1、第六章 习题答案1考虑如下最优化问题0,1.max21tsy用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩塔克极大化条件解： 可行域为 OAB BAOx1x2利用图解法求的均衡点为 ，)0,1(B1maxy对于 来说，有 ，因此该约束规格是紧的。)0,1(2x构建拉格朗日函数 )(),( 2121 xxL符合 条件01,0)(02121xx),(BTK2考虑如下最优化问题 0,.min211xtsy用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为 ， )0,(oiny求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),
2、(2121xxL符合 条件0,)(0211xx),(oTKx1Ox23. 考虑如下最优化问题 0.min231xtsy检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩塔克极大化条件解：x2x1利用图解法求的均衡点为 ， )0,(o0miny求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),(23121xxL不符合 条件0,)(0312312xLx),(oTK4写出下面优化问题的一阶必要条件 0,2.),(max2zytszyxf解： )(),( 2221xzyxL一阶必要条件为：0)2(,01022zyxzLyx5求解下面最优化问题（1） （2） 0,12.4maxyts 0,16.min2
3、21xtsxy（3） （4） 0,3215.4in132xtsx0,4.),(ma212121xtsf（5） ,6.ma212xtsy解：（1） 22(,)4(1)Lxyxyxy一阶必要条件为： 208(21)00,Lxyx解得314,05xy（2）图解法x1BCA0x2可行域为 ，均衡解点314,05xy(1,) min2Ay(3) 12312123113(,)05)(0)Lxxxx一阶必要条件为：12112231123112340500(5),0,0LxLxxx(4) 221211(,)(4)Lx一阶必要条件为： 112120(4)0,Lxxx解得 121,0,4x(5) 121212(,
4、)(6)Lxx一阶必要条件为： 212120(6)0,Lxx解得 128x6考虑如下最优化模型0,)1(.max23tsy证明：（1）均衡解 不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数 ，12,0x 0把拉格朗日函数修改成如下形式，niimin xgrxfZ, 211210 则在点 处满足库恩-塔克条件。0,1解：（1） 32112(,)()Lxx一阶必要条件为： 2112312()0()00,Lxxx不符合 K-T 条件。（2）此时， 3120112(,)()Lxxx一阶必要条件为： 20112312()0()00,Lxxx当 时，符合 K-T 条件07消费者对两种商品的偏好用效用函数表示为
5、2121),(xxU假设消费者的收入为 12 元，两种商品价格分别为 。试求最优的商品组合。,p解：由题意知， 1212Pxx12(,)()Lx一阶必要条件为： 212120()00,Lxx解得 126,3,x8求解消费者问题 MxptsU212.ln)(ma效用极大值点，并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点。解： 121212(,)ln()Lxx一阶必要条件为： 1122120()0,LpxMpx解得1121,Mpxx22100Hpxp验证其为负定。9一个消费者生活在小岛上，那里只生产两种产品， 和 ，生产可能前沿是xy，他消费所有的产品，她的效用函数是 ，这个消费者同时面临环20
6、2yx 3U境对于她所能生产的两种产品总额上的约束，约束条件是 20xy（1）写出库恩塔克一阶条件（2）求消费者最优的 和 ，确定约束条件是否发挥限制作用。xy解：（1） 321212(,)(0)(0)LxyxyK-T 一阶条件为： 31221221221 0(0),0yxxLxyxy（2）假设第二个约束条件（定量配额）没有发挥作用，由互补松弛性得 ，故有2031210()yx解得 ，因 故为 K-T 条件最终解。152,6,753xy0xy反之 13220()yx解得 ，因 故被拒绝。25,1,375xy0y10一家电子公司在外国设立一个发电站。现在需要规划其产能。电力需求的高峰时段的需求函
7、数是 ,非高峰时段的需求函数是 。变动成本是 20（两个1140QP22380QP市场都要支付） ，产能成本是每单位 10，只要一次支付并且可以在两个时期中使用。（1）写出这个问题的拉格朗日条件和库恩塔克条件。（2）求出这个问题中的最优产量和产能。（3）每个市场分别能支付多少（即 和 的值是多少）12（4）现在假设产能成本是每单位 30（只需要支付一次） 。求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的费用（即 和 ） 。1211给定最优化问题 0,x,21)(s.t minmirGFyi （1） 为了得到可应用的极大化的充分条件，哪些凹凸条件需要追加在 和 上？FiG（2） 论述极小化问题的库恩塔
8、克条件。解：（1）对于极大化问题，存在下列充分条件： ),21(,0).maxnimjbgtsfyij 如果满足：a.目标函数 为凹函数且可微；)(xfb.每个约束函数 为凸函数且可微；jgc.点 满足库恩 塔克极大化条件。则点 为目标函数 的整体极大值点。x()yfx对于极小化问题，存在下列充分条件： ),21(,0).minnixmjbgtsfij 如果满足：a.目标函数 为凸函数且可微；()fb.每个约束函数 为凹函数且可微；xjgC.点 满足库恩塔克极小化条件。x（2）构造拉格朗日函数 ，如果若 为该问题的均衡解，)()(,(1imiirxGxfLx则存在拉格朗日乘数 使得 满足库恩塔
9、克必要条件：0）（ , mixLxLxiiii ,210),(0),( , 12对于下面问题，库恩塔克充分性定理是否适用（1） ， （2） 0,4. )()3(min21221xtsxy0,4. in2121xtsy13考虑如下模型 0,.in2121xtsy（a）库恩塔克充分性定理可以应用这个问题吗？库恩塔克极小值条件是充分必要条件吗？（b）写出库恩塔克条件，并求解最优值（ ） 。21,x由库恩塔克充分性定理知：要满足：a.目标函数 为凸函数且可微；()fxb.每个约束函数 为凹函数且可微；jg（1）中， 为两个凸函数之和，故为连续可微凸函数； 为221)4()3()xxf )(xg线性函数，连续可微凹函数。（2） （2）中， 为线性函数； 为凸函数与线性函数之和，不为凹函数，21)(Xf )(xg故，不满足充分性条件。（1）满足上题 a.b 条件，即可适用充分性定理：题中 为两个凸函数之和，21)(xXf为连续可微凸函数； 为线性函数，故，满足充分性定理；)(xg
