1、1NBA 赛程的分析与评价摘 要本文针对 NBA2008-2009 赛季的赛程进行了统计分析，以东、西部的 30 个球队为研究对象，用数学建模的方法对赛程进行了定量的分析和评价。对于问题一、二，本文考虑了对方球队的实力、连续客场数和背靠背比赛场数三方面的因素来评价赛程对某一支球队的利弊。通过对附件一、附件二中各数据的量化分析，把各因素进行统计处理，并利用层次分析法确定了各因素的权重，最终计算出各队利弊的数量指标值（见表 8）。计算结果显示 30 支球队中最有利的是活塞，最不利的是灰熊。而火箭队处于较为不利的位置。对于问题三，基于球队间的均衡性和比赛的观赏性考虑，建立了 0-1 整数规划模型，根
2、据每队可以选择同部不同区的 4 支球队作为对手进行 3 场比赛的要求，借助LINDO 软件，制定了具体分配方案（见表 10,11）。最后与原分配方案进行了比较。关键词：数据量化 极差规范化 层次分析法 0-1 整数规划1.问题重述2当今 NBA 共有 30 支球队，西部联盟、东部联盟各 15 支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋 3 个区，东部分东南、中部和大西洋 3 个区，每区 5 支球队。对于 20082009 新赛季，常规赛阶段从 2008 年 10 月 29 日直到 2009 年 4 月 16 日，在这 5 个多月中共有 1230 场赛事，每支球队要进行 82 场比赛，最终比
3、出结果，进入季后赛对于 NBA 这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。所以要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，考虑有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照 1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30 支球队最有利和最不利的球队。3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛 4 场（主客各 2 场） ，与不同部的
4、每一球队赛 2 场（主客各 1 场） ，与同部不同区的每一球队有赛 4 场和赛 3 场（2 主 1 客或 2 客 1 主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部 3 个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛 3 场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出自己认为合适的方法。 2.问题分析题目要求分析赛程安排对球队的影响，并利用各因素建立最优的比赛分配方案。而在分配队伍赛程是需要考虑到:如何确定各个因素对每个球队的权重;在知道个因素的权重后，怎样建立目标函数值使每个球队间保持均衡；比较原赛程的安排，如何建立最合适，最均衡的方法。对于问题 1，在分析
5、选取各个球队不利因素的情况下，首先把所选因素根据实际情况进行量化，并将量化的结果实行权重分配，然后分别加权求和，以此可以得到赛程对每支球队的弊端指数，也就是量化后的数量指标。在问题 1 的基础，考虑到弊端指数对每个球队的影响下，以量化后得出的数量指标进行每个球队的排名，即可以得出哪只球队在此因素的影响下最有利，而对于哪只球队最不利。同样的，对于姚明加盟的火箭队的利弊，是怎样的一个情况。对于问题 3，在东、西部相对独立下，每个球队要与同部不同区的每一只球队进行比赛，而每个球队总的主客场相同且同部 3 个区的球队间保持均衡。为了使各队在比赛安排上相对的公平，我们可以把每个球队与自己比赛 3 场的对
