理论力学期末复习题.doc

1、 1 理论力学基础期末复习题 一、填空题 1. 在介质中上抛一质量为 m 的小球，已知小球所受阻力 vkR ，若选择坐标轴 x 铅直向上，则小球的运动微分方程为 _。 2. 质点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？ 0ta ， 0na（答）： ； 0ta ， 0na （答）： ； 0ta ， 0na（答）： ； 0ta ， 0na （答）： 。 3. 质量为 kg10 的质点，受水平力 F 的作用， 在光滑水平面上运动，设 tF 43 （ t以 s 计， F 以 N 计），初瞬间（ 0t ）质点位于坐标原点，且其初速度为零。则 st 3 时，质点的位移等于 _，速度等于 _。 4. 在平

2、面极 坐标系中，质点的径向加速度为 _；横向加速度为 _。 5. 哈密顿正则方程用泊松括号表示为 ， 。 6. 质量 kgm 2 的重物 M ，挂在长 ml 5.0 的细绳下端，重物受到水平冲击 后获得 了速度 10 5 smv ，则此时 绳子的拉 力等于 。 7. 平面自然坐标系中的切向加速度为 ，法向加速度为 。 8. 如果 VF ，则力所作的功与 无关，只与 的位置有关。 9. 在南半球地面附近自南向北的气流有朝 的偏向；而北半球的河流 岸冲刷较为严重。 10. 已知力的表达式为 axyFx ， 2azFy ， 2axFz 。 则该力做功与路径 _ （填“有关”或“无关”），该力 _ 保

3、守力（填“是”或“不是”）。 11. 一质量组由质量分别为 0m 、 2 0m 、 3 0m 的三个质点组成，某时刻它们的位矢和速度分别为 jir 1 、 iv 21 、 kjr 2 、 iv 2 、 kr 3 、kjiv 3 。 则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等于 ，相对于坐标原点的动量矩等于 _ 。 12. 一光滑水平直管中有一质量为 m 的小球，直管以恒定角速度 绕通过管子一端的竖直轴转动，若某一时刻，小球到达距 O 点的距离为 a 的 P 点，取 x 轴沿管， y 轴竖直向上，并垂直于管， z 轴水平向前，并于管面垂直，如图所示，此时小球相对于管子的速度为 vO x y z P v

4、 m a 2 ，则惯性离心力大小为 ，方向为 ，科里奥利力大小为 ，方向为 。 13. 边长为 a 的正方形，某瞬时以角速度 在自身平面内转动，顶点 A 的速度为 v ，由 A 指向相邻顶点 B，则 B 点此时的速度大小等于 。 14. 已知力的表达式为 5432 zyxF x ， 8 xzFy ， 12 zyxFz ，则该力做功与路径 _ （填“有关”或“无关 ”），该力 _ 保守力（填“是”或“不是”）。 15. 图示矩形板 ABCD 以角速度 绕 z 轴转动，动点 M1 沿对角线 BD 以速度 1v 相对于板运动， 动点 M2 沿 CD 边以速度 2v 相对于板运动。 若取动系与矩形板固

5、连，则动点 M1 和 M2 的科氏加速度 1a 、 1a的大小分别为 ， 。 16. 作用在刚体上任意力系可以简化为作用在某指定点 P 的一个力 F 及一个力偶矩为 M 的力偶， F 叫主矢，等于 ， M 叫 ，等于诸力在原位置对 P 点的力矩之和， P 点称为 。 17. 动点由静止开始作平面曲线运动，设每一瞬时的切向加速度 22 stma ，法向加速度 2431 smtan，则该动点的运动轨迹为 。 18. 如图 1-1 所示平面机构， AB 杆的 A 端靠在铅直墙面上，B 端铰接在滑块上，滑块沿水平面向右运动。若选 AB 杆的端点A 为动点，动系固连于滑块，定系固连于地面，则动点的相对运

