1、第 1 页 共 20 页 第 12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场 zxyzxyu 的梯度为 A ，则 A = ， A 0 。 2. 已知矢量场 xzexyezyeA zyx 4)( 2 ，则在 M（ 1， 1， 1）处 A 9 。 3. 亥姆霍兹定 理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为 A ），则必须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量 D 、 E 、 B 、 H 、 J 所满足的方程（结构方程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面 A的电场强度为 E 、磁场强度为 B
2、，则 （ a） E 、 B 皆与 A垂直。 （ b） E 与 A垂直， B 与 A平行。 （ c） E 与 A平行， B 与 A垂直。 （ d） E 、 B 皆与 A平行。 答案： b 7. 设自由真空区域电场强度 ( V /m ) )s in ( 0 ztEeE y ，其中 0E 、 、 为常数。则空 间位移电流密度 dJ （ A/m2）为： （ a） )cos( 0 ztEe y （ b） )c o s ( 0 ztEe y （ c） )c o s ( 00 ztEe y （ d） )c o s ( 0 ztEe y 答案：c 8. 已 知 无 限 大 空 间 的 相 对 介 电 常 数
3、为 4r ， 电 场 强 度)()()( yxezxezye zyx AAEJHBED , ,tqSdJS tJ 第 2 页 共 20 页 (V /m ) 2c o s 0 dxeE x ，其中 0 、 d 为常数。则 dx 处电荷体密度 为： （ a）d04（ b）d 004 （ c）d02（ d）d 002 答案：d 9. 已知半径为 R0球面内外为真空，电场强度分布为 )R( )s inc o s2()R( )s inc o s(20300reerBreeRErr 求（ 1）常数 B；（ 2）球面上的面电荷密度；（ 3）球面内外的体电荷密度。 Sol. (1) 球面上 由边界条件 tt
4、EE 21 得： s ins in2300 RBR202RB （ 2）由边界条件 snn DD 21 得： c o s6)()(00210210 REEEE rrnns （ 3）由 D 得： )R( 0 )R( 0)s i n(s i n1)(10002200 rrErrErrE r 即空间电荷只分布在球面上。 10. 已知半径为 R0、磁导率为 的球体，其内外磁场强度分布为 )R( )s inc o s2(A)R( )s inc o s(2030reerreeHrr 且球外为真空。求（ 1）常数 A；（ 2）球面上的面电流密度 JS 大小 。 第 3 页 共 20 页 Sol. 球面上（ r
5、=R0）： r H 为法向分量； H 为法向分量 （ 1）球面上由边界条件 nn BB 21 得： rr HH 201 300 RA （ 2）球面上由边界条件 stt JHH 21 得 s in)2(|)( 021 0Rrs HHJ第 4 页 共 20 页 第 3 章 静电场及其边值问题的解法 1. 静电场中电位 与电场强度 E 的关系为 ；在两种不同的电介质（介电常数分别为 1 和 2 ）的分界面上，电位满足的边界条件为 。 2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为 ，则静电场： E 0 ， E = 。 3. 电位 和电场强度 E 满足的泊松方程分别为 、 。 4. 介电常数为 的线性、各向同
6、性的媒质中的静电场储能密度为 。 5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。 6. 如图， 1E 、 2E 分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度， 30，则 60， | 21 EE 。 7. 理想导体与电介质的界面上，表面 自由电荷面密度 s 与电位沿其法向的方向导数 n 的关系为 。 8. 如图，两块位于 x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别为0、 U0，其内部充满体密度121E2E12Enn 221121 ；2 E2 2E 21mw3sn 01 02 Uo xd第 5 页 共 20 页 e x d ) 的电荷（设内部介电
7、常数为 ）。（ 1）利用直接积分法计算 0 a各点的电位分布。 第 6 页 共 20 页 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于： 无限大接地导体平面 + 接地导体球 边界条件： 0 球面平面 使 0平面 ，引入镜像电荷： 0, qqdz 使 0球面 ，引入镜像电荷： 022220121|,|,qdaqzaqdazazqdaqdazz 轴上 z a各点的电位： dz qzz qzz qdz q221100 |41 dzadz adzq 12| 14422300 11. 已知接地导体球半径为 R0 ，在 x轴上关于原点（球心）对称 放置等量异号电荷 +q、 -q ，位置如图所示。
