1、- 1 - 习 题 12 1 一刚度系数为 k 的弹簧，放在倾角为 的 斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为 m 的物块 A相连，图 12-23 所示为其平衡位置。如使重物 A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离 s，不计摩擦力，试求作用于重物 A 上所有力的功的总和。 图 12-23 )(2s in 2st2st sksmgW 2st 2s in skskmg s 22sk 12 2 如图 12-24 所示，在半径为 r 的卷筒上，作用一力偶矩 M=a +b 2，其中 为转角， a 和 b 为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物 B。设重物 B 的质量为 m，它与水平面之间的滑动摩擦因数为 。不
2、计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。 图 12-24 32240 3648d)+ (d babaMW M m grrmgW F 44 )3166(3443648 232 m g rbam g rbaW 12 3 均质杆 OA 长 l，质量为 m，绕着球形铰链 O 的铅垂轴以匀角速度 转动，如图 12-25 所示。如杆与铅垂轴的夹角为 ，- 2 - 试求杆的动能。 图 12-25 xxlmxxlmvmE d)s i n2()s i n)(d(21)(d21d 2222k 2220 222k s in61d)s in2( mlxxlmE l 12 4 质量为 m1 的滑
3、块 A 沿水平面以速度 v 移动，质量为m2的物块 B沿滑块 A 以相对速度 u 滑下，如图 12-26所示。试求系统的动能。 图 12-26 )30s in()30c o s(2121 22221k uvumvmE )30c o s2(2121 22221 uvvumvm)3(2121 22221 uvvumvm 12 5 如图 12-27 所示，滑块 A质量为 m1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆 AB，杆 AB 长为 l，质量为 m2。当 AB 杆与铅垂线的夹角为 时，滑块 A的速度为 Av ，杆 AB 的角速度为 。试求在该瞬时系统的动能。 图 12-27 ABA EEE kkk 2
4、2222221 )121(21)s i n2()c o s2(2121 lmllvmvm AA )121c o s41(2121 22222221 llvlvmvm AAA )c o s31(2121 222221 AAA lvlvmvm 12 6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规- 3 - 尺都是均质细杆，其质量分别为 m1和 2m1，且 OC=AC=BC=l，如图12-28 所示。滑块 A 和 B 的质量都等于 m2。如作用在曲柄上的力偶矩为 M，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。 图 12-28 lvC AB c os2c os2 llv ABA sin2lvB BAABOC E
5、EEEE kkkkk )(21)2)(2(12121)2(21)31(21 22222121221 BAC vvmlmvmlm 222221221221 4213161 lmlmlmlm 2221 2 43 lmm MW 动能定理 Mlmm 2221 2 43 221 )43( lmm M12 7 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄 OA 上作用有一力偶矩为 M 的常力偶，如图 12-29 所示。若初始瞬时系统处于静止，且 AOB= 2 ，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为 m1，长为 r 且为均质细杆；导杆质量为 m2；导杆与滑道间的摩擦力可认为等于常值 F，不计滑块 A 的质量
6、。 图 12-29 01k E 2221222212k )3(61)(2161 rmmrmrmE FrMW 42 动能定理 - 4 - )2(2)3(61 2221 FrMrmm 21221 3)2( 32)3( )2( 12 mm FrMrrmm FrM 12 8 半径为 R 质量为 m1的均质圆盘 A 放在水平面上，如图 12-30 所示。绳子的一端系在圆盘中心 A，另一端绕过均质滑轮 C 后挂有重物 B。已知滑轮 C 的半径为 r，质量为 m2；重物 B质量为 m3。绳子不可伸长，不计质量。圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。系统从静止开始运动，试求重物 B下落的距离为 h时，圆盘中心的速度和加
7、速度。 图 12-30 01k E 23222212k 21)(21(2143 vmrvrmvmE 2321 )23(41 vmmm ghmW 3 动能定理 ghmvmmm 32321 )23(41 3213 23 4 mmm ghmv 3213 23 2 mmm gma 12 9 图 12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为 ，在链轮 B 上作用一力偶矩为 M的力偶，传运机从静止开始运动。已知被提升重物 A 的质量为 m1，链轮 B、 C 的半径均 为 r，质量均- 5 - 为 m2，且可看成均质圆柱。试求传运机链条的速度，以其位移 s表示。不计链条的质量。 图 12-31 01k E
8、 2)(21(2121 222212k rvrmvmE 221 )(21 vmm rsgrmMgrmMW )s in(s in 11 动能定理 rsgrmMvmm )s in()(211221 )( )s in(2 21 1 mmr sgrmMv )( sin211 mmr grmMa 12 10 如图 12-32 所示，质量为 m1的直杆 AB 可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为 m2、倾角为 的光滑的楔块 C 上，楔块又放在光滑的水平面上。由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。 图 12-32 tanCAB vv 01k E 22212k 2
