1、天然肠衣生产原料的优化配比一、摘要：天然肠衣制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。而天然肠衣传统的生产方式已不能满足出口量日益增长的需要。因此，我们从节约生产成本、提高企业生产效率的角度出发，保证生产成品捆数较多、原料的使用率较高和成品质量相对较好的产品。针对天然肠衣生产原料的配比设计的具体要求，我们结合原料的长度及成品规格进行了理想模型的设计。根据 A、B、C 三种成品的规格和原料长度相差 0.5m 的性质，找出一个总长度为89m 与每根长度的固定常数关系式(如：A 规格成品的固定常数关系式为 89=10n3-m，3= n3-3n 3.5 = n3 - 2m 6.5 = n3 +
2、4m),根据此类关系式列出相应的不定方程组进行分析求解。考虑到原料的使用率和剩余原料达到最优，我们采用了倒推法（剩余原料的降级使用） 。即：首先，列 C 种规格不定方程组 XC1X C2X C3X C20=5XC1(n8m)X C2(n-7m)X C20(n10m)=5n-2m（其中 XC1、X C2、X C3取正整数）求得：C 种规格成品的最多捆数 h 和它的剩余原料其次，根据 C 种规格成品的剩余原料与 B 种规格成品的原料列出不定方程组YB1 + YB2 +YB3 + + YB14 =4YB1(n2 - 7m) + YB2 (n2 - 6m ) + + YB14 (n2 + 6m )=
3、4 n2 + m(其中 YB1 、Y B2 、Y B3 、 Y B14 为正整数)求得：B 种规格成品的最多捆数 t 和它剩余的原料最后，根据 B 种规格成品的剩余原料与 A 种规格成品的原料列出不定方程组ZA1 + ZA2 + ZA3 + + Za8 =10ZA (n3 - 3m ) + ZA2 (n3 - 2m ) + + ZA8 (n3 + 4m )（其中 ZA1 、 Z A2 、Z A3 Za8为正整数）求得：A 种规格成品的最多捆数 q 和剩余原料。因此，这批原料装出的总捆数 M=h+t+q，A 种规格成品的剩余原料就是最后剩余的原料。最后采用假设法保证成品在 30 分钟内保鲜，进一
4、步控制其质量。分两种情况进行假设：针对捆扎好的成品要在 30min 内把它保鲜完，假设该批原料就采用这种新型肠衣盐卤渗透保鲜管，则一定能在 30min 内完成。针对这批原料捆成成品要在 30min 内完成，可分为两种情况假设：假定在同一规格的成品内 C(每捆根数相同)，则每捆中不同长度的原 料进行捆绑，若要保证其在 30min 内完成，则需增加工人数量；假定在不同规格成品内，根据根数、长度和员工装配每根原料的速度不同列多元不定方程，根据员工装配每根原料的速度来调整员工的数量或者根据员工数量来调配不同速度的员工，尽量使原料捆成成品小于 30min。二、关键词：原料优化搭配 不定方程 假设法三、问
5、题重述随着肠衣出口量的不断增加，原有的传统生产方式不能满足需要。在生产过程中肠衣的生产原料要经过清洗整理后分割成长度不等的小段（原料） ，将长度不等的原料按成品规格组装成成品（捆） 。为了提高生产效益，改变组装工艺，我们要根据不同长度的原材料、所给的成品规格设计出符合原料搭配方案具体要求的最佳配比。具体内容如下：1.公司计划将原料描述表（表 1）中不同长度的天然肠衣按成品规格表（表 2）进行搭配。其中表一的原料长度以 0.5 为一档，如（表 2）33.4m 按 3m 计算，3.53.9m长度 3-3.4 3.5-3.9 4-4.4 4.5-4.9 5-5.4 5.5-5.9 6-6.4 6.5
6、-6.9根数 43 59 39 41 27 28 34 21长度 7-7.4 7.5-7.9 8-8.4 8.5-8.9 9-9.4 9.5-9.9 10-10.4 10.5-10.9根数 24 24 20 25 21 23 21 18长度 11-11.4 11.5-11.9 12-12.4 12.5-12.9 13-13.4 13.5-13.9 14-14.4 14.5-14.9根数 31 23 22 59 18 25 35 29长度 15-15.4 15.5-15.9 16-16.4 16.5-16.9 17-17.4 17.5-17.9 18-18.4 18.5-18.9根数 30 42
