1、 伯努利方程主讲人：张伦2013年 5月 8日课程名称：工程流体力学基本概念回顾：流速变化与水深有关 压力与流速变化有关重力 体积力 压力 表面力流速变化与受力有关流体的运动与受力伯努利方程：描述流体的 运动速度 、 重力 和 压力 三者之间关系的方程。3.7.1 伯努利 (Bernoulli)方程的推导回顾： 微分形式的动量方程 (一维、定常、无粘 )伯努利方程沿流线、定常、无粘、不可压 Bernoulli(17001782)沿流线积分压力项 重力项 动量变化项3.7.2 伯努利方程的物理概念与理解1.首先要知道机械能就等于动能加重力势能。2.则 a1截面的动能 Ed=1/2m（ v1） 3
2、.则 a1截面的重力势能 Ez=mgh14.需要指出上述两个公式需要查一下高中物理书本，不理解的请查书。5.则 a1截面的机械能 E1=1/2m（ v1） +mgh1注：上一图中高度是 z1 右图是 h17.同理， a2截面的机械能 E2=1/2m(v2) + mgh28.整段流体在 时间内机械能增量为 E=E2-E1，是外力对 a1b1间的流体做功的结果。9.则机械能 E=E2-E1= 1/2m(v2) + mgh2- 1/2m(v1) - mgh110.m=（密度） V（体积）则上式转化为E= 1/2 V (v2) + V gh2- 1/2 V (v1) - V gh1注意 大 V 是体积
3、 小 v是速度 3.7.2 伯努利方程的物理概念与理解对于理想的液体，由于无粘滞性，不会产生平行于流管壁的切应力，流管外的流体对这部分流体的压力必垂直两处端面力，作用于 a1表面上的外力为 p1s1说明： P=F/S 压强等于压力除以面积 ，推出 F=P*S （ S是面积）a1处流体的位移为 v1t=L说明：速度乘以时间的变化量，也就是说多长时间得到长度，得到液体移动的长度。或者说位移量。那么在 a1截面移动到 b1截面做的功为 =p1s1 v1t说明： W=FL（有的是用 S表示距离） 物体运动做功等于作用于物体上的力乘以物体移动的距离，在这里是液体，需要注意理解。其中 p1s1是压力 .v
4、1t是移动的距离 .也就是 s或者 L同理， a2处液体做的功 =p2s2v2t则在 t时间里，外力对这段流管内流体所做的功为：W= p1s1 v1t - p2s2v2t3.7.2 伯努利方程的物理概念与理解根据功能原理，外力所作的总功等于机械能增量，故 E=W 1/2 V (v2) + V gh2- 1/2 V (v1) - V gh1= p1s1 v1t - p2s2v2t说明：右端的 s1 v1t v1t就是速度乘以时间 等于长度 推出 s1 v1t=s1 L s1 L就是面积乘以长度就是体积 V 1 同理 s2v2t也就等于 V2根据连续性原理 V=V1=V2 所以 右端 =（ p1-
5、p2） V经过整理 左右端每项都有 V 约去 最后得到1/2 V (v2) + V gh2- 1/2 V (v1) - V gh1= （ p1-p2） Vp1 + 1/2 (v1) + gh1=p2 + 1/2 (v2) + gh2此式称为伯努利方程，它说明：对于不可压缩的理想流体做稳定流动，在同一流管内任意一处，每单位体积流体的动能，势能以及该处的压强之和是一恒量。本节课小结 重点： 伯努利方程及其物理意义。 难点： （ 1） 物理概念的理解； （ 2） 适用条件。 思考 动量方程与伯努利方程的关系课后思考题 尝试使用伯努利方程求解水池进排水问题。 如图，杯子里的水喷出打在一个足够大的圆盘上，求圆盘受到的总作用力，和盘子中心点处的压力。V2h12 p=?
