1、- 1 -长江水质评价和预测的数学模型摘 要本文以长江流域的水质污染状况为背景，首先通过对 个观测站点近两年多的水17质状况有关数据的统计，应用概率统计分析方法，对长江水质状况作出了定量综合评价，并分析各地区水质污染情况，发现南昌水质污染较为严重。其次，针对长江干流 7 个观测站近一年多的基本数据，引用了河流污染物中非守恒物质的净化过程满足的一级反应动力学规律，建立河流中污染物一维稳态衰减规律的微分方程模型，求解出了这一年多长江干流上 7 个观测站的排污量，分析得出高锰酸盐指数主要的污染源是在湖南岳阳、湖北宜昌、重庆朱沱、江苏南京等地，每天的高锰酸盐指数排放量分别为 3974.6 吨、3047
2、.4 吨、 2808.9 吨、2713.3 吨；氨氮排放的主要污染源为湖南岳阳、湖北宜昌、重庆朱沱、江西九江等地，每天的氨氮排放量分别为 384.6309 吨、275.7372 吨、243.8681 吨、221.1189 吨。再次，利用过去 10 年的主要统计数据，运用基于灰色系统的灰色预测方法，预测出未来 10 年长江的水质污染情况。并通过预测到的未来 10 年内有关长江干流水质情况，在要求 IV 类和 V 类水的比例控制在 以内，且没有劣 V 类水前提下，建立以未%20来 10 年的处理的污水总量最小为目标的规划模型，通过求解模型可得未来 10 年每年需要处理的污水量分别为 43.4 吨、
3、56.2 吨、60.28 吨、70.75 吨、。最后，对长江水质污染状况给出了解决长江水质污染问题的一些可行的建议和意见。关键词：水质类别；灰色预测；水质污染 1 问题的提出水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理是重中之重。 长江是我国第一、世界第三大的河流，长江的水质污- 2 -染程度却日趋严重，已引起了相关政府部门、专家们的高度重视。为了揭示长江的污染情况，引起人们的注意，专家们对长江沿线 17 个观测站（地区）近两年多主要水质指标进行了考察并给出了相关的检测数据、19952004 年长江流域水质的主要统计数据，以及干流上 7 个观测站近一年
4、多的基本数据（站点距离、水流量和水流速） ，和国标(GB3838-2002) 给出的地表水环境质量标准中 4 个主要项目标准限值（其中、类为可饮用水） ， 现 要求对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况；进一步研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的主要污染源地区；假如不采取更有效的治理措施，依照过去 10 年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来 10 年的情况；根据预测分析，如果未来 10 年内每年都要求长江干流的类和类水的比例控制在 20%以内，且没有劣类水,那么每年需要处理的污水量 ；提出自己对解决长江水质
5、污染问题的切实可行的建议和意见。 2 模型的假设2.1 长江干流的自然净化能力是近似均匀的。2.2 影响水质类别的 4 个主要项目标准限值中取其最差水质类别为该样本水质类别。2.3 主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数取 0.2（单位：1/天） 。2.4 水质的类别主要以溶解氧、高锰酸盐指数和氨氮这三个项目为衡量标准。3 符号的约定：第 个观测站的污染物的浓度（单位： ） ；iCLmg/：主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数（单位：1/天） ；K：第 个观测站的河流断面平均水流速（单位： ） ；iu s/：第 个观测站与第 个观测站之间的距离（单位： ） ；ix1i k： 第 个观测站的水
