1、 含时滞切换正系统的稳定性分析 目 录 目 录 . I 摘 要 . I Abstract. II 引 言 . 1 第一章 正系统及切换系统 . 2 1.1 预备知识 . 2 1.1.1 符 号说明 .2 1.1.2 数学知识 .2 1.2 正系统 . 2 1.2.1 正系统简介 .3 1.2.2 无时滞正系统定义及稳定判据 .3 1.2.3 实例仿真 .3 1.2.4 结果分析 .4 1.3 切换系统 . 4 1.3.1 切换系统的定义及稳定判据 .4 1.3.2 实例仿真 .5 1.3.3 结果分析 .6 1.3.4 稳定性 .6 本章小结 .6 第二章 含有时滞的离散切换系统稳定性 . 7
2、 2.1 含有时滞的离散时间切换系统 . 7 2.1.1 离散切换时滞线性正系统的简介 .7 2.1.2 稳定判据 .7 2.1.3 实例仿真 .8 2.1.4 结果分析 .9 2.2 离散切换时滞线性正系统稳定性的影响因素 . 9 2.2.1 a 值（即系统参数）对系统稳定性的影响 .9 2.2.2 初始值对系统稳定性的影响 .12 2.2.3 时滞对切换时滞系统 的影响 .13 本章小结 .16 第三章 含有时滞的连续时间线性切换系统 . 17 3.1 连续切换时滞线性正系统 . 17 3.2 稳定判据 . 17 3.2.1 实例仿真 .18 3.2.2 仿真结果分析 .19 3.3 连续
3、切换时滞线性正系统稳定性的影响因素 . 21 3.3.1 a 值对连续切换时滞线性正系统的影响 .21 3.3.2 时滞对连续切换时滞线 性正系统的影响 .21 3.3.3 初始值对连续切换时滞线性正系统的影响 .24 本章小结 .24 总 结 . 25 含时滞切换正系统的稳定性分析 参考文献 . 26 致 谢 . 错误 !未定义书签。 含时滞切换正系统的稳定性分析 I 摘 要 由于切换系统和时滞相互作用，切换时滞系统要比一般的系统要复杂的多。同时，切换时滞系统在工程应用中得到广泛的关注，许多现实的系统都可以建模为切换时滞系统。近来， 关于 切换时滞系统方面的研究成果较多，但是，对切换时滞系统
4、稳定性方面的研究仍然不足。本文主要关注切换时滞系统的稳定性问题。本文行文思路如下： 首先，通过对正系统，切换正系统及其稳定性能的简单了解，构建基本的动态系统的概念。再次，本文主要针对切换时滞正系统的稳定性问题进行分析研究，其子系统也都是正的。本文中系统中的时滞是有上限的。 在某种给定的条件下，通过构建一系列正的单调下降并且随着时间趋向于无穷大时最终衰减到零的函数，我们就可以得到一些稳定的结果。最后我们通过实例进行 Matlab 仿真来验证这一结果的正确性 ,并且对仿真结果进行分析。同时，本文还对切换时滞系统的稳定性影响因素进行探讨。 进一步的我们可以推算得到时滞上限是无限大时，系统仍然是稳定的
5、，也就是说切换时滞正系统的稳定性与时滞是无关的。 关键词： 正系统 ， 切换正系统 ， 切换时滞系统，稳定 性 。 含时滞切换正系统的稳定性分析 II Abstract Due to the switching system interact with delays, Switched systems with delays become more complex than conventional ones. While, Switched delay systems received widespread attention in engineering application, Many
6、 real systems can be modeled as a switched systems with time delay. Recently, people have get so many research on switched systems with time delays. However, there are large gaps in the study of the stability of switched systems with time delay. This article mainly focuses on the problem of stabilit
7、y of switched systems with time-delays. This article reads as follows: First of all, through the positive system, switching systems and its stable performance, simple to understand, building a basic dynamic system concepts. Then, This technical note investigates the stability problem of positive swi