6、手划分为一个单位，解出每个单位在各数量指标影响下的实力值，最终以确定目标函数（综合实力差值） ，来实现最合适的方法3.模型假设与符号设定3.1 模型假设1、不考虑球队人员的变动及伤病因素，即各队实力保持不变2、用 20072008 赛季 NBA 常规赛各球队战况确定各球队实力具有有一定的准确性、可信性33、每个球队对手实力越接近自己实力，则说明赛程安排越公平合理3.2 符号约定第 个球队遇到的所有对手实力的平均值，即对手的平均实力因素iz第 个球队连续客场因素ig第 个球队背靠背比赛因素iy规范化处理后iWiz规范化处理后iDig规范化处理后iSiy第 场比赛的对手的实力值ju对手的平均实力因
7、素的权重连续客场因素的权重背靠背比赛因素的权重对手平均实力值iq弊端指数iQ球队 与球队 的实力差值ijcij4.模型的建立与求解4.1.1 问题分析与模型建立由赛程的安排可知，每个球队的主客场次总体是相同的，但有时因为各队主客场的不一致，而导致某些球队在客场或是主场连续比赛，在分析各队弊端的同时，我们引入了连续客场因素的概念（即连续打两次客场） 。至于不管在主场还是客场的比赛下，只要连续比赛两天的，对于球队必定是一种影响，所以也应考虑背靠背因素（即指连续比赛两天） 。加上考虑每个球队的排名可以清楚地知道各球队的不同实力。而在一场比赛时，自己的输赢往往也与对手的实力有关，最终，对手的平均实力因
8、素也是至关重要（即 82 场比赛中对手的平均实力值） 。把三个因素进行一定的量化处理后分别得到每个球队遇到的对手球队平均实力因素为 、每个球队连续客场因素 和球队背靠背比赛因素值 。izigiy为了使每个球队的各因素在同一层次做统一的比较，对各因素的数值进行规范化处理，设规范化处理后的各因素的值分别为 、 、 ，由于衡量球队利弊的三个因iWiDiS4素，影响利弊的权重不尽相同，在这里我们设定赛程中球队相遇对手的平均实力因素、连续客场因素和背靠背比赛因素的权重，分别为 、 、 ,取三个因素量化处理后的值，分别加权后求和，则得到赛程弊端指数（1）iiiiQWDS赛程弊端指数越大说明赛程安排对球队越
9、不利，反之赛程对球队越有利。iQ4.1.2 球队实力排名为了得到每个球队实力之间量化排名，根据 20072008 赛季 NBA 常规赛各球队的成绩按以下两个原则排名： 一、排名先后以球队胜率大小确定，胜率越大排名越靠前；二、当球队间胜率相同时，球队的分差值大的排名相对靠前；并根据排名情况给予 30 到 1 的打分作为这个球队的实力因素值得到实力排名（见如下表 1）球队 胜率 分差 实力因素值 排名凯尔特人 0.8050 10.2 30 1活塞 0.7200 7.4 29 2湖人 0.6950 7.3 28 3黄蜂 0.6830 5.3 27 4马刺 0.6830 4.8 26 5太阳 0.67
10、10 5.1 25 6火箭 0.6710 4.7 24 7爵士 0.6590 6.9 23 8魔术 0.6340 5.5 22 9小牛 0.6220 4.5 21 10掘金 0.6100 3.7 20 11勇士 0.5850 2.2 19 12骑士 0.5490 -0.3 18 13奇才 0.5240 -0.4 17 14猛龙 0.5000 2.9 16 15开拓者 0.5000 -0.9 15 1676 人 0.4880 0.4 14 17国王 0.4630 -2.3 13 18老鹰 0.4510 -1.8 12 19步行者 0.4390 -1.4 11 20篮网 0.4150 -5.1 1
11、0 21公牛 0.4020 -3.1 9 22山猫 0.3900 -4.3 8 23雄鹿 0.3170 -6.9 7 245球队 胜率 分差 实力因素值 排名尼克斯 0.2800 -6.6 6 25快船 0.2800 -7.3 5 26灰熊 0.2680 -6.2 4 27森林狼 0.2680 -6.8 3 28超音速 0.2440 -8.8 2 29热火 0.1830 -8.6 1 30表 1 每个球队实力排名表由 求出每个球队对手平均实力值。 （见下表 2）821jiuz球队名称 对手平均实力值 iz球队名称 对手平均实力值 iz魔术 14.52439 超音速 16.41463奇才 14.
