变形硬化本构关系，测定橡胶材料硬化时的本构参数。李雪冰 【15】 针对 Yeoh 模型拟合橡胶材料大变形不理想，尤其在预测等双轴拉伸试验曲线出现“偏软”现象，提出了一种改进 Yeoh
12、 超弹性材料本构模型，改进本构模型具有保持 Yeoh 模型体现反“S”形应力- 应变关系的前提下，有效地克服预测等双轴拉伸曲线时“偏软”的特性。 Baojiu Lin【16】 提出在材料试验整个变形区域内精确预测三种变形模式应力与应变关系的新超弹性本构模型，如公式 2；仅仅通过单轴拉伸和等双轴拉伸试验数据就可以预测平面拉伸状态的材料力学行为，能够应用有限元分析。（2(1,2)=(1,)=0+1+2）Kamel Yaya 等提出一种可以预测多轴应变的应变能函数如公式 3 所示，利用均匀试样的等双轴拉伸试验获取模型参数，该本构模型可以应用于有限元软件 【17】 。(1,2)=1(13)+1(23)
13、（+=2（ 21+22+23-3）3）罗文波等 【18】 引入权重函数，用高斯链网络模型描述小变形的同时用链网络模型描述大变形，提出了基于高斯网络模型与链模型的混合模型。2 超弹性本构模型选用超弹性本构模型的选用从理论、模型特点以及适用范围在国内相关文献上都用讨论，如文献【1】 【2】 【19】 【20】都重点介绍。橡胶本构关系的选型要有限元分析适应性，材料试验，橡胶件计算精度影响。从材料试验角度选择本构模型，一般完成橡胶材料基础试验（单轴拉伸 ST、等双轴拉伸 ET、平面拉伸试验 PT） 。Beomkeun Kim 等 【21】 选用 Neo-Hookean，Mooney-Rivlin，和
14、Ogden 三种常用模型反映氯丁二烯橡胶力学行为，用这些模型拟合 3 种单独材料基础试验以 4种组合试验的数据，从而选出拟合精度高的模型。Mokarram Hossain 等 【22】 对目前所有现象学和热力学统计学超弹性本构模型进行比较研究，采用一致切线化处理，给出所有超弹性本构模型的切线算子，可以作为有限元分析本构模型选择依据。龚科家 【23】 开发一种基于图像分析的完整橡胶材料参数试验系统，并以载重轮胎橡胶为对象进行三种材料基础试验，并验证该系统可靠性、稳定性与精度都较高。胡小玲，Li Ming 等 【24,25】 研究炭黑填充橡胶在试验数据齐全和不齐全条件下本构模型拟合精度和模型选取策
15、略。得出结论：（1）三项基本变形试验齐全的情况下，依次优先选用 Ogden (N=3)、Yeoh 和 Arruda-Boyce 模型；（2）只有两类基本变形试验（含 ET）得出 Ogden (N=3)数据拟合其他变形精度高；（3）仅有 ST 试验时，Arruda-Boyce 模型拟合精度高。 （4）双轴拉伸和平面拉伸试验较为准确橡胶本构参数是必备试验。上官文斌等研究汽车动力总成橡胶隔振器弹性特性 【26】 ，建立橡胶主簧超弹性本构关系，给出材料试验曲线拟合基本原则：（1）材料试验的应变类型和范围应尽可能反映出橡胶产品实际使用应变情况；（2）尽选用低阶的应变能函数拟合；检查本构模型拟合曲线与试验
16、曲线的一致性。陈志勇等 【27】 以汽车橡胶悬置对象，在处理材料试验数据时采用 Savitzky-Golay 方法处理，有效避免试验条件限制和含有错误数据对拟合结果影响，给出材料的 Drucker 稳定性条件。材料稳定性是评价由试验数据得出的本构关系模型优劣的重要方面，也是选择橡胶材料本构模型依据之一。以橡胶件有限元计算分析精度为依据选取本构模型，王文涛等 【28】 讨论不同材料应变组合下对超弹性本构模型参数拟合精度影响，发现 Mooney-Rivlin 模型比其它模型具有更为稳定的计算能力 【29】 ；并探讨本构模型汽车橡胶隔振器静态特性预测影响，发现 Mooney-Rivlin 在较小应变