8、tched linear systems with delays whose subsystems are all positive. All delays in this system have an upper limit. In the context of a given. By constructing a sequence of functions that are positive, monotonically decreasing, and convergent to zero as time tends to infinity, several stability resul
9、ts will be established. Finally, a numerical example is presented to illustrate the obtained results. And, get an analysis of simulation results. At the same time, this article also to explore the factors influencing the stability of switched systems with time delays. Further we can project system i
10、s still stable when the delays limit is infinite. That is to say the stability of switched systems with time delay is dependent of the delay. Keywords: positive systems, switched systems, switched systems with delays, stability. 含时滞切换正系统的稳定性分析 1 引 言 切换系统是一类重要的混合动态系统 ， 切换系统的数学形式是微分方程或者差分方程，因此它可以看作是由若
11、干微分方程或者差分方程及其作用在其中的切换规则组成的。切换系统可以用来描述许多不能通过纯粹的连续时间过程或离散时间过程描述的系统。因而切换系统具有广泛的应用背景 。 许多动态系统可以模型化为诸如文献 1中的切换系统。由 于切换系统有多种子系 统及多可能的切换信号 1，切换系统拥有卓越的动态性能。此外 ，选用切换控制有时候可 以获得比传统的连续控制更好的效果。在过去的二十年里 ， 有关切换系统理论及其应用的研究以及切换系统中 既 有趣 又 具有挑战性的问题受到众多学者的关注 3。 许多现实世界的物理系统均包含着非负的信号变量 。 例如，人口水平、绝对温度和物质密度等。这一类的系统，我们称之为正系
12、统 4-6。也就是说，当该系统的初始条 件及输入是非负的时候它们状态及输出也是非负的。正系统的状态变量 局限于一个基于正的轨迹而不是整个空间的 “圆锥形 ”这一特性也使得正系统的分析与特点成了一份即有趣又具有挑战性的工作。对于动态系统来说，稳定性是最重要的特性，大量的文献关注了正系统 的 这一课题。参考文献 7， 使用了一个等式表达了一类时滞正系统的充分稳定条件。文献 8通过一个二次对角李雅普洛夫函数得到了稳定标准的充要条件。文献 9通过一个线性共同李雅普洛夫函数的方法，提出了稳定充要条件。因此，当考虑正系统的稳定性的时候，自然地我们应该采用线性共同李雅普洛夫函数。通过这一方法，能够获得正系统
13、的特性。足以证明 ： 处理正系统问题，线性共同李雅普洛夫方法是一个很好的工具。正系统在经济、生物、社会及通信领域有广泛的应用 。 正系统有许多特殊 且有趣的特性。例如，它们的稳定性不受时滞影响。 这里需要指出的是，研究正切换系统要比普通切换系统更加具有挑战性，因为，为了获得一些 “杰出 ”的结果，我们必须得把正系统和切换系统结合起来 。 近来，由于切换正系统在通信领域、交通控制、化工批处理过程、自动引擎控制、飞行器控制、自动调速系统控制、生化过程控制等广泛应用，切换系正统的重要性越来越显得尤为重要。线性正切换系统的每一个子系统的本身也都是正系统。 本文着重考虑切换系统、正系统、切换正系统的渐近
14、稳定性问题 ， 通过数值 算例 ， Matlab 仿真验证了本文所提算法的正确 有效性。 含时滞切换正系统的稳定性分析 2 第一章 正系统及切换系统 本章主要考虑离散情况下正系统、切换正系统及其稳定性。 利用 Matlab 平台进行仿真，得到仿真结果，最终得到结论。 1.1 预备知识 本节主要关于本文所涉及到的公式及其表达意思，用到的定理等知识。 1.1.1 符号说明 0P 表示矩阵 P 对称正定 0P 表示矩阵 P 对称负定 0A ( 0A ) 表示矩阵 A 的所有元素均是非负的（非正的） 0A ( 0A ) 表示矩阵 A 的所有元素均是正的（负的） TA （ 1A ） 表示矩阵的转置（逆）
