1、 摘要 . 1 Abstract . 1 1.前言 . 1 2.预备知识 . 2 2.1 带有 Peano 型余项的泰勒公式 . 2 2.2 带有 Lagrange 型余项的泰勒公式 . 3 2.3 函数的泰勒公式 (或 Maclaurin 公式 )展开 . 4 2.4 常见的 Maclaurin 公式 . 5 3.泰勒（ Taylor）公式的 应用 . 6 3.1 定义某些非初等函数 . 6 3.2 利用泰勒公式求极限 . 6 3.3 利用泰勒公式求高阶导数 . 7 3.4 泰勒公式在不等式（等式）证明中的应用 . 8 3.5 利用泰勒公式近似计算和误差估计 . 9 3.6 带积分型余项的泰
2、勒公式在定积分计算中的应用 . 10 3.6.1 定理及其证明 . 10 3.6.2 定理的应用 . 11 3.7 泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用 . 12 3.8 泰勒公式巧解行列式 . 12 3.9 利用泰勒公式求某些微分方程的解 . 14 4.总结 . 15 谢辞 . 16 参考文献 . 17 关于泰勒（ Taylor）公式的应用初探 1 关于 泰勒（ Taylor）公式的应用 初探 韩 凯 （咸阳师范学院数 信学院 陕西 咸阳 712000） 摘要： 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容 ,集中体现了微积分“逼近法”的精髓 ,在微积分的各个方面都有重要的应用 。 本文主要采用举例分析的
3、方法，阐述了泰勒公式在求极限 、 近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。 关键词： 泰勒公式；定积分；级数收敛；行列式 。 The initial exploration of application on Taylor formula Han Kai (Department of mathematics of Xian yang normal university Xian yang Shaanxi 712000) Abstract: Taylor Formul
4、a is a very important content of mathematics analysis, it can focally embody the soul of “approximation” of calculus, and is extensively applied in most aspects of calculus. By using some examples about it, the present paper elucidates its applications and skills in some aspects, such as limitation,
5、 approximation differential coefficient, proof of inequality determinant of series convergence and determinant solving. Through studying the skills above, this paper aims to form special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently. Key words: Taylor Formula, D
6、efinite Integral, Series convergence, Determinant. 1.前言 18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（ Brook Taylor）， 于 1685 年 8月 18 日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。 泰勒的主要 著 作是 1715 年出版的正的和反的增量方法，书内陈述 了 他已于 1712 年 7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理 泰勒定理 。 1772 年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，咸阳师范学院 2009 届本科毕业生论文 2