9、121 CAB vmvmE 22221 21tan21 CC vmvm 2221 )tan(21 Cvmm tan1gsmW 动能定理 - 6 - ta n)ta n(21 12221 gsmvmm C 2211tan tan mm gmaC 22121ta n ta nta n mm gmaaCAB 12 11 如图 12-33 所示，均质细杆长为 l，质量为 m1，上端B 靠在光滑的墙下，下端 A 用铰链与圆柱的中心相连。圆柱质量为 m2，半径为 R，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动。如杆与水平线的夹角 =45，不计滚动摩擦，试求A 点在初瞬时的加速度。 图 12-33
10、分析任意位置 01k E sinl vAAB sin22 AABC vlv 22121222k )s in)(121(21)s in2(2143 l vlmvmvmE AAA 22122 sin643 AA vmvm 2212 )9s in2(121 Avmm )s in45(s in21 glmW 动能定理 )s in45( s in2)9s in2(121 12212 glmvmm A 对时间求导，注意 AB c o s2)s i nc o s2(612)9s i n 2(121 1321212 glmvmavmm AAA c o ss i n2)s i ns i nc o s2(61)9
11、s i n 2(61 1321212 l vglml vvmavmm AAAAA c o t2)s inc o s(31)9s in 2(61 1421212 gmlvmamm AA 初瞬时 ( 45 )， vA=0 - 7 - 故 2)94(61 121 gmamm A 21194 3 mm gmaA 12 12 如图 12-34 所示，绳索的一端 E固定，绕过动滑轮D 与定滑轮 C后，另一端与重物 B 连接。已知重物 A 和 B的质量均为 m1；滑轮 C和 D 的质量均为 m2， 且均为均质圆盘，重物 B 与水平面间的动摩擦因数为 。如重物 A 开始时向下的速度为 v0，试求重物 A 下落
12、多大距离时，其速度将增加一倍？ 图 12-34 20120222022011k )2(21)2)(21(214321 vmrvrmvmvmE 2021 4 710 vmm 1k2k 4EE ghmmhgmghmghmW )21(2 21121 动能定理 ghmmE )21(3 211k ghmmvmm )21(4 )710(3 212021 )21(4 )710(3 21 2120 mmg mmvh 12 13 如图 12-35所示，均质直杆 AB重 100N，长 AB=200mm，两端分别用铰链与滑块 A、 B连接，滑块 A与一刚度系数为 k=2N/mm的弹簧相连，杆与水平线的夹角为 ，当
13、=0o时弹簧为原长。摩擦与滑块 A、 B 的质量均不计。试求：（ 1）杆自 =0处无初速地- 8 - 释放时，弹簧的最大伸长量。（ 2）杆在 =60处无初速地释放时，在 =30时杆的角速度。 图 12-35 (1) 01k E 02k E )0(22 2m a xm a x kGW 动能定理 022 2m axm ax kGmm5021 0 0m ax kG(2) 01k E 2lvC222222k 61)121(2121 mlmlmvE C )30s i n()60s i n(2)30c o s60( c o s2 22 llklmgW 244 31 lkmgl 动能定理 222 44 31
14、61 lkm g lml mkl g 464 )31(6 )31(23 mgkllg )100200231(2.02 8.93 ra d /s50.1519.2 4 0 12 14 在图 12-36 所示的系统中，物块 M 和滑轮 A、 B 的- 9 - 质量均为 m，且滑轮可视为均质圆盘，弹簧的刚度系数为 k，不计轴承摩擦，绳与轮之间无滑动。当物块 M 离地面的距离为 h 时，系统处于平衡。现在给物块 M以向下的初速度 v0，使它恰能到达地面，试求物块 M 的初速度 v0。 图 12-36 20202201k )2(43)(21(2121 vmrvmrmvE 201615mv02k E )2
15、(22 2st2st hkhmgm g hW 8)2(2 22 khhk 动能定理 816150 220 khmv mkhv 1520 12 15 两均质直 杆，长均为 l，质量均为 m，在 B 处用铰链连接，并可在图 12-37 所示的铅垂平面内运动， AB 杆上作用有一力偶矩为 M的常力偶。如在图示位置从静止释放，试求当 A 端碰到支座 O 时， A 端的速度 vA。 图 12-37 01k E 杆 AB 任意 时 2s in)290c os (s in BBA vvv cos2 AB vv 当 0 时 2AB vv OBABAB lvlv 2AC vv 43222222k )2(61)2
16、)(121(21)43(21 lvmllvmlvmE AAA - 10 - 231 Amv2)c o s1(2 lmgMW )c o s1( mg lM 动能定理 )c o s1(31 2 mg lMmv A )c o s1(3 glmMv A12 16 质点在变力 kjiF 1 2 01 0 )( 1 8 060 2 tt 的作 用下沿空间曲线运动，其矢径 kjir 2243 128)(3)(2 ttttt ，试求力 F 的功率。 kjirv tttt 42)2( 1 2)1(6 32 tttttttP 288020120360216060360 3353 vF ttt 2 9 6 01 2 02 1 6 0 35 12 17 如图 12-38 所示，汽车上装有一可翻转的车箱，内装有 5m3的砂石，砂石的密度为 2296kg/m3。车箱装砂石后重心 C与翻转轴 A 之水平距离为 1m，铅垂距离为 0.7m。若使车箱绕 A轴翻转的角速度为 0.06rad/s，试求当砂石倾倒时所需要的最大功率。 图 12-38 重力与 A 轴的最大距离为 m1h kW75.6W675006.018.952296 V ghm ghP 12 18 一载重汽车总重 100kN，在水平路面上直线行驶时，空气阻力 FR=0.001v2（ v 以 m/s 计， FR以 kN 计），其它阻力相当于