7、 28 42 45 49 50 64长度 19-19.4 19.5-19.9 20-20.4 20.5-20.9 21-21.4 21.5-21.9 22-22.4 22.5-22.9根数 52 63 49 35 27 16 12 2长度 23-23.4 23.5-23.9 24-24.4 24.5-24.9 25-25.4 25.5-25.9根数 0 6 0 0 0 1按 3.5m 计算，其余的以此类推。为提高使用率，总长度允许有0.5 米的误差，在总长度允许的范围内总根数可以比标准少 1 根。当某种规格对应原料出现剩余可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎
8、，成品属于7-13.5米的规格。过长的原料可以按实际需求剪切成多根。表1 成品规格表最短长度 最大长度 根数 总长度C 类 3 6.5 20 89B 类 7 13.5 8 89A 类 14 5 89表 2 原料描述表2.将给定的天然衣肠原料在（表 1）成品规格表允许的范围值只内，总长度在890.5m， （C 类成品规格，14m M C26m，C 类原料最大长度为，但原料的实际长度小于 26 米,根数 4 根X A5 根；B 类成品规格,长度 7m M B8m,根数 7 根X B8根；A 类成品规格，3m M A6.5 m，19 根X A 20 根。 ）装出的成品捆数最多。3.在捆数相同的情况下
9、，装出最短长度最长的成品更多。4.为食品保鲜，要求在 30 分钟内装出成品或组装好的成品在 30 分钟内保鲜。四、问题分析分析问题 1 ：要在给定的原料装出的成品捆数最多。我们要考虑每捆天然衣肠成品的总长度为89.5m， 对于 C 类成品规格，14m M C26m，C 类原料最大长度为，但原料的实际长度小于 26 米,根数 4 根X C5 根；B 类成品规格,长度 7m M B8m,根数 7 根X B8 根；A 类成品规格，3m M A6.5 m，19 根X A20 根。既要满足总长度允许的范围值，同时也要分别满足 A、B、C 三类成品规格的最小长度、最大长度和根数的要求。在此条件下应用不定方
10、程组求出最多的捆数。分析问题 2：捆数相同的情况下要装出的成品最短长度要最长。2.1 首先要考虑较长的原料怎样处理？是降级或是剪切？如果剪切怎样才能使原料的使用率最高？2.2 然后考虑 A、B、C 各类成品原料的搭配问题，用倒推搭配的方法搭配原料，即把 14m原料长度25.9m 的原料先搭配成 C 类成品，其中搭配 C 过程中剩余原料用于合成 B 类成品，一次类推 B 类成品搭配完后剩余原料最后用于搭配成 A 类成品。这样可以避免原料剩余浪费。分析问题 3：食品保鲜要在 30min 内完成，分两种情况进行分析： 3.1 捆扎好的成品要在 30min 内把它保鲜完。在实际的生产过程中，成品的保鲜
11、大多都是采用现代的机械设备，来提高公司的生产效益保证其产品质量。根据所查资料肠衣生产技术方法工艺得到一种新型的肠衣盐卤渗透保鲜管，它可以快速对成品保鲜。假定该公司采用这种新型肠衣盐卤渗透保鲜管，则它一定能在 30 分钟内保鲜完。 4.2 要使这批原料捆成成品要在 30min 内完成，则分成品在同一规格内和不在同一规格内两种情况。每一种情况都受到原料的规格、长度、根数和公司人数等因素的影响。因此，采用假设法对其条件进行控制和调配。五、符号说明1）M A表示 A 类成品规格的长度2）M B表示 B 类成品规格的长度3）M c表示 C 类成品规格的长度4）X A表示 A 类成品规格的根数5）X B表
12、示 B 类成品规格的根数6）X C表示 C 类成品规格的根数7） n 1表示 C 类规格成品参数8） n 2表示 B 类规格成品参数9） n 3表示 A 类规格成品参数10) m 表示该题用不定方程求解的固定常数11）W 表示 A 规格成品的堆数12）R 表示 B 规格成品的堆数13) t 表示 B 规格成品的捆数14）q 表示 A 规格成品的捆数15) M 表示总捆数16) Y1 Y2 Y3 表示公司人数17）V A，V B, VC表公司每人装配 1 根原料的速度18）X 表示公司员工总人数19）X 1 X2 XN 表示公司的各位员工20）V 表示公司员工装配的速度21）V 1，V 2, V
13、N表示各个员工装配的速度22）E 表示 A B C 三种不同规格成品的捆数23）t 1 表示 A B C 表示三种不同规格成品的原料中最长的一根的裁剪时间六、模型假设1.假设肠衣在使用前或使用时不被碰伤，不会影响其阻隔性2.假设肠衣在 25以下干燥通风避光的环境中贮存。3.肠衣长时间的贮存，由于贮存条件的完备，会使肠衣变形，造成损失。一般建议贮存期为 3 个月。4.假设肠衣在剪切的过程中没有损耗，总长度保持不变。七、模型建立与求解模型一：C 规格成品的搭配方案由（表 1）C 成品可以得：n 1=89/8 =11.125185+20.5=8914=18-80.514.5=18-70.5 23.5