6、流量（单位： ） ；il sm/3：第 个观测站（地区）的污染物总量（单位： ） ；iMg：第 个观测站的污染物总量中来自第 个观测站（地区）的污染物的量（单位：i 1i） ；mg：第 个观测站（地区）的排污量（单位： ） ；i mg4 模型的建立4.1 问题一411 根据题意的分析可知，I、II、III 类为可饮用水，而其中 III 类水属于被轻度污染的水质，IV、V、劣 V 类水都是受到较严重污染的水且污染程度逐类增加，按污染程度的不同把各类水分三大类对干流的 7 个观测站点和支流 10 个观测站点出现三大类水的情况进行统计，例如：2003 年 6 月出现 IV,V,劣 V 类的站点是 0
7、 个，III 类水的站点为 1 个，而 I,II 类是 6 个站点。通过对给出的附件 3 进行统计得到下面的表- 3 -1（长江 7 个干流点，分别依次为：四川攀枝花、重庆朱沱、湖北宜昌南津关、湖南岳阳城陵矶、江西九江河西水厂、安徽安庆皖河口、江苏南京林山，在 28 个月中每个月的水质类型分布情况）和表 2（长江 10 个支流点，依次分别为：四川乐山岷江大桥，四川宜宾凉姜沟，四川泸州沱江二桥，湖北丹江口胡家岭，湖南长沙新港，湖南岳阳岳阳楼，湖北武汉宗关，江西南昌滁槎，江西九江蛤蟆石，江苏扬州三江营，在 28 个月中每个月的水质类型分布情况）2003,6 2003,7 2003,8 2003,9
8、 2003,10 2003,11 2003,12 2004,1 2004,2 2004,3IV,V,劣 V0 0 0 0 0 0 0 0 1 0III 1 2 0 1 1 0 1 1 2 0I,II 6 5 7 6 6 7 6 6 4 72004,4 2004,5 2004,6 2004,7 2004,8 2004,9 2004,10 2004,11 2004,12 2005,1IV,V,劣 V0 0 0 0 0 1 0 0 0 0III 0 1 0 2 1 1 0 0 1 2I,II 7 6 7 5 6 5 7 7 6 52005,2 2005,3 2005,4 2005,5 2005,6
9、2005,7 2005,8 2005,9IV,V,劣 V0 0 0 0 0 0 0 0III 1 2 1 1 1 0 2 1I,II 6 5 6 6 6 7 5 6表 12003,6 2003,7 2003,8 2003,9 2003,10 2003,11 2003,12 2004,1 2004,2 2004,3IV,V,劣V2 5 3 2 2 3 5 5 5 5III 2 1 1 3 2 4 2 1 1 2I,II 6 4 6 5 6 3 3 4 4 32004,4 2004,5 2004,6 2004,7 2004,8 2004,9 2004,10 2004,11 2004,12 2005
10、,1IV,V,劣V3 4 2 3 1 1 2 2 3 2III 2 2 3 4 4 2 2 2 3 3I,II 5 4 5 3 5 7 6 6 4 5月份分类月份分 类- 4 -2005,2 2005,3 2005,4 2005,5 2005,6 2005,7 2005,8 2005,9IV,V,劣V4 1 1 1 2 1 1 1III 0 3 3 4 1 3 3 2I,II 6 6 6 5 7 6 6 7表 2从表 1 和表 2 可以看出：长江干流的水污染不严重，只有两个月份存在 IV,V,劣 V 类污染水。III 类轻度污染的水所占比重也比较小。长江支流的水有一定程度的污染，28 个月中，
11、每个月至少有一个支流的观测站点存在 IV 类、 V 类和劣 V 类水，最多的时候有 5 个支流的观测站点存在 IV 类、V 类和劣 V 类水。且枯水期和平水期比丰水期存在 IV 类、V 类和劣 V 类水的观测站点多一些。下面对长江干流 7 个观测站的水质的 4 个项目指标进行分析。PH 值为无量纲量在此不讨论。对于高锰酸盐指数(CODMn)、氨氮（NH3-N） 、溶解氧（DO）中的每一项监测项目，把七个观测站点的每月每一项目的数据进行累加，然后求出每月每一项目指标的平均值，再求出对应的类别（I 类，II 类，III 类，IV 类，V 类，劣 V 类） 。每月的水质类别对应有 3 个值，根据附件