7、因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。 泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单 变量函数都可展成幂级数 ， 同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的 问题都得到了希望并且很多都成了现实，所以我们有必要很好的掌握 这一公式。 2.预备知识 2.1 带有 Peano 型余项的泰勒公式 皮亚诺型余项泰勒公式 1 ，是各种形式泰勒公式中，所需要条件较少、形式简单，在处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。 定理 设函数 fx 在点 ox 处具 有 n 阶导数，则有 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02
8、! !n nnooo o o o o of x f xf x f x f x x x x x x x x xn (1) 证明： 记 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! !n nooo o o o of x f xP x f x f x x x x x x xn ( ) ( ) ( )R x f x P x 显然 Rx在 ox 处 n 阶可导，从而在 ox 的邻域内 1n 阶可导，且有 ()( ) ( ) ( ) ( ) 0no o o oR x R x R x R x 由于 ( 1)()nRx 在点 ox 处连续，所以 limoxx()( ) 0kRx 0,1
9、, , 1kn 为证（ 1）必须且只需证明 limoxx() 0()noRxxx 。 有前面分析知该极限为 00 未定式，连续运用 1n 次洛必达法则得 limoxx 1( )()noRxxx =limoxx ( 1)()!( )n oRxn x x 注意到 ( 1)( ) 0n oRx ，由导数定义得 limoxx ( 1)()noRxxx limoxx( 1 ) ( 1 ) ()( ) ( ) ( ) 0nn noooR x R x Rxxx 关于泰勒（ Taylor）公式的应用初探 3 因此 limoxx() 0()noRxxx， 定理得证。 注 01 该定理说明当 oxx 时用泰勒公式
10、 ()Px 近似代替 ()fx时，其误差 ()Rx 是比()noxx 高阶的无穷小。其中 ()Rx =o()noxx 叫做 皮亚诺型余项。 02 与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比，该定理对 ()fx的假设条件较少，只需在点 ox 处 n 阶可导，不需 1n 阶导数存在，也不需在 ox 的邻域内存在 n 阶（连 续）导数，因此应用范围较广。 2.2 带有 Lagrange 型余项的泰勒公式 定理 若函数 ()fx在 ,ab 上存在连续 1n 阶导数，则 ,x ab ，泰勒公式 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! !n n nf a f a f af x f a
11、x a x a x a R xn （ 1） 其中 1 1()( ) , ,( 1 ) !n nn fR x x a a xn 称为拉格朗日余项 2 。 证明： ,x ab ，有 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! !n nn f a f a f aR x f x f a x a x a x an 显然有 ()nRa=0， ， ()()n nRa=0， ( 1)()n nRx= ( 1)()nfx 。 若令 ( 1)( ) ( ) nn x x a ，则有 ()na ( 1)0, , ( ) 0nn a ( 1), ( ) ( 1)!nn xn 在区间 ,ax
12、x b 上连续应用柯西中值定理 1n 次，有 1 1 21 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n nn n n n n n nR x R x R a R R R a Rx x a a = 11( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n nn n n nn n nn n n nR R a Ra 咸阳师范学院 2009 届本科毕业生论文 4 1( 1)!nfn （记 1 3 2 1,nna x b ） 从而得到 1( 1 )1()1! nnnR x f x an a x b （ 1） 得证。
13、 2.3 函数的泰勒公式 (或 Maclaurin 公式 )展开 函数的 Taylor展开式 ： 若在点 0x 的某邻域内函数 )(xf 的 Taylor 级数 （ Taylor 公式仅有有限项 ， 是用多项式逼近函数。项数无限增多时，得 nn xxn xfxxxfxxxfxf )(! )()(!2 )()()(00)(200000 0 00)( )(! )(nnn xxn xf ， 称此级数为函数 )(xf 在点 0x 的 Taylor 级数 。 只要函数 )(xf 在点 0x 无限次可导，就可 写出 其 Taylor 级数。 称 0x =0 时的 Taylor 级数为 Maclaurin
