1、学而思 2012 年春季四年级超常 123 班难题汇总延续 2011 年秋季的传统，2012 年春季继续进行难题汇总和分析，和大家一起分享。声明：本文档只是收录了各讲有点难度的题目，并对难题进行解析、分级等，并未对各讲内容进行总结和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。第一讲 小数本讲是小数的入门，主要是小数的计算，难度不大，掌握一些常用方法即可。小数计算常用的方法有：(1)凑数、(2) 扩大再缩小、(3)提取公因数、 (4)平方和平方差公式、 (5)解方程、 (6)换元法。希望孩子领会各种方法的要领。作业看了一遍，没有太大难度。在此分析几道
2、张老师课堂上讲解的补充题目，会对大家有用途的。11、 【补充 1】计算：201222+40780+3256【难度级别】【解题思路】此题硬算也是可以算出来的，但是此题中包含了几个有特点的数据：2012、407，因为 2012 年 4 月 7 日学而思杯考试。另外，题目是由张老师出的。硬算：22132+32560+3256=57948=80080巧算：201222+40780+4078=201222+407(80+8)=201222+40788=88503+88407=88(503+407)=88910=(811)(71310)=(71113)810=1001810=80080【答案】80080。
3、12、 【补充 2】2012 年 12 月 21 日是电影玛雅人末日，20121221 这个数的数字和是 11，2012 年所有日期(日期用 8 位数字表示)中是 11 的倍数的有多少个？【难度级别】【解题思路】此题目有意思的地方是 2012 年 12 月 21 日这个日期，这个日期可以出不少题目，此题出自张老师，还可以问：数字之和为 11 的日期有多少个。2012xxxx11，商是 1829xxxx，余数是：1axx（19 月）或2bxx（1012 月） 。1 月2 月各 2 个，3 月9 月各 3 个，10 月11 月 3个，12 月 2 个，共 33 个。【答案】33 个。13、 【补充
4、 3】1 个两位数除以 6 余 3，如果十位数字和个位数字对换后的两位数仍然除以 6 余 3，则称这样的一对数为“学而思数” ，问“学而思数”共有多少对？【难度级别】【解题思路】第个关键点：此数是 3 的倍数。因为除以 6 余 3，所以能被 3整除。第 2 个关键点，此数不能是 2 的倍数。因为此数是 3 的倍数，如果又是2 的倍数，就一定是 6 的倍数，就不会除以 6 有余数了。不是 2 的倍数所以是奇数，2 个数位对换后也是奇数，所以这个两位数的数字都是奇数。第 3 个关键点，推导和计算：除以 6 余 3， 除以 6 也余 3，所以 + 是 6 的倍数。ab ba abba+ =6k，11
5、a+11b=6k，11(a+b)=6k，a+b 是 6 的倍数。abba所以 a+b=6 或 12 或 18。a+b=6， 15 与 51、33 与 33。a+b=12，39 与 93、57 与 75。a+b=18，99 与 99。共 5 对。【答案】5 对。14、 【补充 4】正 12 边形怎么画？如果正 12 边形的面积是 81，则图中阴影部分的面积是多少？【难度级别】【解题思路】因为今年是 2012 年，所以几何图形正 12 边形可能是一个考试的重点。给出一种画 12 边形的方法：先画一个正六边形，以每个边为正方形的边向外画正方形，将图形外侧的正方形顶点都连接起来，就是一个正 12 边形
6、。可以证明，图中的小三角形是等边三角形。求阴影部分的面积：正 12 边形=6 个+6 个+1 个正六边形，因 1 个正六边形=6 个，所以正 12 边形=6 个+12 个。而阴影部分=2 个+4 个，正好是正 12 边形的三分之一，所以阴影面积是：813=27。【答案】27。15、 【补充 5】某船往返甲乙两岸，共用 12 小时，前 6 小时比后 6 小时多走80 千米，顺水速度比逆水速度大 16 千米/小时，求甲乙两岸距离。【难度级别】【解题思路】流水行船、追及问题。前 6 小时比后 6 小时多走 80 千米，说明前 6 小时顺水走了全程并逆水忘回走了，如图中红线。后 6 个小时如图中蓝线。