14、=18+0.510因此可以设定一个固定的常数 m=0.5,的道其他的固定常数如下：89=5n+m 且 14=n1-8m 14.5=n1-7m 18=n 25.5=18+15n 因为搭配方案要求捆数最多且成品捆数相同的最短长度最长的成品多，且剩余原料可以降级使用，所以我们选取 3 根 23.5 和 1 根 25.5 作为备用材料，根据题目所需和不定方程得把 23.5 米的 3 根截成一根 15.5 米、一根 8 米、两根 14.5 米、两根 9米。把一个 25.5 米的截成一根 15.5 米、两根 10 米。由上述可建立方程组为：XC1X C2X C3X C20=5XC1(n8m)X C2(n-
15、7m)X C20(n10m)=5n-2m（其中 XC1、X C2、X C3取正整数）解方程组得：C 规格成品可装配 141 捆还剩余 8m 的 2 根，10m 的 1 根，18m 的 3 根。表 314 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23.535 29 30 42 28 42 45 49 50 64 52 63 49 35 27 16 12 2 33 6 6 32 4 2 2 2 12 24 24 12 1 1 1 2 1 7 14 7 14 1 1 1 2 1 6 12 1 12 1
16、1 1 2 1 7 14 7 14 7 14 7 14 1 1 2 2 9 18 9 18 1 2 1 1 1 11 22 22 22 13 26 13 26 1 2 2 1 17 34 34 3 6 3 6 3 9 6 10 40 10 3 6 9 20 40 20 20 1 1 1 3 1 1 2 1 1 模型二：B 规格成品的搭配方案由模型一在 C 规格成品的最优搭配后余下的原料如下表所示：表 4长度（m） 18 9 8根数(根) 3 1 1把余下的原料与在 B 规格范围内（7m-13.5m）的原料结合，应把 18m 其中一根截成 10.5m 由表 1B 成品规格可得：N2= 89/20
17、 =4.5总长度允许有0.5m 的误差，总根数允许比标准根数少 1 根，则根据固定参数m=0.5m 得出：98 = 8n2+ 2m即：44.5 = 4n 2 + m(t 为整数，X 0 、 y0 为方程的一组特得出：98 = 8n 2 + 2m为了减少计算量，我们根据不定方程组得定理 2 快速得到配比方案，即： ax + by = c (a0 、b0 ),若（ab）= d 1 则该方程由整数解方程通解为：X = x0 + bt Y = y0 + at解)可知：我们应把原料分成不同的堆数每几根为一堆，每几堆为一捆求解。因此，根据98 = 8n2+ 2m 就可以确定应把原料分成 R 堆，每 4 根
18、为一堆，每两堆为一捆，总捆数为 t,则可得：R = 2t (t 为正整数)又因为在利用不定方程求解 C 规格成品的优化搭配过程中，把 23.5 = n + 11m 提前一个固定常数来求解，即 23.5 = n + 10m ，为保证总长度允许的误差小于0.5m ，则在确定每一组常数时，n 2 = 10.5m 则：7 = n2 - 7m7.5 = n2 6m8 = n2 5m 13.5 = n2 - 6m把余下的被分割的待用原料与 B 规格成品范围（7m13.5m）内原料结合，可建立不定方程组：YB1 + YB2 +YB3 + + YB14 =4YB1(n2 - 7m) + YB2 (n2 - 6
19、m ) + + YB14 (n2 + 6m )= 4 n2 + m(其中 YB1 、Y B2 、Y B3 、 Y B14 为正整数)解得：表 57 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5堆数 24 26 22 25 25 23 22 20 31 23 22 59 18 2718 18 18 18 18 6 6 12 618 18 18 18 181 1 1 1 12 2 4 1 20 20 20 20 20 2 2 2 2 2 3 3 6 4 7 7 14 7 5 5 5 10 1 2 1 1 2 2 2 2 224 24 12 25 2