14、级数 ， 即级数 0)(! )0(n nn xnf。 ）收敛且和恰为 )(xf ，则称函数 )(xf 在点 0x 可展开成 Taylor 级数 （ 自然要附带展开区间 ） 。 称此时的 Taylor 级数为函数 )(xf 在 点 0x 的 Taylor 展开式或幂级数展开式 。 简称函数)(xf 在点 0x 可展为幂级数。当 0x =0 时，称 Taylor 展开式为 Maclaurin 展开式。 可展条件 3 ： 定理 (必要条件 ) 若 函数 )(xf 在点 0x 可展， 则必有 )(xf 在点 0x 有任意阶导数 。 定理 (充要条件 ) 设函数 )(xf 在点 0x 有任意阶导数。则
15、)(xf 在区间 ) 0 ( ) , ( 00 rrxrx 内等于其 Taylor 级数 (即可展 )的充要条件是：对 ) , ( 0 rxUx ， 有0)(lim xRnn 。其中 )(xRn 是 Taylor 公式中的余项。 定理 (充分条件 ) 设函数 )(xf 在点 0x 有任意阶导数 ， 且导函数所成函数列 )( )( xf n 一关于泰勒（ Taylor）公式的应用初探 5 致有界 ， 则函数 )(xf 可展。 例：展开函数 )(xf 3223x x x ， (1) 按 x 幂； (2) 按 ) 1 ( x 幂。 解 32 23)0( xxxf ， 3) 0 ()0( f ， 1)
16、 1 ( )0( f ； 143 2 xxf ， 1) 0 ( f ， 8) 1 ( f ； 46 xf ， 4) 0 ( f ， 10) 1 ( f ； 6f ， 6) 0 ( f ， 6) 1 ( f ； 0)()4( nff 。 所以 ， (1) 3232 23!3 )0(!2 )0()0()0()( xxxxfxfxffxf 。 可见 ， x 的多项式 )(xPn 的 Maclaurin 展开式就是其本身 。 (2) 32 )1(!3 )1()1(!2 )1()1)(1()1()( xfxfxffxf 32 )1()1(5)1(81 xxx 。 2.4 常见的 Maclaurin 公式
17、 1. 23( ) 1 2 ! 3 ! !nxnx x xf x e x R xn ； 1( ) 0 1( 1 ) !x nn eR x xn 2. 3 5 2 112s i n 13 ! 5! ( 2 1 ) !mmmx x xx x R xm 212 1 c os 01( 2 1 ) !m mm xR x xm 3. 2 4 221( ) ( ) c o s 1 12 ! 4 ! 2 !mmmx x xf x f x x R xm 1 2221 1 c os 01( 2 2) !m mm xR x xm 4. ( ) 1 1af x x x 21 1 11 2 ! ! nna a a a
18、a na x x x R xn 咸阳师范学院 2009 届本科毕业生论文 6 1 11 1 0 1( 1 ) ! an nn a a a nR x x xn 5. ()fx ln 1 x = 23 1123 nnnx x xx R xn 3.泰勒（ Taylor）公式的应用 3.1 定义某些非初等函数 若函数 ()fx 在 R (或某 个区间 )上连续 ,则函 数 ()fx 在 R 上存在原 函数0( ) ( )XF x f t dt， xR ,而这个原函数 ()Fx不一定可用初等函数表示 ,如此仿佛陷入了困境。事实上 ,若 ()fx可运用泰 勒公式展成幂级数 ,则 ()Fx可表示为幂级数的和
19、函数形式 4 。 例如 :函数 2() xf x e 在 R 上连续 ,因而它在 R 上存在原函数 ,但它的原函数 ()Fx是非初等函数 ,于是可采用下述方法 : 由泰勒公式知 , 2 2 4 21 ( 1 )1 ! 2 ! !nxnx x xe n ， 由于它在任意闭区间上都一致收敛 ,于是 xR ,它的原函数 2 2 2 2 10 0 00 0 0( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )! ! ! 2 1n n nx x xt n n nn n nx x xF x e dt dt dtn n n n 3.2利用泰勒公式求极限 为了简化极限运算，有时可以用某项的泰勒展开式代替该项，使得原来
20、函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷的求出 5 。 例：求极限 2240coslim xxxex 分析：此为 00 型极限，若用罗比达法则很麻烦，这时可将 cosx 和 22xe 分别用其泰勒展开式代替，则可以简化此比试。 关于泰勒（ Taylor）公式的应用初探 7 解：由 24cos 1 2! 4!xxx 24 20 xxe 2 22 4()21022xxx 得： 2 4 4 4 4221 1 1c o s ( ) ,4 ! 2 * 2 ! 1 2xx e x o x x o x 于是 2240coslim xxxex =0limx 4441 11212x o xx 有泰勒公