7、图中红线和蓝线都是走了 6 个小时。红线重叠那部分：802=40(千米)。因红线回来的也是逆水，去掉这逆水行船的 40 千米，就都变成顺水行船了，蓝线也去掉 40 千米的逆水行船，此时红线和蓝线时间还是相同的，如图。404040根据追及问题，S 差 =40+4080，V 顺 -V 逆 =16，所以 T=8016=5(小时)。说明去掉的 40 千米用的时间就是：6-5=1(小时)，5 小时逆水行船的距离就是：540=200(千米)。全程：200+40+40=280(千米)。【答案】280 千米。第二讲 长度与角度综合对于刚刚接触几何的孩子们来讲，接受这些几何题目的知识点还需要一个过程，本讲的长度
8、和角度，还不算太难，需要孩子慢慢领会。但是讲义中的部分题目难度偏大，尤其例 6 和学案 4 严重超纲。21、 【学案 3】如图，正五边形 ABCDE，若CDF 为正三角形，试求BFE 的度数。【难度级别】【解题思路】正五边形的一个内角为：(5-2)1805=108。1=60，2=108-60=48。BC=CD=CF，3=(180-2)2=(180-48)2=66。由于正五边形左右是对称的，所以EFD=3=66。BFE = 360-1-3-EFD = 360-60-66-66= 168。【答案】168。22、 【例 4】已知一正多边形，其内角小于 160，且大于 150，试求出此ABC DEF1
9、23多边形可能是哪几种正多边形？【难度级别】【解题思路】根据内角和公式也可以求，稍微麻烦一点，此题可以根据多边形的外角和来求，因为多边形的外角和 360是不变的。“内角小于 160且大于 150”转换成“外角大于于 20且小于 30”。正 n 边形的一个外角=360n，36020=18，36030=12，所以12n18，n=13、14、15、16、17。【答案】13、14、15、16、17。23、 【作业 8】华罗庚爷爷说：数学是中国人民所擅长的学科。请小朋友求解九章算术中一个古老问题：“今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？”白话译文：如图，有圆柱形木棍直立地面，
10、高 20 尺，圆柱地面周长 3 尺。葛藤生于圆柱底部 A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的 B 点，则葛藤的长度是_。【难度级别】【解题思路】此题需要明白圆柱侧面的展开图，孩子不好理解。先让孩子明白，一个圆柱体的侧面展开图是一个长方形，圆柱的高是长方形的宽，圆柱的底面周长是长方形的长。题目是绕 7 周，我是按照 1 周计算的。1 周的展开图，高是 20/7，下边长是 3，斜边（葛藤长）的平方=(20/7) 2+32=841/49=(29/7)2，斜边=29/7。所以葛藤总长=(29/7)7=29(尺)。答案是按照圆柱体旋转 7 圈展开，形成如右图所示的直角三角形，斜边就是葛藤的展开痕迹
11、。斜边的平方=20 2+212=841，斜边=29，所以，葛藤总长就是 29 尺。【答案】29 尺。24、 【例 7】如图，点 P 在锐角AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 D，在 OA边上求作一点 C，使PCD 的周长最小。【难度级别】【解题思路】做 P 点关于 OA 的对称点E，在做 P 点关于 OB 的对称点 F，连接EF，EF 交 OA 于 C，EF 交 OB 于 D，点 C 和点 D 就是题目所要求作的点。PCD 的周长=PC+PD+CD=EC+FD+CD=EF。证明：假设 OA 上的点为 C，OB 上的点为 D，则PCD 的周长是： PC+ PD+ CD= EC+ FD+ CD
