1、概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题： 1某人射击三次，以 表示事件“第 次击中目标” ，则事件“三次iAi中至多击中目标一次”的正确表示为（ ）（A） （B）321 323121AA（C） （D）32121A2掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于 8 的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）365364363623设随机事件 与 互不相容，且 ，则（ ）A0)(,)(BPA（A） （B） （C） )(1)(PP1)(BAP（D） B4随机变量 的概率密度为 ，则 （ ）X0)(2xcexf EX（A） （B）1 （C）2 （D）21 415下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数
2、的是（ ）（A） （B）xxF,1)(2 01)(2xxF（C） （D）ex,)(3xxF,arctn2143)(6已知随机变量 的概率密度为 ，令 ，则 的概率密X)(xfXXY2Y度 为（ ）)(yfY（A） （B） （C） 2X)2(yfX)2(1yfX（D） )(1f7已知二维随机向量 的分布及边缘分布如表),(Y，且 与 相互独立，则 （ ）hgpfedxcbapyXYYj Xi6182321 h（A） （B） （C） （D）8341318设随机变量 ，随机变量 ，且 与 相互独立，5,1UX),2(NYXY则 （ ）)2(YE（A）3 （B）6 （C）10 （D）129设 与 为任
3、意二个随机变量，方差均存在且为正，若XY，则下列结论不正确的是（ ）E（A） 与 相互独立 （B） 与 不相关 （C）XY（D）0),cov(YXD)(答案：1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A1某人射击三次，以 表示事件“第 次击中目标” ，则事件“三次iAi中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ）（A） （B）321 323121AA（C） （D）32121A2将两封信随机地投入 4 个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（ A ）（A） （B） （C） （D）2424124!A!423设随机事件 与 互不相容，且 ，则（ D ）A0)(,
4、)(BP（A） （B） （C） )(|(PP)(|(BPA（D） 0|B4随机变量 的概率密度为 ，则 （ A ）X他0),(2)(axxf EX（A） （B）1 （C） （D）32383165随机变量 的分布函数 ，则 （ B ）00)1()(xeAxF（A）0 （B）1 （C）2 （D）36已知随机变量 的概率密度为 ，令 ，则 的概率密X)(xfXXYY度 为（ D ）)(yfY（A） （B） （C） （D）3X)3(yfX)3(1yfX)(31f7已知二维随机向量 的分布及边缘分布如表),(Y，且 与 相互独立，则 （ B ）hgpfedxcbapyXYYj Xi6182321 Ye（
5、A） （B） （C） （D）4183318设随机变量 相互独立，且 ， 服从参数为 9 的泊YX, )5.0,16(bXY松分布，则 （ C ）)12(D（A）-14 （B）13 （C）40 （D）419设 为二维随机向量，则 与 不相关的充分必要条件是（ ),(YXXYD ）（A） 与 相互独立 （B） （C）EYXE)(（D）YXYX一、填空题1.设 , 是两个随机事件， ， ， 若 与AB5.0)(AP8.0)(B)1(A互不相容，则 = ； 若 与 相互独立，则 = .)(2BP2.一袋中装有 10 个球，其中 4 个黑球，6 个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的
6、是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量 的概率分布为 ， ，XkaXP3,21则常数 .a4.设随机变量 的分布函数为 2,10,)(2xaxF则常数 ， = .a31XP5.设随机变量 的概率分布为X则 = .)3(2XE6.如果随机变量 服从 上的均匀分布，且 ，,ba3)(XE，则 = ， = .4)(D7.设随机变量 ， 相互独立，且都服从参数为 的 分布，则Y6.01= .XP8.设 ， 是两个随机变量， ， ， ，2)(XE20)(3)(YE， ，则 = .34)(2YE5.0XYYD答案：1. ， 2. 3. 4. ， 5. .0631414136. 1，
7、5 547. 0.52 8. 211.设 , 是两个随机事件， ， ，则 = .AB3.0)(AP)()(BAP)(2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为 0.8，0.7，0.6，则密码能译出的概率为 .3.设随机变量 的概率分布为 则X,543,21,5kXP-1 0 1P0.3 0.50.2= .312XP4.设随机变量 的分布函数为 ，则2,10,sin)(xxxF.6XP5.设随机变量 服从 上的均匀分布，则 的数学期望为 . 3,1 X6.设随机变量 相互独立，其概率分布分别为21,X则 = . 21XP7.设 ， 是两个随机变量， ， ， 与 相Y)3
8、,0(2NX)4,1(2YXY互独立，则 .8.设随机变量 相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，则21,X. )3(21D9.设随机变量 和 的相关系数为 ， ，Y5.0)(XE0Y)(2XE，则 = .)(2YE2)(X答案：1. 0.7 2. 0.976 3. 4. 0.5 315. 3ln211 2 21 2 3P 36. 7. 8. 9. 695)5,1(2N65二、有三个箱子，第一个箱子中有 3 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球. 现随机地选取一个箱子，再从这个箱子中任取 1 个球.（1）求取到的是白球的概率；（2）
9、若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率.解：设事件 表示该球取自第 个箱子 ，事件 表示取iAi)3,21(iB到白球.248536143)|()(31 i iiBP)(|)(| 241222 AA三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是 . 在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获20取利润 万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润 万1元；若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损 万元. 求该50厂一天可获取的平均利润.设随机变量 表示该厂一天所获的利润（万元） ，则 可能取XX，且5.0,12，512.0823XP，384.1C. 10.
10、 所以 （万元） 56.)50(384.52.0)(XE四、设随机向量 的密度函数为 . ),(Y其 它,010,4),( yxyxf求 ；)1(XP求 的边缘密度，并判断 与 的独立性.2, XY解：(1) ； 5.0)1(24),( 0210 dxxyddxyfYXPyx(2),0124),()(,),()(110 他他yxydyxfyf xffYX由 知随机变量 相互独立. ,)(ffxX YX,五、设随机变量 的密度函数为 ，求随机变量其 它,013)(2xxf的密度函数.12Y解法一： 的分布函数为Y)21(12)( yFyXPyPyYF XY， 两边对 求导，得y 他,03120)
11、1(83)2()1(2)( 2yyyyffXY解法二：因为 是 上单调连续函数，所以12xy0 其 它 即, 312)(0)21(3)(3|)|()( 2 yyhyydhfyfXY注： 为 的反函数。21)(yhx1x二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件，他们生产的零件数之比为 . 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为5:32. 现从三人生产的零件中任取一个. 求该零件是次品%,4 )1(的概率； 若已知该零件为次品，求它是由甲生产的概率.)(解：设事件 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产，事321,A件 表示取到的零件是次品.B(1) ； 028.%1540312)|()(31 i iiABP(2) . 328.)(|)(| 11三、设一袋中有 6 个球，分别编号 1，2，3，4，5，6. 现从中任取2 个球，用 表示取到的两个球的最大编号. 求随机变量 的概X)1(X率分布； 求 .)(E解： 可能取 ，且6,54326,5432,16kCkXP所以 的概率分布表为3/154/125/3且 . 462kEX四、设随机向量 的密度函数为 . ),(Y其 它,02,1),(yxyxf求 ；)1(1XP求 的边缘密度，并判断 与 的独立性.2, XY解：(1) ； 31),(1 102011 dxydxyxfYy(2)