17、下具有较好计算精度和稳定性，Van der Waals和 3 阶 Ogden 在处理较大应变数据时具有较好计算精度。Zhao Yin-Yan 等 【30】 研究在多载荷条件下橡胶隔振器建模改进研究，选择三种超弹性本构模型 Mooney-Rivlin， Van Der Waals 和 Marlow，用三种本构模型计算承受单载荷和多载荷下两种悬置静刚度。为减少有限元分析中本构模型选用的盲目性，提高橡胶产品性能预测可靠性，王国权 【31】 讨论工程中常用三种本构模型有限元分析的适应性，由标准试样单轴拉伸试验数据拟合 Mooney-Rivlin, Ogden 及 Yeoh 3 种本构模型的参数，得出在
18、小应变（100% ）范围内本构模型适应性顺序：Mooney-Rivlin 较好，是 Yeoh 次之，Ogden 最差，而在较大应变（100%）范围内，Ogden 和 Yeoh 具有较好的适应性，而 Mooney-Rivlin 误差较大。李炼等 【32】探寻土木减震结构中三种橡胶本构模型与有限元分析匹配度，通过橡胶圆柱单轴压缩实验，利用三种模型参数有限元计算，得出结论：在橡胶压缩时，Neo-Hooke 模型适用于压应变为 0-45%的范围，Mooney-Rivlin 模型和 Yeoh 模型适用于压应变为 60%的范围。李凡珠等 【33】 分析循环加载卸载条件下炭黑填充橡胶在力学行为，用常见本构模
19、型拟合加载和卸载段，在加载段拟合发现 Marlow 模型效果最好；而在卸载段Mullins 模型拟合精度高，采用反分析法较好拟合卸载段试验曲线，但是该模型不能反映橡胶材料永久变形行为，采取体现塑性变形的模型与 Mullins 模型叠加拟合卸载段，发现与试验曲线拟合度较高。3 超弹性本构模型参数确定超弹性本构模型参数确定方法主要有：（1）简单材料试验和本构理论计算方法；（2）完整材料试验和数值拟合技术；（3）根据已有橡胶隔振器特性，通过模型参数识别；（4）先进试验法。国内早期没有完善材料试验设备，确定弹性本构模型参数，主要是通过本构理论计算以及简单材料试验获取。何春明【34】 对坦克负重橡胶有限
20、元计算，提出一种测定橡胶材料 Mooney-Rivlin 本构模型的新方法。郑明军等 【35，36】 探讨橡胶硬度与橡胶材料力学常数 C1 和 C2 的一般关系，给出计算材料参数方法。左亮 【37】 依据硬度与橡胶材料参数经验公式，通过材料理论估算出本构模型参数。黄建龙 【38】 选取2 参数 Mooney-Rivlin 模型、Yeoh 模型利用线性回归拟合单轴拉伸试验曲线，得出橡胶材料参数，并通过有限元验证。随科学技术水平提高，国内可以完成一定的材料基本试验，并制定橡胶材料试验国家标准。王利荣研究液阻橡胶隔振器静态特性及有限元建模方法 【39】 ，选用Mooney-Rivlin，依据国家标准
21、 GB/T58-92 和 GB/T775793，在通用材料实验机 DES 2500 上进行橡胶材料试样的单向拉伸和压缩实验获取材料参数。王伟 【40】 给出常见测定橡胶 Mooney-Rivlin 本构模型试验的方法。橡胶材料本构模型参数可以利用最小二乘法拟合已有试验数据来确定，伍开松等 【41】 研究丁腈橡胶胶筒在大变形下力学性能，选择本构模型并利用最小二乘法确定材料参数，给出评价本构模型优劣公式。张平等 【42】 研究橡胶材料参数试验获取方法，获得试件在不同受力状态下应力与应变曲线，采用最小二乘法拟合不同橡胶超弹性本构模型参数。上官文斌 【43】 计算橡胶扭转减振器的滑移转矩，建立橡胶扭转
22、减振器有限元模型，考虑橡胶承受压缩、剪切变形，用最小二乘法拟合单轴拉伸、平面拉伸试验数据。重庆大学徐中明教授等 【44】 采用超静定方程方法确定橡胶材料本构模型参数，该方法拟合精度比最小二乘法高。从国外引进隔振器无法通过传统方法试制橡胶标准试样获取橡胶材料模型参数，国外橡胶材料试验价格昂贵，周期长，故国内研究人员利用反推法和数值优化方法对超弹性本构模型参数识别。楼京俊 【45】 研究橡胶隔振器时，采用反推法确定橡胶材料参数，选择 2 参数Mooney-Rivlin，基于 Matlab 和 ANSYS 联合仿真技术，根据硬度 Hr 与 C1、C 2 的经验关系确定本构模型参数。刘文武等 【46】