12、= EC+ CD+ DF，显然ABOPCDEF202120/73EC+ CD+ DF 是从 E 到 F 的 3 条线段，只有 3 条线段在一条直线上其和才最小，因为 E、F 两点间线段最短。【答案】见解题思路。25、 【作业 7】如图，A、B 两个电话机到电话线 l 的距离分别为 3 米和 5 米，CD=6 米。若由 l 上的一点分别向 A、B 连电话线，最短为_。【难度级别】【解题思路】与例 7 类似，利用镜面对称，而且多一步利用勾股定理求长度。先找 A 关于电话线 l 的对称点 A，连接 A和 B交于 l 与 F，FA+FB 即为所求。因 FA=FA，所以 FA+FB=FA+FB=AB。由
13、于A、B 之间线段最短，所以通过“连接 A和 B”找到了 F 点。画完图，孩子也不一定会求，即便告诉他们用勾股定理，他们可能还是找不到如何来用。事实上，将 DB 向左平移让 D 点与 C 点重合，这样就能看到 rtAEB，CE=DB=5，AC=AC=3，AE=3+5=8，EB=CD=6，所以 AB 2= AE 2+EB2=82+62=100，AB=10(米)。【答案】10 米。26、 【例 5】如图，对角线 BD 将矩形 ABCD 分割为两个三角形，AE 和 CF 分别是两个三角形上的高，长度都等于 6cm，EF 的长度为 5cm，求矩形 ABCD的面积。lBADCAADCBFE【难度级别】【
14、解题思路】根据给的已知条件，要想求面积，需要先求出对角线的长度，对角线BD 不好求，连接 AC 求对角线 AC 的长度。如图，以 AE、EF 为边向下做一个长方形，这是此题的难点。虚线构成的AGC是直角三角形。AGEF5cm，GCGF+FCAE+CF6+612cm，AC 25 2+122169，AC13cm，BD13cm。当然，也可以不做 AG、FG 这 2 条辅助线，由小直角三角形 OFC 来求对角线的长度，只是数有小数，计算复杂一点。OC2OF 2+CF22.5 2+6242.256.5 2，OC6.5(cm)，AC13cm。矩形 ABCD 面积BDAE2+BDCF213678(cm 2)
15、。【答案】78cm 2。27、 【例 8】如图，四边形 ABCD 中，AB30，AD48，BC14，CD40，又已知ABD+BDC90，求四边形 ABCD 的面积。【难度级别】【解题思路】此题从“ABD+BDC90”入手，这表示 2 个角的和是 90，所以需要把这样的 2 个角放到一起构成直角。如图，将CBD 左右翻转一下（形状不变） ，D 点到AB CDEFOGABCDEB 点处，B 点到 D 点处，C 翻转成为 E 点，这样ABD+BDC90变成了ABD+DBE90，所以ABE90。这样，四边形 ABCD 面积ABD面积+CBD 面积ABD 面积+EBD 面积ABE 面积+ADE 面积。A
16、BE 面积ABBE230402600。AB30，BECD40，AE 230 2+4022500，AE50。ADE 因为三边的长度已知（AD48，DEBC14，AE50） ，理论上面积是可求的，但是需要用到三角函数，此处三边有特殊性，可以构成直角三角形，所以问题简化了变成孩子们是可求的。此处，也是勾股定理的反向应用。因为：482+142250050 2，所以ADE 是直角。因此，ADE 面积ADDE248142336。四边形 ABCD 面积ABE 面积+ADE 面积600+336936。【答案】936。28、 【学案 4】如图，图中的四边形 ABCD中，AB=BC=CD，B=168，C=108，求D 是多少度？【难度级别】【解题思路】这道题的难点就在于不好想，在图形内部怎么做辅助线都得不到很好的思路，所以做了好长时间也没有做出来。感谢 e 度论坛的“chongbeibei”提供信息，答案摘自 “学而思讲义四年级第 14 讲长度与角度综合(竞赛班)”(http:/
