1、1非惯性参考系下的惯性力学生姓名： 学号： 物理电子工程学院 物理学专业指导教师： 职称： 摘 要：利用惯性系与非惯性系之间速度和加速度的变换关系，由惯性系中质点运动方程导出非惯性系中质点运动方程，即可推导出非惯性系中惯性力的表达式。最后根据非惯性系中惯性力的表达式解释地球自转的动力学效应，包括一些典型现象，如傅科摆，落体偏东等。关键词：惯性系；力；非惯性系；惯性力；惯性力的应用 The inertial force under the frame of referenceAbstract：You can derive the non-inertial reference frame iner
2、tial force expression by using inertial and non inertial reference frame transformation between the relationship between velocity and acceleration from the inertial particle motion equations derived in the particle equation of motion of non-inertial reference frame. Finally, non-inertial reference f
3、rame of the inertia of the expression to explain the dynamic effects of the Earths rotation, including some typical phenomena such as the Foucault pendulum, falling bodies and other east.Key words： Inertial system; force; non-inertial reference frame; inertial force; application of inertia force.1 前
4、言在普通物理中，牛顿第二定律只适用于惯性参考系，而非惯性参考系的处理方法作为惯性参考系处理方法的补充，对深刻理解力学规律，拓展解题思路，简化一些问题的处理方法大有帮助。通过惯性系与于非惯性系的转化，在惯性系与非惯性系之间架起一个桥梁，可以帮助深刻理解惯性力，并利用其方法使一些复杂问题得到简便解决。同时，非惯性系问题在近代以来发展速度很快，利用范围也越来越广，和近代物理的发展联系紧密，所以，熟悉和掌握利用非惯性系中惯性力解决问题的方法也很有必要。另外，由于我们生活的地球是一个巨大的非惯性系，在小范围短时间内不明显的非惯性效应，放到整个地球上以及其历史中，就会表现出不可忽视2的动力学效应。根据惯性
5、力可以解释地球上这些现象，也可以在建筑工程中利用惯性力，避免其不利影响，使之为人类所用，这就是研究地球惯性力最基本的目的。要研究非惯性系中惯性力的表达式，必须先求出非惯性系中物体加速度的表达式，直接求非惯性系中物体加速度的表达式不太容易，所以首先利用惯性参考系和非惯性参考系之间速度和加速度的变换关系入手，由惯性系中质点运动方程导出非惯性系中质点运动方程，即可推导出非惯性系中惯性力的表达式。2 不同参考系之间速度与加速度的变换关系非惯性参考系相对于惯性参考系的运动情况不止一种，可以从最简单的情况开始，逐一加大复杂程度，可以将不同参考系之间的速度和加速度的变换关系分析的条理清晰。2.1 非惯性系相
6、对于惯性系只有平动假设开始火车静止，在车厢里的桌面上放一个小球。相对于车厢参照系来说，小球保持静止，所受合外力为零。现在设想火车开始向右做加速运动，在车厢里观测，小球将向左做加速运动，而小球并没有受到其他物体的作用力。那么在以加速运动的车厢为参照系，可设想有一力作用于小球，其方向与车厢相对于地面的加速度的方向相反，其大小等于小球质量与加速度的乘积，即，该力称为惯性力。这样，对于非惯性系，仍可沿用牛顿第二定律的形式，即小球相对于车身的加速度是惯性力作用的结果。总之，在直线加速运动的非惯性系中，质点所受惯性力与非惯性系的加速度方向相反，且等于质点的质量与非惯性系加速度的乘积，即 F*=-ma. 2
7、.2 非惯性系相对于惯性系只有转动2.2.1 一般情况设惯性系是 S，非惯性系是 S,S系相对于 S 系以角速度旋转。让我们来考察质点 P 在两个参考系中的运动情况。P 点的位置矢量为：rxiyjzk(2.1)这个表示式不论在 S 系还是 S系都是适用的。质点在非惯性系 S中的速度称为相对速度，用 v表示：=drvxiyjzkt(2.2)3符号 表示在 S系中的微商运算。在 S系中，单位矢量 i, j,k不随时间改变dt的，因此0ijdktt质点在惯性系中的速度称为绝对速度。(2.3).drdijdkvxiyjzkxyzttt因为是固定在系中随系一起运动的，因此,ooodijdkijttt代入
