概率论与数理统计练习题附答案.doc

1、 练习题1、设随机变量 ，则 ；)6.0,1(bX2()XDE2、若随机变量 X 的分布未知，但 ,则 X 落在区间,内的概率必不小于_(,2)3、设 是未知参数 的一个估计量，满足条件 _(.)1n则称 的无偏估计。是4. 设 X,Y 为随机变量，且 D(X+Y)=7, D(X)=4, D(Y)=1，则相关系数 = XY5. 设随机变量 相互独立，且 都服从区间0，1 上的均匀分12, n(1,2)in布，则当 n 充分大时， 近似服从 （写出具体分布与参数）i16设 服从区域 上的均匀分布，其概率密度为：(,)XY22:GxyR，则 C=（ ） ；,0Cfxy其 它(A) ； (B) ；

2、(C) ； (D) 。2R21R217设 为相互独立的随机变量，且 （,.1Xn 2(,()EXDii） ， ，则 （ ）,2.i1XiD(A) (B) (C) (D) n2n28设一次试验中事件 A 不发生的概率为 p,独立重复 n 次试验，A 发生了 X 次则正确的是：（ ）(A) ； (B) ；21pXE()Ep(C) ； (D) 。 ()Dn2DX9设随机变量 和 不相关，则下列结论中正确的是（ ）XYA 与 独立； B. ；()DXYC ； D. .()D10. 任何一个连续型随机变量的概率密度 一定满足( )。xA、 B、在定义域内单调不减1)(0xC、 D、d1)(x11 袋中有

3、 m 个红球，n 个白球，任取 2 球，求（1）取得两个同色球的概率；（2）至少取得一个白色球的概率12 已知 的联合分布率为： (,)XY求：（1） 关于 的边缘分布律；（2） 的分布律及分布函数2Z()ZFz13 有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3、0.2、0.1、0.4。若他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为 ，而乘飞机来不迟到，试求：（1）这位朋友迟到的概率；（2）如果他迟到了，,43求他乘火车的概率。14 设 A, B 为随机事件,且 ,令21)(,31)(,41)( BAPBAP;,01不X .,0不Y求：(1) 二维离散型随机变量( X, Y)

4、的概率分布表；(2) X 和 Y 是否相互独立15 设随机变量 的概率密度为 且0(,)AxBxfy其 它求（ 1）A,B 的值；（2） ；（3） 的密度23EX()4PXsinZX16 设总体 ( 未知)有假设检验 及,N:010H1 2 3-1 0.2 0.1 00 0.1 0 0.31 0.1 0.1 0.1XY样本 （1）请指出所用统计量及其分布；（ 2）指出并推导拒绝域,.12Xn（显著水平为 ）17 某包装机包装物品重量服从正态分布 。现在随机抽取 个包装袋，算得平)4,(2N16均包装袋重为 ，样本均方差为 ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是90x2S否有变化？（ ） （ ）

5、5.48.27156.)1(20.2975.0 ）（， 18 已知（X，Y）的联合概率密度为：，34,(,)0其 它xyefxy试求：（1）X，Y 的边缘密度函数 （2）X,Y 是否相互独立（3） 2Y0,1XP19 设 为来自于总体 X 的一个样本， X 服从指数分布，概率密度为,.2Xn, 求参数 的矩法估计与最大似然估计。x0f(x,),e其 他 20 设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从正态分布 ，若2(,)N；求 X 和 Y 的函数 的相关系数 。,312ZXY1Z12z21 从某种电子元件中随机抽取 30 只，测得平均寿命（单位 h） ，样本标准50Xh差 S700h，设该种电子

6、元件的使用寿命服从正态分布 求 的置信度为(,)N95的置信区间（上侧分位数 ）(29)45.7,2916.0.22 证明 设连续型随机变量 的概率密度函数 是偶函数，其分布函数为X)(xf。证明对任意实数 ，有 。)(xFx1()F练习题1、设随机变量 ，则 0.16 ；)6.0,1(bX2()XDE2、若随机变量 X 的分布未知，但 ,则 X 落在区间,内的概率必不小于_3/4_ _（切比雪夫不等式）(,2)3、设 是未知参数 的一个估计量，满足条件(.)1n_ _，则称 的无偏估计。)E是4. 设 X,Y 为随机变量，且 D(X+Y)=7, D(X)=4, D(Y)=1，则相关系数 =

7、0.5 XY5. 设随机变量 相互独立，且 都服从区间0，1 上的均匀分12, n(1,2)in布，则当 n 充分大时， 近似服从 （写出具体分布i1,N与参数） （中心极限定理）6设 服从区域 上的均匀分布，其概率密度为：(,)XY22:GxyR，则 C=（ B ） ；,0Cfxy其 它(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。2R21R217设 为相互独立的随机变量，且 （,.1Xn 2(,()EXDii） ， ，则 （ A ）,2.i1XiD(A) (B) (C) (D) n2n28设一次试验中事件 A 不发生的概率为 p,独立重复 n 次试验，A 发生了 X 次。则正确的是：（ C