12、 3 的水质分类标准，我们取各项目中水质类别最差的那一个作为长江水的水质类别。图象如图 1 所示： （图 1）从图 1 可以看出，长江干流大部分时间里的水质都为 II 类，有个别月份的水是 III类水。第 3 个月的水由第 2 个月的 II 类水变成 III 类水； 第 8 个月水也由第 7 个月的II 类水变成 III 类水，一直持续到第 9 个月；第 19 个月水则由第 18 个月的 II 类水变成III 类水，持续的时间有 6 个月之长，即一直持续到第 24 个月。由此可见，水质的净化时间变长了。综上可得，长江干流的水污染不严重（这主要是因为长江水量目前还比较大，掩盖了长江水质污染问题的
13、重要性） ，而长江支流的水则有一定程度的污染，长江干流的自然净化能力越来越差。412 下面对各地区的水质的污染状况进行分析：图 2-4 为 17 个观测站的平均的水质类别和各站各自水质最差、最好的水质类别。用均值的方式求出各个点 3 个项目 28 个月的水质各自对应标准值的均值，求出对应的类别。我们取各项目中水质类别最差的那一个作为长江水的水质类别。跟上面类似，- 5 -可以求出长江 17 个观测站的水质类别，如图 2-4 所示：图 2-4表 3（如下）为长江在近两年多共 28 个月，17 个观测站每个观测站的水质分布情况：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14、 16 17IV,V,劣 V2 0 0 0 0 0 0 15 4 8 0 11 3 1 25 4 1III 3 8 3 10 0 1 1 9 4 4 0 14 10 9 3 5 7I，II 23 20 25 18 28 27 27 4 20 16 28 3 15 18 0 19 20表 3综合表 3 和图 2-4 可以得到各地区水质的污染状况：1没有污染（水质类别为 I，II 类）的观测站：江西九江河西水厂、湖北丹江口胡家岭轻度污染（水质类别为 III 类）的观测站：重庆朱沱、湖北宜昌南津关、湖南岳阳城陵矶、安徽安庆皖河口、江苏南京林山2污染较严重（水质类别为 IV,V,劣 V 类）的观测站：
15、四川攀枝花、四川乐山岷江大桥、四川宜宾凉姜沟、四川泸州沱江二桥、湖南长沙新港、湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉宗关、江西南昌滁槎、江西九江蛤蟆石、江苏扬州三江营（其中水质类别为劣V 类的观测站为：四川泸州沱江二桥、江西南昌滁槎）其中水质最差的观测站为江西南昌滁槎，因为江西南昌滁槎在 28 个月中水质类别最好的那一个月都有轻度污染。 站点分类- 6 -4.2 问题二一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。即：本地污染物总量本地区排污量来自上游的污染物于是得到：本地区排污量本地污染物总量-来自上游的污染物本地污染物总量我们已经通过附录 3 得到，对于来自上游的污染物，我们有下面的关
16、系：进入环境中的污染物可以分为两大类：守恒物质和非守恒物质。因为江河自身对污染物有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低，所以河流污染物高锰酸盐指数和氨氮属于非守恒物质，从而河流污染物高锰酸盐指数和氨氮的净化过程满足一级反应动力学规律2，即 KCdt积分，得 te0其中， 为污染物浓度， 为上一观测站的污染物浓度， 为反应时间。C0Ct在流速为 ，距离为 的两个观测站之间，有 ，于是uxuxtKe0记长江干流上的七个观测站的污染物浓度的观测值为 ,( ,2,，7 分别代表iC1四川攀枝花、重庆朱沱、湖北宜昌南津关、湖南岳阳城陵矶、江西九江