8、式（1.3）得(2.4)00()vxiyjzkxiyjzkr显然，如果（1.1）式中的 r 不是位置矢量，而换为任意一个矢量 A ,则有odAt因此两个相互间以角速度 转动的参考系之间对时间求微商的算符变换关o系为(2.5)odt(2.4)给出了 S 系和 S系之间的速度变换关系，再利用(2.5)式即可方便地求出绝对加速度和相对加速度之间的关系： () ()oooodvart drrdtt 因 0()oodtdt4,drvatt所以(2.6) ()2ooodarrvt其中 称为牵连加速度，这两项完全是由于参考系的旋()oot转而引起的； 称为科里奥利（Coriolis ）加速度，它的出现除由于
9、参考系2ov的旋转外，还和质点的相对速度有关。2.2.2 重要情况非惯性系是以等角速度 旋转的，没有平动加速度的参考系，此时 =0 ，o odt，并且由图 1 得0oa(图 1 非惯性系以等角速度 旋转)o22()ooorrR于是（2.8）式简化为(2.9)2 ooav式中 R=BP 为质点 P 到转动轴的距离， 是质点的向心加速度。所以，等2oR速旋转而没有平动加速度的参考系的牵连加速度只包含向心加速度。2.3 综合情况在上述（2.4）和（2.6）中，只要再加一项平动所引起的牵连速度 和牵连ovOB P0rR5加速度 即可：odvat(2.7)ovr(2.8) ()2ooodarvt3 非惯
10、性系中的牛顿动力学方程和惯性力上面我们给出了不同参考系 S 和 S之间的速度和加速度的变换关系，利用它就可以由惯性系 S 中的质点运动方程导出非惯性系 S中的质点运动方程。将（2.8）代入 中得maF ()2ooodrrvFt或 (3.1)()2ooodmaFrrvt和惯性系中的牛顿第二定律相比，可以看到只要引入两项惯性力：(3.2)(),ott odarrt (3.3)2ccoFmv则非惯性系中的质点动力学方程将和惯性系中具有同样的形式：(3.4)tcaF称为牵连惯性力， 称为科里奥利力。在等速旋转，平动加速度为零的非惯tF性系中，由（2.9）式得牵连惯性力为(3.5)2ttomaR4 地球
11、自转的非惯性效应地球不是一个严格的惯性系。地球自转的角速度为 15127.2904360oss。地球的半径为 R=6.37 61m.因此由于地球自转所引起的向心加速度2238toaRg6式中 g为重力加速度。因此在 g起作用的问题中，如果计算精度达到 310量级时，必须考虑重力加速度的这一修正。由于地球自转所引起的科里奥利加速度为 2coav，由此引起的线偏离和角偏离分别为221,costt.ovt对于短时间的运动，因510os，这一效应可以忽略。但对长时间的运动，这一效应就不能忽略了。地球公转的角速度为地球自转角速度的 1/365。地球离太阳的距离与地球半径之比为5104。因此，地球公转的向
12、心力与地球自转的向心力之比为251()0.2,364科里奥利力之比为.。因此由于地球公转所引起的非惯性效应比起地球自转的非惯性效应要小 1-2 个数量级，一般均可忽略。现在我们讨论地球自转的非惯性效应的一些重要例子。4.1 傅科摆为了证明地球在自转，法国物理学家傅科（18191868）于 1851 年做了一次成功的摆动实验，傅科摆由此而得名。实验在法国巴黎的一个圆顶大厦进行，摆长 67米，摆锤重 28 公斤，悬挂点经过特殊设计使摩擦减少到最低限度。这种摆惯性和动量大，因而基本不受地球自转影响而自行摆动，并且摆动时间很长。在傅科摆实验中，人们看到，摆动过程中摆动平面沿顺时针方向缓缓转动，摆动方向
13、不断变化。分析这种现象，摆在摆动平面方向上并没有受到外力作用，按照惯性定律，摆动的空间方向不会改变，因而可知，这种摆动方向的变化，是由于观察者所在的地球沿着逆时针方向转动的结果，地球上的观察者看到相对运动现象，从而有力地证明了地球是在自转。傅科摆放置的位置不同，摆动情况也不同。在北半球时，摆动平面顺时针转动；在南半球时，摆动平面逆时针转动，而且纬度越高，转动速度越快；在赤道上的摆几乎不转动。傅科摆摆动平面偏转的角度可用公式 =15tsin 来求，单位是度。式中 代表当地地理纬度，t 为偏转所用的时间，用小时作单位，7因为地球自转角速度 1 小时等于 15，所以，为了换算，公式中乘以 15。4.