8、利用镜像法求（ 1）镜像电荷的位置及电量大小；（ 2）球外空间电位；（ 3） x轴上 x2R0各点的电场强度。 Sol. (1) 引入两个镜像电荷： 22 001 qqRRq ，22 00201 RRRx z d x 0q0l oaz q2z1z 1q2qo qqx0R0R0R1q1x2x2q第 7 页 共 20 页 2)(2 002 qqRRq ，22 00202 RRRx （ 2） RqRqRqRqzyx2211041),( （略） 2220 )2( zyRxR ， 22201 )2/( zyRxR 22202 )2/( zyRxR ， 2220 )2( zyRxR （ 3） x轴上 x2
9、R0各点的电场强度： 20202020 )2()2/( 2/)2/( 2/)2( Rx qRx qRx qRx qeE x 12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷 q，求（ 1）各镜像电荷的位置及电量；（ 2）两块导体间的电位分布。 Sol. （ 1） 01 qq ， )0 ,0 ,( a 02 qq ， )0 , ,0( a 03 qq ， )0 ,0 ,(a （ 2） 33221100041),( RqRqRqRqzyx 其中： 2220 )( zayxR ， 2221 )( zyaxR 2222 )( zayxR ， 2223 )( zyaxR y
10、 x0q 45 0, ,0Pa 45 1q2q3q)0 ,0( a)0 ,0 ,( a )0 ,0 ,(a第 8 页 共 20 页 121H2H12第 4 章 恒定电场与 恒定磁场 1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布在该导电媒质的 表面 上。 2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中， J 0 ； D 0 。 3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度 E 和电流密度 J 的边界条件为： 、 。 4. 在电导率为 的导电媒质中，功率损耗密度 pc与电场强度大小E 的关系为 。 5. 恒定磁场的矢量磁位 A 与磁感应强度 B 的关系为 ； A所满足的泊松
11、方程为 。 6. 如图， 1H 、 2H 分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度，213 ， 1 30 ， 则 2 、12BB分别为： 答案： B （ A） 60 、 3 。 （ B） 60 、 33 。 （ C） 45 、 3 。 （ D） 45 、 33 。 7. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为 ），恒定磁场（磁场强度大小为 H ）的磁能密度 mw ， V 空间磁能Wm = 。 8. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为： Cx y zexyeyxeA zyx 22 ， Ctt EE 21 nn JJ 21 2Epc AB JA 2221 H dVHV 221第 9 页 共 20 页 为
12、常数，且 A 满足库仑规范。求（ 1）常数 C ；（ 2）电流密度 J ；（ 3）磁感应强度 B 。 （直角坐标系中： )()()(yaxaexazaezayaea xyzzxyyzx ） Sol. (1) 库 仑 规 范 ：0A 4022 CC x yxyxyzAyAxA zyx (2) 由 JA 2 ， x y zexyeyxeA zyx 4 22 得： xeyez Ay Ax AAJ yx 2211 2222222 (3) AB )(44 22 xyeyzexze zyx 9. (P.136. 习题 4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（ 11,和 22,），其厚度分
13、别为 1d 和 2d 。若在两极板上加上恒定的电压 0U 。试求板间的电位 、电场强度 E 、电流密度 J 以及各分界面上的自由电荷密度。 Sol. 用静电比拟法计算。用电介质（ 和 ）替代导电媒质，静电场场强分别设为 E1、 E2 22112102211 EEDD UdEdE )( )(0 21211201212112021dxddd UeEdxdd UeExx电位移：21120211121 dd UeEDD x )( )()()(0 )(2021121121121112112021dxdUdd dxdxEdEdxxdd UxEx1第 10 页 共 20 页 静电比拟： ， DJEE ，则导电媒质中的恒定电场： )( )()(0 2021121121212112021dxdUdd dxdxxdd U1， )( )0( )(22112011211202dxddd Uedxdd UexE1xx2112021 dd UeJ x 211202111110 dd Uxnxs 21120122222 )(21 ddUxnddxs 21120122122112211 )(111 ddUxxnndxdxdxs 可知：非理想电容器两极上的电荷密度为 非等量 异号210 ddxsxs 。只有理想电容器才有电容定义。