8、 ） （注： ）b(,1p)X(A) ； (B) ；21pXE()EXnp(C) ； (D) 。 ()Dn2D9设随机变量 和 不相关，则下列结论中正确的是（ B ）YA 与 独立； B. ；()YC ； D. .()XX10. 任何一个连续型随机变量的概率密度 一定满足( C )。)xA、 B、在定义域内单调不减1)(0xC、 D、d1)(x11 袋中有 m 个红球，n 个白球，任取 2 球，求（1）取得两个同色球的概率；（2）至少取得一个白色球的概率解：（1） （2）1nm2nC2nmC12 已知 的联合分布率为： (,)XY求：（1） 关于 的边缘分布律；（2） 的分布律及分布函数2Z(

9、)ZFz解：（1） X 1 2 3P 0.4 0.2 0.4(2)Z -9 -4 -1 0 1 4 9P 0 0.1 0.2 0.4 0.1 0.1 0.19x140.81.70x-3-4.)Z(F 1 2 3-1 0.2 0.1 00 0.1 0 0.31 0.1 0.1 0.1XY13 有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3、0.2、0.1、0.4。若他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为 ，而乘飞机来不迟到，试求：1,432（1）这位朋友迟到的概率；（2）如果他迟到了，求他乘火车的概率。解：令 表示 “朋友乘火车来 ”， 表示“朋友乘轮船来” ， 表示“朋友

10、乘汽车来” ，1A2A3A表示 “朋友乘飞机来 ”； 表示“朋友迟到” 。则（1）4 B2031.2.031.4kkPBP（2） 3.411BPAA14 设 A, B 为随机事件,且 ,令21)(,31)(,41)( BAPBA;,01不X .,0不Y求：(1) 二维离散型随机变量( X, Y)的概率分布表；(2) X 和 Y 是否相互独立解：（1） 由于 ， 12)()(ABPA,61)()BAP所以 ， )(1,YP，61)(0, BAPX,2)(1,ABP)(10,Y32)()(1ABP（或 ）32160,YXP故(X,Y)的联合概率分布为YX 1 01 12610 32(2) X, Y

11、 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1p43p65由于 P（X=1）P （Y=1 ）= ， P（X=1，Y=1 ）= 42 12P（X=1）P （Y=1 ） P（X=1，Y=1）故 X 与 Y 不相互独立15 设随机变量 的概率密度为 且0(,)AxBxfy其 它求（ 1）A,B 的值；（2） ；（3） 的密度23EX()4PXsinZX解：（1） 解得：03xd)BA( 0B2A（2） 214XP2（3） （分布函数法！）其 他0z1)z(f216 设总体 ( 未知)有假设检验 及,XN:010H样本 （1）请指出所用统计量及其分布；（ 2）指出并推导拒绝域,.12n（显著水平为 ）解：（

12、1） 其中0()ttSn1()nSXi（2）若 成立0H(1)tn则 （注意：此处拒绝域形式应该与备择假设形式一致！）()1Pt从而拒绝域为 ()(1)ttn17 某包装机包装物品重量服从正态分布 。现在随机抽取 个包装袋，算得平)4,(2N6均包装袋重为 ，样本均方差为 ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是90x2S否有变化？（ ） （ ）5.48.27156.)1(20.2975.0 ）（， 解： ： ， ：0H4H由于 ，22()= (1)nSn拒绝域为 ，2220.9750.25W或 =6或 7.48， ， 代入得 16n2S241.5由于 6.)15(87.297.0所以拒绝 ，即

13、认为其方差有变化。H18 已知（X，Y）的联合概率密度为：，34120,(,)其 它xyefxy试求：（1）X，Y 的边缘密度函数 （2）X,Y 是否相互独立（3） 2Y0,1XP解：（1） dyxffX),()(0,0-41其 它xyed,3其 它xefyfY),()(0,3-42其 它xy40,其 他y（2）因为 ，所以X与Y相互独立 . fyfxYX,(3) 213-43800X1,Y=（ 1-)(xyPede19 设 为来自于总体 X 的一个样本， X 服从指数分布，概率密度为,.2n, 求参数 的矩法估计与最大似然估计。x0f(x,),e其 他 解：（1）1.1 求出总体 X 的期望

14、为 01()xEed1.2 令 得，_()E_1解得 _X1.3 所以 的矩法估计为_1（2）2.1 写出似然函数 12 12(x,x,)(x,)(,)(x,),0,nii niLfffe 2.2 求最大值先取对数： 12 1ln(x,)ln,0,nn iiLx再由 121l(,)0,niidx得最大值点 ，也即最大似然估计 （最大值的验证可略）_1nix_x20 设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从正态分布 ，若2(,)N；求 X 和 Y 的函数 的相关系数 。,312ZXY1Z12z解： 1 )Y(3D),X(2Cov)(D,(Cov),(ov 因为 相互独立， Y,X0)Y,X(Cov21 D)(D)Z2 1)(9(3520)Z(,Cov12Z21 21 从某种电子元件中随机抽取 30 只，测得平均寿命（单位 h） ，样本标准250Xh差 S700h，设该种电子元件的使用寿命服从正态分布 求 的置信度为(,)N95的置信区间（上侧分位数 ）(29)45.7,916.0.解：2(1)2(1)nSn()()22P置信区间为11(,)(nSnS即29(,)(291即29700(,)45.6.22 证明 设连续型随机变量 的概率密度函数 是偶函数，其分布函数为X)(xf。证明对任意实数 ，有 。)(xFx1()F证明： 令 dtf()(tuxxtf)(