21、式计算的实质是用等价无穷小来计算极限，我们知道，当 0x 时，sin , tanx x x x等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们所熟悉的等价无穷小结合，问题又能进一步简化。 例：就极限220 11lim( )sinx xx 解：220 11lim( )sinx xx = 22220 sinlim( )sin *x xxxx （ *） 下面用泰勒公式法和等价无穷小法结合起来考虑。 1 c o s 2 1 1s i n c o s 2 ,2 2 2xxx 用泰勒公式将 cos2x 展开： cos2x = 24 4221 2 ! 4 !xx ox ， 于
22、是 24 42 4 2 42211s i n 12 2 2 ! 4 ! 3xx xx o x x o x 将式（ *）分子上的 2sinx 用上式代替，而分母中的 2sinx 用 2x 代替，则： 220 11lim( )sinx xx = 42 2 42203lim*xxx x o xxx = 4 44013lim 3xx oxx 3.3 利用泰勒公式求高阶导数 例 ： 设 coty arc x ,求 0ny . 分析 如果直接求高阶导数 ,比较麻烦 ,并且规律性不是很强 , 可以考虑利用 函数在 x = 咸阳师范学院 2009 届本科毕业生论文 8 0 处的麦克劳林展开式 . 解 ： 2
23、4 6 221c o t ( 1 1 )1 n ny a r c x x x x xx 1x 1 3 5 7 2 11 1 1 113 5 7 2 1n ny x x x x xn 13 5 7 2 11 1 1 113 5 7 2 1n nx x x x xn 1x 又 fx 在 0x 处 的麦克劳林展开式为 00!n nnfy f x xn2 比较 1 和 2 中 nx 的系数 ,得 2 00kf ， 1 121 10 2 1 ! 1 2 !21 k kkf k kk 这里 ,我们通过 Maclaurin 公式把求解一个复杂的反三解函数的高阶导数转化为多项式函数的高阶导数 ,而后者的求解是
24、非常简单的 . 3.4泰勒公式在不等式证明中的应用 例：设函数 ()fx在 ,ab 上具有二阶导数，且 ( ) ( ) 0f a f b，并存在一点 ,c ab ，使 ( ) 0fc ，证明至少存在一点 ,u ab ，使 ( ) 0fu 。 证：因 ()fx具有二阶导数，将 ()fx在 c 点展开成为一阶泰勒展开式： 2( ) ( ) ( ) 2!ff x f c f c x c x c （ 1） 其中 在 x 与 c 之间。 （ 1） 当 0fc 时，在（ 1）式中取 xa ，得： 21( ) ( ) ( ) 2!ff a f c f c x c x c （ 2） 其中 1 在 x 与 c
25、之间。 因为 ()fa 0， 0fc （由已知），且 ac ， 0fc （假设）所以由（ 2）式得： 关于泰勒（ Taylor）公式的应用初探 9 1 2( ) ( )( ) 02f c f c x cfac ，这里 1 ,ab ，故存在一点 1 ,ab ，使 1( ) 0f （ 2） 当 ( ) 0fc 时，在（ 1）中取 xb ，得： 22( ) ( ) ( ) 2!ff b f c f c b c b c 其中 2 在 b 与 c之间 ,即 2cb 因为 ( ) 0fb ， ( ) 0fc （已知）， 0fc （假设）， cb 由（ 3）式可得， 2 2( ) ( )( ) 0 0 ,2
26、f c f c b cfbc 因为 2 ,cb ，而 ,c b a b ，所以 2 ,cb ，故存在一点 2 ,cb ，使1( ) 0f 。综上所述，无论 fc为正还是为负，至少存在一点 ,u ab ，使 ( ) 0fu ，证毕。 3.5利用泰勒公式近似计算和误差估计 根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差。由拉格朗日型余项 1 101!n nnfR x x xn ， 如果 1nf x M , M 为一定数，则其余项不会超过 101! nM xxn 。 由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差。 例：求 ln1.2的近似值，使误差不超过 0.0001。 解： 设 ln 1f x x，将其在 0x = 0处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式 23 1l n 1 123 nn nx x xx x R xn 其中 11111n nn nxRxn ( 在 0 和 x 之间 )，令 0.2x ，则 0 0.2 。要使