6、动为 ，绝对运动为 ，牵连运动为 。 19. 长 ml 2 的 AB 杆作平面运动，在某瞬时 B 点的速度大小 14 smvB ，方向如图 1-2 所示，则在该瞬时 A 点可能有的速度最小值 minv ，此时杆的角速度 。 20. 一圆轮在水平面上作纯滚动，轮心 O 的速度 10 3 smv ，方向水平向右，直角形杆 OAB 轮心 O 铰接，在如图 1-3 所示位置时其 OA 段铅直， AB 段水平，它转动的角速C y A D B M1 1v 2v 060 Bv A B 图 1-2 图 1-1 v B A 3 度 14 srad ，该杆 B 端焊上一重 NW 8 的钢球。 己知 OA=30cm

7、 AB=40cm，此时钢球 B 的动量大小 p _。 21长 2a，重 P 的均匀杆，其上端 A 靠在光滑的墙上，下端则联一不能伸长的线 BC，线的上端固结于墙上 C 点， C与 A 在同一垂直线上，设杆与墙所成之角为 ，线与墙所成之角度为 ，如图 1-4 所示，则平衡时墙给杆的反作用力N _。 22. 物块 A 和 B 的质量分别为 mA 和 mB，两物块间用一不计质量的弹簧连接，物块 B 保持静止在水平面上，设 A 在铅直方向的运动规律为 tyy sin0 （ 其中 ,0y 为常量），则在物块 A运动过程中 ,水平面所受压力的大小 N _ .(坐标原点取在弹簧自然长度处， ,正方向竖直向上

8、 ) 23. 质点的质量是 kg1 ，它运动时 的速度 kjiv 323 ，质点的动能为 ，当质点以上述速度运动到 )321( ， 点时，它对 z 轴的动量矩是_。 24. 雨点开始自由下落时的质量为 M ，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为 ，略去空气阻力，写出该变质量系统的动力学方 程 。 25. 作用于刚体的任意力系最终可 简化为 _。 26. 刚体做 运动时，刚体内任一点的线速度可写为 r 。 27. 在转动参照系中，科氏力等于零的条件是 _。 28. 质量为 m 的质点作平抛运动，试写出其拉氏函数 其中循环坐标为 物理意义是 。 29. 质点系内力功等于零的条件是 。

9、30. 力学体系中的广义坐标 是 指 。 31. 如图圆盘以角速度 绕定轴 O 逆时针转动，动点 M 以匀速度 v 沿圆盘直径运动，当动点 M 到达圆盘是中心 O 点时，其所受科氏力大小和方向为 。 32. 由于地球自转的影响，北半球地面附近的贸易风是 ，南半球的贸易风是 。 图 1-3 B A 0v O 图 3-4 B A P C 4 答案： 1. dtdxkmgxm 。 2.（ 1）匀速直线； （ 2）变速直线； （ 3）匀速曲线； （ 4）变速曲线 3. m15.3 ； 17.2 sm 。 4. 2 rrar ； )(12 2 rdtdrrra 。 5. , Hpp , , Hqq ),

10、2,1( s 。 6. 119.6N。 7. 2; vadtdva n 。 8. 路径； 始末位置。 9. 西； 右。 10. 有关；不是。 11. kmjmim 000 337 ； kmjmim 000 253 。 12. am2 ； x 轴正向； vm2 ； z 轴正向。 13. 222 av 。 14. 有关； 不是。 15. sin2 1v ； 0 。 16. 力系中所有力的矢量和；主矩； 简化中心。 17. 半径为 3m 的圆周。 18. 为以 B 点为圆心，以 AB 长为半径的圆周运动；为沿墙面向下的直线运动；为向右的平动。 19. 12 sm ； 13 srad 。 20. 16