23、在无法获取橡胶标准试样条件下研究橡胶隔振器有限元计算，寻求新的方法来确定应变能密度函数；提出一种从橡胶总成试验数据出发，利用多目标优化软件 iSIGHT确定橡胶应变能密度函数的新方法。朱艳峰 【47】 等利用粒子群优化算法识别橡胶类材料大应变时硬化现象本构模型参数，用一种改进型粒子群算法拟合单轴拉伸试验数据，与传统最小二乘法拟合相比，速度快，精度高，能够解决试验数据曲线不光滑或有拐点而导致不收敛的问题。张军等 【48】 研究汽车隔振系统中缓冲橡胶块的刚度、强度及疲劳特性，很难通过橡胶材料准确获取材料参数；提出了基于最小二乘法响应面法，结合有限元仿真技术，反求出橡胶材料参数。陈宝等 【49】 研
24、究轿车橡胶衬套力学行为，由于缺少基础试验数据，无法建立本构模型。根据结构试验获取橡胶衬套三个方向“位移- 力”曲线的非完全试验信息，利用 HyperStudy 与 ABAQUS 进行初始试验仿真，分析试验与仿真曲线的一致性。选择 Yeoh 多项式模型，采用自适应响应面法，经过多次迭代识别出一组能较准确模拟衬套力学行为的材料参数。在国外也有大量学者做相关研究工作，在测量橡胶材料参数试验方法做了相关研究，Stefan Hartmann 【50】 等研究了一种获取橡胶本构模型材料常数的光学测量法，验证光学测量法获取材料常数的准确性。为了克服与橡胶件具有相同边界条件以及橡胶材料均匀变形缺点，Rachi
25、k 采用一种反演法确定橡胶材料参数 【51】 。Odgen 和Twizell 发现对 6 参数或 8 参数 Odgen 模型采用非线性最小二乘优化法很难实现收敛，主要是很难确定优化初始值 【52,53】 。Kamel Yaya【17】 提出一种 4 参数本构模型，该模型参数的确定可以转化为线性优化问题，初始值设定任意正值，使得优化结果收敛。Tibi Beda【54】 提出分阶段模型与最小二乘联合法拟合橡胶超弹性本构模型，该方法可以应用于有约束条件的求解过程，同时将非线性问题转化为线性问题求解。随着科技进步，橡胶材料参数确定方法不断更新，从早期简单试验和理论推导法，过渡到先进材料参数测量法和数值
26、优化算法，材料参数精度有较大提高，必将对橡胶隔振器设计与计算有较大提升。4 结论本文以隔振橡胶材料超弹性本构模型为对象，从本构模型选用、本构模型参数确定方法两个方面分析和总结国内外学者研究成果，这对开展后续橡胶件设计及计算具有非常重要意义，对橡胶力学研究打下铺垫作用。从相关国内外学者研究过程中发现一些问题：1）目前相关橡胶本构模型有一定使用条件，本构模型形式和种类较多，没有较为统一形式，尤其在模型选取需要做繁琐材料试验，工作量大。2）目前本构模型较多考虑与材料试验拟合精度、大变形、硬化、黏弹性等，很少涉及 Payne效应和 Mullins 效应，裂纹扩展与断裂，磨耗与老化等因素。3）基于材料试
27、验所建立材料力学模型的计算结果与橡胶件总成试验结果有一定偏差，如何减小其产生误差。这都是后续研究要解决的问题。参考文献1 李晓芳 ,杨晓翔. 橡胶材料的超弹性本构模型J.弹性体，2005,15（1）：50-58.2 危银涛，方庆红，金状兵，冯希金. 填充橡胶本构模型研究进展J.高分子通报，2014，5：15-21.3 ANDERS K. OLSSON，Finite Element Procedures In Modelling The Dynamic Properties of RubberD.Sweden: Lund University, 2007.4 潘孝勇. 橡胶隔振器动态特性计算与建
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