14、2 落 体 偏 东自转着的地球取作 S系，一个“不转的”地球（平动框架）为 S 系.在地球参考系中，质点受到的重力加速度为g -2v-（r） 0(4.1)我们知道9.8m/s20g 7.292 10-5rad/s相比之下，惯性离心（centrifugal）项就小得多，|（r）|2R3.3910-2m/s2 ，这样将它合并到有效重力0g加速度中去，（4.1）式就可以写成mg=mgeff-2mv (4.2)最后一项即为运动物体上的科里奥利“力”.需要注意的是，这一项完全是由坐标系变换而来的，或者说是由于旋转坐标系中的观察者的看法与平动坐标系中的不一样而产生的.通常我们可以说，科里奥利力是运动学效应
15、.根据（4.2）式可以对落体的偏向作出判断.粗略地说，落体的速度（零级近似）在-r 方向.对于北半球，可以判定速度将偏向东方，也就是在-2m v k er= ej 方向.所谓落体偏东就是指的这种情况. 4.3 惯性力在地球科学领域的表现地球表面的河流，在北半球，右侧冲刷的厉害，南半球，左侧冲刷的厉害（这里的“右”侧和“左”侧，是指观测者面向河流流动方向的） 。解析：这种现象之所以发生，是因为物体具有惯性，力图保持其运动速率和方向。然而，地球上的水平方向都以经线和纬线为准，经线的方向就是南北方向，纬线的方向就是东西方向。但是由于地球的自转，作为南北和东西方向基准的经线和纬线，都随着地球自转而不断
16、的改变着它们的空间的方向。于是，真正保持不变方向的物体的水平运动，用地球上的水平方向表示，倒是相对地发生了偏转。地球自转的方向是自西向东，在北半球是逆时针方向，即自右相左转动；在南半球是顺时针方向，即自左相右转动。因此，北半球的经线和纬线都向左偏转，以致那里的水平运动方向相对地发生右偏；南半球的经线和纬线都向右偏转，以致那里的水平运动发生左8偏如图 5。按惯性定律推论，如果物体改变它的速率和方向，那么，这种变化必定受到外力的作用。于是，人们设想有一个假想的力作用于水平运动物体，使它发生左右偏转。法国科学家奥利（1792-1843）最早研究并证明它的存在，故称这种视力为科里奥利力（或简称科氏力）
17、 。地理和气象学上则形象的称它为地转偏向力。F=2mVsin(m 为物体质量，V 是水平运动速度， 为地球自转角速度，sin 即傅科摆偏转速度)。地转偏向力的存在，对许多地理事物产生深远的影响：（1）地转偏向力影响大气环流。 （2）在北半球，河流对右岸冲刷比左岸强烈，以致大河右岸通常较为陡峭，而左岸较为平缓。由于这个原因，北半球的河流一般总是从右面绕过障碍，一般在河流的右岸修深水港，南半球情形相反。 （3）工程技术方面也不乏地转偏向力影响：如在北半球，机车右轮通常比左轮磨损得更快；发射火箭时，如不计算地转偏向力的影响，就不会有效的命中目标。以上，从三个现象简要谈到了惯性力、惯性离心力、科里奥利
18、力，它们只能在非惯性系中观测到，不是由物体之间相互作用而产生的，但是又的确存在，通过研究其中的规律，有利于我们对自然规律进一步加深认识，从而服务于人类。4.4 信风与季风地球表面不同纬度的地区接受阳光照射的量不同，从而影响大气的流动，在地球表面延纬度方向形成了一系列气压带，如所谓“极地高气压带” 、 “副极地低气压带” 、 “副热带高气压带”等。在这些气压带压力差的驱动下，空气会沿着经度方向发生移动，而这种沿经度方向的移动可以看作质点在旋转体系中的直线运动，会受到科里奥利力的影响发生偏转。由科里奥利力的计算公式不难看出，在北半球大气流动会向右偏转，南半球大气流动会向左偏转，在科里奥利力、大气压