11、7.3 smkg 。 21. 1112 tgtgp 。 22. tymgmm ABA s in20 。 23. J8 ； 124 smkg 。 24. ( ) ( )d M t v M t gdt 。 25. 过基点的一个主矢和一个主矩。 26. 定轴转动和定点转动。 27. 0 或 0v 或 与 v 共 线。 28. 2211 ;22m x m y m g y x； 水平方向上动量守恒。 29. 相对位移为零。 30. 能够独立描述力学体系位置的独立变量。 31. 2Mv ； 向右。 32. 东北贸易风；东南贸易风。 二、选择题 1. 已知某点的运动方程为 2btaS （ S 以米计 ,t

12、以秒计， a 、 b 为常数），则点的轨迹为（ ）。 A、是直线； B、是曲线； C、不能确定； D、抛物线。 2. 在图 2-1 所示圆锥摆中，球 M 的质量为 m ，绳长 l ，若 角保持不变，则小球的法向加速度为（ ）。 图 2-1 5 A、 sing ； B、 cosg ； C、 tang ； D、 tangc 。 3. 求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来（ ）。 A、分析力的变化规律； B、建立质点运动微分方程； C、确定积分常数； D、分离积分变量。 4. 如图 2-2 所示距地面 H 的质点 M ，具有水平初速度0v ，则该质点落地时的水平距离 l 与（ ）成正比。 A、

13、 H ； B、 H ； C、 2H ； D、 3H 。 5. 一质量为 m 的小球和地面碰撞，开始瞬时的速度为 1v ，碰撞结束瞬时的速度为 2v （如图 2-3），若vvv 21 ，则碰撞前后质点动量的变化值为（ ）。 A、 mv ； B、 mv2 ； C、 mv3 ； D、 0。 6. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量（ ）。 A、平行； B、垂直； C、夹角随 时间变化； D、不能确定。 7. 三棱柱重 P ，放在光滑的水平面上，重 Q 的匀质圆柱体静止释放后沿斜面作纯滚动，则系统在运动过程中（ ）。 A、 沿水平方向动量守恒，机械能守恒； B、 动量守恒，机

14、械能守恒； C、沿水平方向动量守恒，机械能不守恒； D、均不守恒。 8. 动点 M 沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（ ）。 A、若始终有 av ，则必有 v 的大小等于常量； B、 若始终有 av ，则点 M 必作匀速圆周运动； C、若某瞬时有 v a ，则点 M 的轨迹必为直线； D、若某瞬时有 a 的大小为零，且点 M 作曲线运动，则此时速度必等于零。 9. 某瞬时，平面运动刚体的绝对角速度和角加速度分别为 和 ，相对某基点 A 转动角速度和角加速度分别为 A 和 A ，相对基点 B 转动角速度和角加速度分别为 B 和 B ，则应有（ ）。 A、 BA ， BA ； B、 B

15、A ， BA ； C、 BA ， BA ； D、 BA ， BA 。 10. 刚体绕同平面内任意二根轴转动的合成运动（ ）。 A、一定是平面运动； B、一定是平动； C、一定是定轴转动； D、是绕瞬轴的转动。 图 2-2 图 2-3 6 11. 匀质杆 AB 重 G，其 A 端置于光滑水平面上， B 端用绳悬挂，如图 2-4 所示，取坐标系 O-xy，此时该杆质心 C 的 x 坐标 0cx ，若将绳剪断，则（ ）。 A、杆倒向地面的过程中，其质心 C 运动的轨迹为圆弧； B、杆倒至地面后 , 0cx ； C、杆倒至地面后 , 0cx ； D、杆倒至地面后 , 0cx 。 12. 如图所示平面机