12、85366 森林狼 16.67073老鹰 15.17073 湖人 15.31707山猫 15.2561 太阳 15.43902热火 15.92683 勇士 15.90244凯尔特人 14.5 国王 16.10976猛龙 14.89024 快船 16.6219576 人 14.92683 开拓者 15.89024篮网 15.2561 掘金 15.68293尼克斯 15.76829 爵士 15.39024活塞 14.26829 灰熊 16.79268骑士 14.90244 小牛 15.7561步行者 15.5122 马刺 15.26829公牛 15.34146 黄蜂 15.56098雄鹿 15.3
13、6585 火箭 15.71951表 2 每个球队对手平均实力表4.1.3 赛程转换将赛程转换成便于数学处理的数字格式，就是在赛程表格上能够得到各个自己想要得到的因素，得到的各因素都是经过量化的，可以直接用数学进行计算。下表 3.1和表 3.2 是魔术队一部分赛程安排表。表 3.2 就是表 3.1 的数学格式转化。 时间 主队 客队2008-10-30 7:00 星期四 亚特兰大老鹰 奥兰多魔术2008-11-1 8:00 星期六 奥兰多魔术 孟菲斯灰熊2008-11-2 7:00 星期日 萨克拉门托国王 奥兰多魔术2008-11-4 8:00 星期二 芝加哥公牛 奥兰多魔术2008-11-7
14、9:00 星期五 费城 76 人 奥兰多魔术6时间 主队 客队2008-11-9 8:00 星期日 华盛顿奇才 奥兰多魔术2008-11-11 8:00 星期二 波特兰开拓者 奥兰多魔术2008-11-13 9:00 星期四 奥兰多魔术 西雅图超音速2008-11-15 9:30 星期六 奥兰多魔术 达拉斯小牛表 3.1 魔术队一部分的赛程安排表时间 主队 客队39751 07:00:00AM 星期四 19 939753 08:00:00AM 星期六 9 2839754 07:00:00AM 星期日 18 939756 08:00:00AM 星期二 22 939759 09:00:00AM 星
15、期五 17 939761 08:00:00AM 星期日 14 939763 08:00:00AM 星期二 16 939765 09:00:00AM 星期四 9 2939767 09:30:00AM 星期六 9 10表 3.2 魔术队一部分的赛程安排的数学转化表4.1.4 量化处理对附件一中每个球队连续客场比赛的次数进行统计（见下表 4）球队 客场连续 2 次 客场连续 3 次 客场连续 4 次 客场连续 5 次 客场连续 6 次 客场连续 7 次 客场连续 8 次凯尔特人 9 1 1 1活塞 3 2 2 1魔术 7 2 1 1骑士 5 1 3奇才 6 1 3猛龙 4 5 176 人 4 1 1
16、 1 1老鹰 5 3 2 1步行者 4 2 1 1篮网 4 2 1公牛 2 1 1 2山猫 3 1 2 2雄鹿 7 3 2尼克斯 5 2 1 2热火 5 1 1 1 1湖人 5 2 1 1 17球队 客场连续 2 次 客场连续 3 次 客场连续 4 次 客场连续 5 次 客场连续 6 次 客场连续 7 次 客场连续 8 次黄蜂 3 5 2马刺 4 4 1太阳 3 2 3 1火箭 5 2 1 2爵士 4 2 3小牛 4 5 2掘金 6 2 1 1勇士 4 2 2开拓者 2 2 2 3国王 5 1 5快船 1 2 2 1 1灰熊 7 1 3森林狼 8 5超音速 8 4 1表 4 各球队连续客场统计
17、表为了运算方便把连续 3 次以上的客场向连续 2 次客场转化，连续两次客场的比赛记为连续客场一次，连续客场一次的因素值都取常数 1，即当 场连续客场转化(3)n得到 次连续客场一次，其连续客场值因素值为 ，把表 2 中各球队连续客场(1)n ()统数据进行处理，得出每个球队连续客场因素 。 （见表 5）ig球队名称 连续客场因素 i球队名称 连续客场因素 ig魔术 18 超音速 19奇才 17 森林狼 18老鹰 22 湖人 23山猫 19 太阳 21热火 20 勇士 22凯尔特人 19 国王 22猛龙 19 快船 2276 人 18 开拓者 24篮网 14 掘金 20尼克斯 20 爵士 20活
18、塞 17 灰熊 18骑士 16 小牛 20步行者 15 马刺 19公牛 19 黄蜂 19雄鹿 19 火箭 20表 5 每个球队连续客场因素表同理对附件一中每个球队背靠背比赛次数进行统计，设定每次背靠背比赛的弊端8值都为一相同不为零常数，为计算方便这里设定为 1，则得到每个球队背靠背比赛因素的值 。 （见表 6）iy球队名称 背靠背因素值 iy球队名称 背靠背因素值 iy活塞 16 黄蜂 18凯尔特人 16 老鹰 22魔术 17 湖人 19奇才 18 勇士 15骑士 19 雄鹿 22猛龙 17 火箭 1976 人 21 掘金 20篮网 22 开拓者 16马刺 18 尼克斯 18山猫 20 热火