19、差和地表摩擦力的共同作用下，原本正南北向的大气流动变成东北西南或东南西北向的大气流动。随着季节的变化，地球表面延纬度方向的气压带会发生南北漂移，于是在一些地方的风向就会发生季节性的变化，即所谓季风。当然，这也必须牵涉到海陆比热差异所导致气压的不同。科里奥利力使得季风的方向发生一定偏移，产生东西向的移动因素，而历史上人类依靠风力推动的航海，很大程度上集中于延纬度方向，季风的存在为人类的航海创造了极大的便利，因而也被称为贸易风。94.5 热 带 气 旋马桶下水方向与科氏力有关热带气旋(北太平洋上出现的称为台风)的形成也受到科里奥利力的影响。驱动热带气旋运动的原动力一个低气压中心与周围大气的压力差，
20、周围大气中的空气在压力差的驱动下向低气压中心定向移动，这种移动受到科里奥利力的影响而发生偏转，从而形成旋转的气流，这种旋转在北半球沿着逆时针方向而在南半球沿着顺时针方向，由于旋转的作用，低气压中心得以长时间保持。4.6 对 分 子 光 谱 的 影 响科里奥利力会对分子的振动转动光谱产生影响。分子的振动可以看作质点的直线运动，分子整体的转动会对振动产生影响，从而使得原本相互独立的振动和转动之间产生耦合，另外由于科里奥利力的存在，原本相互独立的振动模之间也会发生能量的沟通，这种能量的沟通会对分子的红外光谱和拉曼光谱行为产生影响。本文通过对惯性系和非惯性系之间速度和加速度的变换关系，导出了非惯性系中
21、牛顿动力学方程惯性力的表达式，并验证了地球的非惯性效应的原因，举了一些地球非惯性效应的典型例子及最新的一些发现，为我们利用惯性力减少自然灾害，制造精密仪器为人类做出贡献提供了理论依据。5 结束语非惯性系下的惯性力在小范围短时间内几乎没有效果，但是对于长时间大范围来说，不仅效果明显，而且利用好了，作用显著。现在人们利用科里奥利力，制作出了一些精密的仪器。例如，质 量 流 量 计 让 被 测 量 的 流 体 通 过 一 个 转 动 或 者 振 动中 的 测 量 管 ， 流 体 在 管 道 中 的 流 动 相 当 于 直 线 运 动 ， 测 量 管 的 转 动 或 振 动 会 产 生一 个 角 速
22、度 ， 由 于 转 动 或 振 动 是 受 到 外 加 电 磁 场 驱 动 的 ， 有 着 固 定 的 频 率 ， 因 而流 体 在 管 道 中 受 到 的 科 里 奥 利 力 仅 与 其 质 量 和 运 动 速 度 有 关 ， 而 质 量 和 运 动 速 度即 流 速 的 乘 积 就 是 需 要 测 量 的 质 量 流 量 ， 因 而 通 过 测 量 流 体 在 管 道 中 受 到 的 科 里奥 利 力 ， 便 可 以 测 量 其 质 量 流 量 。应 用 相 同 原 理 的 还 有 粉 体 定 量 给 料 秤 ， 在 这 里 可 以 将 粉 体 近 似 地 看 作 流 体 处理 。陀 螺
23、仪 ， 旋 转 中 的 陀 螺 仪 会 对 各 种 形 式 的 直 线 运 动 产 生 反 映 ， 通 过 记 录 陀 螺仪 部 件 受 到 的 科 里 奥 利 力 可 以 进 行 运 动 的 测 量 与 控 制 。对非惯性系中惯性力的原理进行更深入的讨论与研究，可以正确理解地球上一10些特殊现象的成因，也可以利用惯性力对人类做出贡献，推动物理学的发展。参考文献1漆安慎，杜婵英. 力学M第二版 高等教育出版社 2005 年 第 85 页第 92 页2金尚年,马永利. 理论力学M第二版 高等教育出版社 2002 年 第 150 页152 页，第 154 页155 页，第 160 页166 页3许
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