泛函极值及变分法(共50页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量J有一值与之对应，或者说数J对应于函数y(x)的关系成立，则我们称变量J是函数y(x)的泛函，记为Jy(x)。例1：如果表示两固定端点A(xA，yA)，B(xB，yB)间的曲线长度J（图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到： （2.1.1）显然，对于不同的曲线y(x)，对应于不同的长度J，即J是函数y(x)的函数，J=Jy(x)。图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一最速降线问题，如果2.1.2所示。设在不同铅垂线上的两点P1与P2连接成某一曲线，质点P在重力作用下沿曲线由点P1自由滑落到点P2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线