16、构， CD 连线铅直，杆 BC=BD，在如图 2-5 所示瞬时，角 030 ，杆 AB 水平，则该瞬时点 A 和点 C的虚位移大小之间的关系为 （ ）。 A、CA rr 23； B、 CA rr 3 ； C、CA rr 23； D、CA rr 21。 13. 匀质圆盘半径为 r ，质量为 m ，在半径为 R 的固定圆柱面内纯滚动 ,如图 2-6 所示 ,则圆盘的动能为（ ）。 A、 2A2mr43 T； B、 22mR43 T ； C、 22r)-m(R21 T ； D、 22r-Rm43 T 。 14. 一匀质杆 OA与匀质圆盘在圆盘中心 A 处铰接，在如图 2-7 示位置时， OA杆绕固定

17、轴 O 转动的角速度为 ，圆盘相对于杆 OA的角速度为 ，设 OA杆与圆盘的质量均为 m , 圆盘的半径为 R ，杆长 RL 3 ，则此时该系统对固定轴 O 的动量矩大小为（ ）。 A、 20 22mRJ B、 20 5.12 mRJ C、 20 13mRJ D、 20 12mRJ 解：利用质点系对某一固定点 O 的动量矩，等于其质心的动量对该点的矩与质点系相对于质心的动量矩之矢量和，即 ccc JvmrJ 0 ，求圆盘对 O 的动量矩，为 图 2-4 O A C B y C 图 2-5 O B A D r A AO R 图 2-6 A O 图 2-7 7 )2(21)3( 222 mRRmJ

18、 o 注明： 质点系相对于质心的动量矩也要用绝对速度来计算。 而 21 )3(31 RmJo ，又因 1oJ 与 2oJ 方向相同，则 221 13 mRJJJ ooo 15. 某瞬时，刚体上任意两点 A、 B的速度分别为 Av 、 Bv ，则下述结论正确的是 （ ） A、 当 BA vv 时，刚体必作平动 ； B、 当刚体作平动时，必有 BA vv ，但 Av 与 Av 的方向可能不同； C、 当刚体作平动时，必有 BA vv ； D、 当刚体作平动时， Av 与 Av 的方向必然相同，但可能 BA vv 。 答案： 1.C； 2.C； 3.C； 4.B； 5.A； 6.B； 7.A； 8.

19、A； 9.B； 10.D； 11.C； 12.C； 13.D； 14.C； 15.C。 三、是非题 1. 只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬间的运动状态就完全确定了。（ ） 2. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。（ ） 3. 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是所受力的方向。（ ） 4. 同一运动的质点，在不同的惯性参考系中运动，其运动的初始条件是不同。（ ） 5. 在自然 坐标系中，如果速度 =常数，则加速度 =0。（ ） 6刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。（ ） 7

20、若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。（ ） 8. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。（ ） 9作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（ ） 10三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（ ） 11. 作平面运动刚体的动能等于它随基点平动的动能和绕基点转动动能之和。 ( ) 12. 如果某质点系的动能很大，则该质点系的动量也很大。（ ） 13. 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。（ ） 14. 在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置

21、，这种刚体的运动就是平动。（ ） 15. 质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩。（ ） 8 16. 牵连运动是指动系上在该瞬时与动点重合的点对于定系的运动。（ ） 17. 刚体处于瞬时平动状态时，刚体的角速度和角加速度在该瞬时都等于零。（ ） 18. 如果作用于质点系上的外力对固定点 O 的主矩不为零，那么质点系的动量矩一定不守恒。（ ） 19. 不论刚体作何种运动，其惯性力系向任一点简化的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向，即 cQ amR 。（ ） 20. 因为构成力偶的两个力满足 FF ，所以力偶的合力等于零。（ ） 21. 因为实位移和虚位移都是约束所许可的无限

22、小位移，所以实位移必定总是诸虚位移中的一个。（ ） 22. 广义坐标不能在动参考系中 选取。（ ） 23. 任何其它的动力学方程都可由动力学普遍方程推导出来。（ ） 24. 力 kzyxjzyxizyxF )12222()224()242( 是保守力。 （ ） 25. 对于平动参考系，绝对速度一定大于相对速度。 （ ） 26. 在基本形式的拉格郎日方程中，广义力既包含主动力也包含约束力。 （ ） 27. 质点在有心力作用下，一定是角动量守恒、机械能守恒。 （ ） 28. 平面平行运动的刚体，其转动角速度与基点的选择无关。 （ ） 答案： 1. 错； 2. 对； 3. 错； 4. 对； 5. 错