15、 R ( ， R ) 表示所有实（非负正）数 . nR （ n ， nR ） 表示 n 维实（非负、正）向量空间 nmR （ nm ） 表示 nm 维（实）非负矩阵 1( . )ndiag a a 表示对角元素 为 1.naa的 矩阵 N 表示 1,2,3,. 0N 表示 0 N I 表示具有合适维数的单位矩阵。 表示范数 。 即： 21N iiyy 其中 12, , , .Tny y y y ixt 表示 ixt的导数 1.1.2 数学知识 矩阵的基本运算（ +， -， ， /)、 阵分块法 以及 矩阵理论知识： 定义 1： 方阵 A 是 Metzler 矩阵当且仅当 A 的非对角元是非负的
16、。 定义 2： 方阵 A 是 Schur 矩阵当且仅当 A 的所有特征值的模 值 都小于 1。 微积分、微分方程、差分方程。 1.2 正系统 本节重点在于对正系统的介绍，通过正系统的定义 10、稳定判据 ，最后通过 Matlab 仿真得出仿真结果。 含时滞切换正系统的稳定性分析 3 1.2.1 正系统简介 考虑这样一个实例：在一个池塘里，生活着两种分别具有一定数量的生物 物种 ，在这个有限的资源空间 里，这两个生物物种具有竞争关系。当资源空间还不足以影响其数量增长时 ， 它们数量的 不断 增加 。但是，随着 它们数量的不断增加 ， 资源空间变得越来越有限。因此，竟争的两个物种在这有限空间里个体
17、数量不可能永无止尽的增长下去，必然在未来的某个时刻达到稳定值。在这过程中具有竞争优势的种群可能在某段时间里增长的较快，但是如果它的增长超过了约束，必然在以后的时间里下降衰减下 来。这就是一个简单的生物圈的正系统的实例。物种便是输入变量，初始数量是非负的，池塘便是系统，最终的输出（物种数量）也是非负的。 1.2.2 无时滞正系统定义及稳定判据 考虑系统： 1x k Ax k (0.1) 其中系统矩阵 A nmR ， 状态向量 ()xk nR 。 定义 1： 只要初始条件满足 (0) 0x ， 则系统 (0.1)就是正系统，并且系统的 响应对于 任 何 0kN ， ( ) 0xk 10。 定义 2
18、： 当系统是稳定时，方阵 A 为 Schur 矩阵。也就是说，所有 A 矩阵的特征值均落在复频域的单位圆内 10。 引理 1： 只要存在 nR 且 0A ，使得 ( ) 0AI,则矩阵 A 为 Schur 矩阵 10。 引理 2： 只要存在一个对角矩阵 0P 且 0A ，使得 0TA PA P ，则矩阵为 Schur 矩阵 10。 在系统 (0.1)中，如果 0A ，则下了叙述等价： I:A 是一个 Schur 矩阵。 II：对任意初始值 ， (0) 0x 则系统 (0.1)渐进稳定。 1.2.3 实例仿真 系统矩阵为： 0.6 0.30.2 0.7A 含时滞切换正系统的稳定性分析 4 仿真结
19、果为： 图 1-1 无时滞正系 统输出轨迹 1.2.4 结果分析 从 图 1-1 无时滞正系 统输出轨迹 中可以看出，取两个完全不同的初始值 -6 和 8。初始值为正的系统 2，开始有一个衰减的过程，初始值为负的系统 1，开始一段时间里有一个不断地上升过程。两个系统从时刻 6 开始，在以后的时间里动态输出趋于同一值，最终趋于零。从图像可以看出不管初始值是多少，正系统是稳定的，初始值的不同不会影响其稳定性能。 1.3 切换系统 切换系统在现实生活中一个比较普遍的现象，十分重要 。 例如， 汽车换挡系统、变电站的切换等。切换系统是一个由一个系列的连续或离散的子系统以及协调这些子系统之间起切换的规则
20、组成的混合系统。切换系统具有特殊的性质，整体功能不等于各个部分之和，具有复杂性。 1.3.1 切换系统的定义及稳定判据 考虑系统： 1kx k A x kk 0N (0.2) 状态向量 x (k ) nR ；切换信号 0:NI ， 其中 1,2,.IN 当且仅当 ()ti 时子系 统 iA nnR 被激活。 定义 1： 当且仅当初始条件满足 (0) 0x ， 则系统 (0.2)就是正系统。并且系统的响 含时滞切换正系统的稳定性分析 5 应对于任何系的响应对于任何 k 0N ( ) 0xk 成立 11。 定义 2： 当且仅当系统稳定时矩阵 A 为 Schur 矩阵。 引理 1：当且仅当 0A 时
21、，该系统是正的。 引理 2： 如果存在函数 0: nV N R R，则系统 (0.2)是稳定的 。 1 0.80.3 0.3aA 2 0.20.6 0.8bA 其 中 ,ab为系统参数，显然 当 (0) 0x 时 ,系统 (0.2)为正切换系统 ； 矩阵 2A 中， 如 果 0.4b ，则矩阵 2A 不是一个 Schur 矩阵 ， 该系统对于独立切换信号 是 不稳定 的 。1.3.2 实例仿真 根据定理 1、推论 111,再利用 Matlab 仿真，我们可以绘制出稳定区域。 取 a =0.2， b =0.3999 则有： 1 0.2 0.80.3 0.3A 2 0.399 9 0.20.6 0.8A ； 仿真结果为 : 图 1-2 切换正系统状态向量输出图形
