2017-2018年东城数学文试题及答案.doc

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1、1北京市东城区2018 届高三上学期期末考试数学(文)试题第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1 )已知集合 ,则A. B. C. D. (2 )下列函数中为偶函数的是A. B. C. D. (3 )直线 与圆 相交于 两点, ,则“ ”是“ ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,(4 )执行如图所示的程序框图,若输入 ,则输出的 值为A.8 B.19 C. 42 D.892(5 )已知向量 a ,b , c ,若(2a-b) c,则实数 A.B

2、.C.D.(6 )已知 ,则A. B. C. D. (7 )某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为A.B.C.D.(8 )再一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C.丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。(9 )复数 .(10 )双曲线 的渐近线方程为 .3(11 )若 满足 ,则

3、 的最大值是 .(12 )在 中, ,则 , 的面积为 .(13 )函数 当 时, 的值域为 ;当 有两个不同零点时,实数 的取值范围为 .(14 )设命题 已知 ,满足 的所有点 都在 轴上.能够说明命题 是假命题的一个点 的坐标为 .三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(15 ) (本小题 13 分)已知 是等差数列, 是等比数列,且 .()数列 和 的通项公式;()设 ,求数列 前 项和.(16 ) (本小题 13 分)已知函数 .()当 时,求函数 在区间 上的最大值与最小值;()当 的图像经过点 时,求 的值及函数 的最小正周期. (17 )

4、 (本小题 14 分)“砥砺奋进的五年” ,首都经济社会发展取得新成就.自 2012 年以来,北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需,促进消费等政策的出台,居民消费支出全面增长,消费结构持续优化升级,城乡居民人均可支配收入快速增长,人民生活品质不断提升.下图是北京市 2012-2016 年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图(例如 2012 年,北京城镇居民收入实际增速为 7.3%,农村居民收入实际增速为 8.2%).4()从 2012-2016 五年中任选一年,求城镇居民收入实际增速大于 7%的概率;()从 2012-2016 五年中任选一年,求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%

5、的概率;()由图判断,从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大?(结论不要求证明)(18 ) (本小题 13 分)如图,在四棱锥 中, 是等边三角形, 为 的中点,四边形为直角梯形, .()求证:平面 平面 ;()求四棱锥 的体积;()在棱 上是否存在点 ,使得 平面 ?说明理由. (19 ) (本小题 14 分)已知函数 .()求曲线 在点 处的切线方程;()求 的单调区间;()若对于任意 ,都有 ,求实数 的取值范围.5求证:“ ”是 “函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件 .(20 ) (本小题 13 分)已知椭圆 的右焦点 与短轴两个端点的连线互相垂直.()求椭圆 的标准方程

6、;()设点 为椭圆 的上一点,过原点 且垂直于 的直线与直线 交于点 ,求 面积 的最小值.6东城区 2017-2018 学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 (文科)一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)(1 ) C (2)D (3 )A (4)C(5 ) A (6)D (7)B (8)A二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)(9 ) (10) (11 ) (12) ,(13 ) , 或 (14 ) (点 的坐标只需满足 ,或 , )三、解答题(共 6 小题,共 80 分)(15 ) (共 13 分)解:()设等差数列 的公差为 ,等比数

7、列 的公比为 因为 ,所以 解得 又因为 ,所以 所以 , , 6 分()由()知, , 因此数列 前 项和为 数列 的前 项和为 所以,数列 的前 项和为 , 13 分(16 ) (共 13 分)7解:()当 时, .因为 ,所以 所以,当 ,即 时, 取得最大值 ,当 ,即 时, 取得最小值为 . 6 分()因为 ,所以 因为 的图象经过点 ,所以 ,即 所以 所以 因为 ,所以 所以 的最小正周期 13 分(17 ) (共 13 分)解:()设城镇居民收入实际增速大于 为事件 ,由图可知,这五年中有这三年城镇居民收入实际增速大于 ,所以 . 5 分8()设至少有一年农村和城镇居民实际收入

8、增速均超 为事件 ,这五年中任选两年,有 , , , , , , , 共 种情况,其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过 的为前 种情况,所以 . 10 分()从 开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. 13 分(18 ) (共 14 分)解:() 因为 , , ,所以 平面 因为 平面 ,所以平面 平面 5 分()连接 因为 为等边三角形, 为 中点,所以 因为 平面 ,所以 因为 ,所以 平面 所以 在等边 中, ,所以 9 分()棱 上存在点 ,使得 平面 ,此时点 为 中点取 中点 ,连接 因为 为 中点, 所以 因为 平面 ,所以 平面 因为 为 中点,9所以 因为 平面

9、 ,所以 平面 因为 ,所以平面 平面 因为 平面 ,所以 平面 14 分(19 ) (共 14 分)解:()因为函数 ,所以 ,.又因为 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 . 4 分()函数 定义域为 ,由()可知, .令 解得 .与 在区间 上的情况如下:极小值 所以, 的单调递增区间是 ;的单调递减区间是 . 9 分()当 时, “ ”等价于“ ”.令 , ,10, .当 时, ,所以 在区间 单调递减.当 时, ,所以 在区间 单调递增 .而 ,.所以 在区间 上的最大值为 .所以当 时,对于任意 ,都有 . 14 分(20 ) (共 13 分)解:()由题意,得解得 所以椭圆 的方程为 4 分()设 , ,则 当 时,点 , 点坐标为 或 , 当 时,直线 的方程为 即 ,直线 的方程为 点 到直线 的距离为, 所以,

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