23、； 6. 对； 7. 错； 8. 错； 9. 对； 10. 错； 11.错； 12. 错； 13. 对； 14. 错； 15. 对； 16. 错 ； 17. 错 ； 18. 错 ； 19. 对 ； 20. 错 ； 21. 错 ； 22.错 ； 23.对； 24. 对； 25. 错； 26. 错； 27. 对； 28. 对。 四、证明题 1. 证明：变换 qpQ , pP ln 是正则变换。 解：由题意，qQp,qQP ln; 以此代入正则变换关系式，则 dUqQQQddQqQdqqQP d Qpdq )ln(ln 母函数 qQQQQqU ln),( 问题得证。 2. 均质实心圆球和一外形相等的

24、空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，证明它们经过相等距离所需的时间比是 5:21 。 解：设空心球角加速度为 1 ，实心球角加速度为 2 ，则 111 MI ； 222 MI 2121211 3532 rmrmrmI ； 2222222 5752 rmrmrI 9 s in5335 s in2111 rgrmgrm ； s in7557 s in2222 rgrmgrm 5375 12 又 222211 2121 tataS 212512122221 aatt21521 tt3.质量为 m 的小环 M ，套在半径为 a 的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如果圆圈在水平面内以匀角速 绕圈上某

25、点 o 转动 ,证明小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为： 证：以地面为参考系，则小环的运动微分方程为： 2s in22c o s2NrrmNrrm其中 ,2,2c o s2 tar 为 M 与圆心 C 的连线和通过 O 点的直径间所夹的角 222c o s2s i n212s i n22c o s22t a n 222 aaaarrrr 化简 得 0sin 2 或用平面转动非惯性系动力学求解。 vmrmrmFam 22 nt eaear 2c o s2c o s22s in2c o s2 s in2 ammadtvdm 0sin 2 4.一光滑球 A 与另一静止的光滑球 B 发生斜碰。如两者均

26、为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。 证：以 AB 连线建立 x 坐标轴。 设 A 以初始速度为 0v 沿 x 轴正向与 B 相碰，碰撞后， A 、 B 速度分别为 1v 、 2v ，其0sin2 10 与 x 轴正向夹角分别为 1 、 2 。以 A 、 B 为研究对象，系统不受外力，动量守恒。 x 方向： 22110 c o sc o s mvmvmv （ 1） 垂直 x 轴方向： 2211 s ins in0 mvmv （ 2） 因 210 vmvmvm ， 210 vvv ，则 )c o s (2 2121222120 vvvvv （ 3） 整个碰撞过程

27、只有系统内力做功，系统机械能守恒： 222120 212121 mvmvmv （ 4） 由（ 3）、（ 4）得 0)c os (2 2121 vv ,2,1,0221 kk 即两球碰撞后速度相互垂直，结论得证。 5. 试证质点受有心力作用而作圆 cos2ar 的运动时，则5228 r hmaF 。 证明： cos2 11 aru ； 222 cos4 1au 2cos2 sinaddu rraad ud 18)c o s1c o s2(21 3 2322 22 urh 代入比耐公式 (22uh mFud ud )22 得 5228 r hmaF 五、计算题 1. 质量为 1m 的质点 B ，沿倾角为 的光滑直角劈 A 滑下，劈的本身质量为 2m ，又可在光滑水平面上自由滑动。试求：（ a ）质点水平方向的加速度；（ b ）劈的加速度。 解：把 21,mm 视为一个系统，系统在 x 轴方向动量守恒 0cx （ 1） 02211 xmxm （ 2）