19、19步行者 21 超音速 18爵士 20 国王 22公牛 22 森林狼 22小牛 16 灰熊 22太阳 19 快船 21表 6 每个球队背靠背因素4.1.5 规范化处理为了使每个球队相遇对手平均实力因素 、 连续客场因素 和背靠背比赛因素izig在同一层次做统一的比较，首先分别用极差规范化方法作相应的规范化处理。iy对手平均实力因素的规范化：（2）130min0.472368 (1230)ax.51i iiiizzWi， ， ，连续客场因素的规范化：（3）130i (2an24i iiiiggDi， ， ， 30）背靠背因素的规范：130mi15 (axi iiiiyySi， ， ， ）（4）
20、把对手平均实力因素 、连续客场因素 和背靠背因素 分别代人公式（2）、izigiy（3）、（4）得到规范化的对手平均实力因素 、 连续客场因素 、背靠背因素 数WiDiS值结果（见下表 7）9球队名称对手平均实力因素 iW连续客场因素 iD背靠背因素 iS魔术 0.101450251 0.4 0.285714286奇才 0.231885723 0.3 0.428571429老鹰 0.357488344 0.8 1山猫 0.391306415 0.5 0.714285714热火 0.657006247 0.6 0.571428571凯尔特人 0.091788511 0.5 0.142857143
21、猛龙 0.246376352 0.5 0.28571428676 人 0.260870943 0.4 0.857142857篮网 0.391306415 0 1尼克斯 0.594202956 0.6 0.428571429活塞 0 0.3 0.142857143骑士 0.251209203 0.2 0.571428571步行者 0.492756666 0.1 0.857142857公牛 0.425120524 0.5 1雄鹿 0.434782264 0.5 1超音速 0.850241048 0.5 0.428571429森林狼 0.9516913 0.4 1湖人 0.415458784 0.9
22、 0.571428571太阳 0.463767484 0.7 0.571428571勇士 0.647344507 0.8 0国王 0.729471278 0.8 1快船 0.93236782 0.8 0.857142857开拓者 0.642511656 1 0.142857143掘金 0.560388846 0.6 0.714285714爵士 0.444444004 0.6 0.714285714灰熊 1 0.4 1小牛 0.589374067 0.6 0.142857143马刺 0.396135304 0.5 0.428571429黄蜂 0.512080146 0.5 0.428571429
23、火箭 0.574879476 0.6 0.571428571表 7 每个球队各因素规范化后数值表4.1.6 各因素权重的确定通过引入每两个因素对弊端指数影响的程度大小的比值得到成对比较矩阵如下： 15/A其中 =5 即表示球队实力和连续客场因素对弊端指数的影响之比为1,2A105:1， =1 即表示连续客场因素和背靠背比赛因素对弊端指数的影响之比为 1:1。2,3A求出对比矩阵 的最大特征根为 ，对应的特征向量归一后为3T（ 0.7142， 9， 0.142）即 3 种因素在弊端指数中所占的权重，由此我们可以得到0.7142.9.， ，把表 7 中的每个球队相遇对手平均实力因素 、 连续客场因
24、素 和背靠背比赛iWiD因素 代人（1）式进行求解得到弊端指数，用 EXCEL 对求出的赛程安排对每支球队的iS弊端指数 进行从小到大排序。iQ球队名称 弊端指数活塞 0.063284286凯尔特人 0.15741964魔术 0.170444341奇才 0.269725641猛龙 0.288240562骑士 0.28965075676 人 0.365959742马刺 0.415612691篮网 0.422371042山猫 0.45299247步行者 0.488702525黄蜂 0.498420497爵士 0.505233336湖人 0.506987806老鹰 0.512538175太阳 0.51290988公牛 0.517971078雄鹿 0.524871493小牛 0.527085244尼克斯 0.571362608勇士 0.576653447火箭 0.577976065掘金 0.588041142开拓者 0.62219611热火 0.636631004超音速 0.739935014国王 0.778208387