20、2 12 21 20 31 23 22 59 18 2724 26 22 25 22 23 22 20 31 23 22 59 18 270 2 10 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 0表 6n-7m n-6m n-5m n-4m n-3m n-2m n-m n n+m n+2m n+3m n+4m n+5m n+6m1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
21、1 所以可以把该原料分成 84 堆，每 2 堆为一捆，则：t = 84/2 即 t = 42（捆）因此，B 规格的成品分为 42 捆，还剩余 2 更 7.5m 、10 根 8m、11 根 9.5m 、1根 10m模型三 规格成比的优化配置在规格常品德优化配置中依然有剩余原料，为了提高原料的使用率、使其质量好，捆数达到对多，我们仍采用对剩余原料进行降级处理，并对它们进行由配方的结论可知剩余原料如下表：长度 10 9.5 8 7.5根数 1 11 10 2分割结果为：（1 根）10m 5m+5m(11 根)9.5m 4.5m+5m 集合前面的跟数算总根数建立列表（10 根）8m 3.5m+3.5m
22、（2 跟）7.5m 3m+4.5m从表 A 成品规格可观察出：N3=89/20=4.53=4.5-3*0.53.5=4.5-2*0.56.5=4.5+4*0.520m3-2m=89同 B 规格成品的优化配置的方法可得3 = n3 - 3m3.5 = n3 - 2m4 = n3 - m 6.5 = n3 + 4m同理此方案也可以吧原料分为 W 堆,每 10 根肠衣为一捆，每 2 捆为一堆，总捆数为 q,则：W = 29 堆 （W 、 q 为正整数）所以可建立不定方程组为：ZA1 + ZA2 + ZA3 + + Za8 =10ZA (n3 - 3m ) + ZA2 (n3 - 2m ) + + Z
23、A8 (n3 + 4m )（Z A1 、 Z A2 、Z A3 Za8为正整数）解如下表所示表 7n-3m n-2m n-m n n+m n+2m n+3m n+4m堆 数 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 总 数4 1 9 105 4 5 1 106 5 1 4 105 1 4 5 103 5 1 4 107 4 2 1 3 107 5 1 4 102 5 2 1 102 7 1 105 1 4 102 7 1 103 1 3 3 10长 度 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5堆 数 43 59 39 41 27 28 34 216 24 12 6 18 603 1
24、5 3 12 305 5 20 25 502 10 2 8 205 10 35 5 503 15 3 12 301 4 1 1 4 101 1 5 2 2 102 4 10 4 2 201 2 7 1 101 2 3 2 2 1 101 2 3 1 4 101 1 1 7 1 1032 320所以得出：总的 A 类原料可以分为 32 堆，每 10 根为 1 堆，每 2 堆为 1 捆，则可以得到 16 捆 A 规格产品.即：q = W/2 =32/2 =16 （捆）因此，A 规格成品可以装成 16 捆且还剩余 42.5m.其中有 1 根 3.5m、8 根 4.5m、1根 5m 。综上所述：A、B
25、、C 三种规格成品的总捆数为 199 捆，还剩余原料总长度为 42.5m.其中有 1根 3.5m、8 根 4.5m、1 根 5m .成品的保鲜问题模型：为了食品保鲜要在 30min 内完成，可有两种理解：1） 捆这批原料捆成成品要在 30min 内完成2）捆扎好的成品要在 30min 内把它保鲜完模型 1）假定该批原料就采用这种新型肠衣盐卤渗透保鲜管，则一定能在 30min 内完成。因为它是一种新型的机械加工设备，可达成有效的保鲜时间，它包括罐体（呈圆柱状，圆柱状上没有渗透孔）它主要采用了在圆柱上开设渗透孔的设计，使管体通透性大大提高，盐卤通过渗透孔进入管体内部，使肠衣内层（即紧贴硬质塑料管的部分）也接触到盐卤，从而达到保鲜的效果。所以在 30min 内能完成保鲜任务。模型 2）这批原料捆成成品要在 30min 内完成，分为以下几种情况说明：1.假定在同一规格的成品内 (每捆根数相同)，则每捆中不同长度的原 料进行捆绑，若要保证其在 30min 内完成，则需增加工人数量；