17、河西水厂、安徽安庆皖河口、江苏南京林山)。则这七个观测站中第 个观测站污染物的总量（溶质i的量）为 iM( ,2,，7)TlCii1i来自上一观测站（即第 个观测站）的污染物的量为：1( ,3,4,5,6,7)leiuKxiii1 2i从而第 个观测站（地区）的排污量为：i( ,3,4,5,6,7)iiiMi4.3 问题三在不采取更有效的治理措施情况下，长江流域的水质变化趋势：通过对长江流域各个时期（枯水期、丰水期、水文年）的各种流域（全流域、干流、支流）各类水（类、类、类、类、类和劣类）的所占总流域的百分比进行统计、作图，观察发现各类水的变化趋势很不明显，很难预测未来 10 年的各类水的变化
18、趋势，比如：对水文年的全流域的各类水统计作图（如图 6-1）.因此对未来10 年的长江流域的变化趋势进行直接的拟合办法是不可行的或者说是非常难拟合得到相关函数来预测未来 10 年水质变化.- 7 -对直接无法拟合出各类水的变化趋势的情况下，只能通过间接办法去预测未来 10年的水质变化.通过多个角度尝试，统计、作图寻找有明显变化趋势的数列或曲线，对已知的过去 10 年长江流域的各类水的所占百分比情况，按各个时期不同流域的 6 类水的 9 种情况，运用灰色预测3的方法，对已知的参考数据列，例如：某个时期的某一种流域的某一类水前 10 年的数据列成数列为： )10(,)3(,2),1(00)( xx
19、x做数列的 1 次累加生成新的数列： )0()9(,)2(1),(0,1)1()()()( xxx即 ki1)0()1(这样 1 次累加后生成的数列，通过从统计的结果，进行作图，观看其变化情况猜测其拟合曲线，运用最小二乘法拟合出该数列曲线的多项式，作出拟合多项式的曲线，再从多个角度去分析曲线，通过灰色预测的白化型思想可构造曲线函数 ，rikeix)(1其中 和 为待定系数.kr利用前 10 年的数据可以确定 、 的值，对于不同时期的不同流域和不同类别的kr水， 、 的值是不一样的，通过确定不同时期的不同流域和不同类别的水 、 的值r后，从而可以预测出未来 10 年的不同时期的不同流域和不同类别
20、的水的百分比 )()1(1()0irieix4.4 问题四要控制未来 10 年内每年长江的干流的类和类水的比例控制在 以内，且没%20有劣类水，未来 10 年内每年都进行污水处理情况下，水质的变化如下图：根据问题三，预测的长江干流类、类和劣类水在未来 10 年的百分比，每年的向长江排放的废水量 ：根据 1995 年2004 年的废水排放总量（亿吨）qL1=174，179，183，189 ，207，234，220.5，256，270，285; 运用最小二乘法拟合可得出污水量（亿吨）关于时间（年）的函数： ，从而167.3503.t 0.852tq可预测出 2005 年2014 年的废水排放总量
21、L2=308.8750 331.7614 356.3182 382.5455 410.4432 440.0114 471.2500 504.1591 538.7386 574.9886; 考虑处理的污水是就预测的干流的劣类水的水量和类与类总和的比例控制在 以内；即%210minixz流入长江干流高浓度的污水处理低浓度的污水干流类和类水的比例小于 20%，劣类水=0- 8 -)(02(5)4)6)(5)(4)(6)(54 iiiiiiiiiqx模型的说明：第 年 类水的处理后百分比)(ijj：第 年 类水的处理前的百分比)(ij：第 年处理的污水理ix目标： 求未来 10 年内处理污水总量的最小
22、约束条件：第 年的类和类水的百分比小于等于 20%i第 年的劣类水的百分比为 0每年处理的污水量小于等于总污水量每年处理的污水量与总污水量之比等于处理的类和类、劣类比例5 模型的求解5.1 问题二的求解取 天，即考查一天内流过各个观测站的污染物总量，运用数学软件 MATLAB1T计算，可以得到在近一年多以来的长江干流各观测站的排污量表 4、表 5 所示：表 4：（高锰酸盐指数，单位：吨）四川攀枝花重庆朱沱湖北宜昌湖南岳阳江西九江安徽安庆江苏南京2004.04 733.3 3830 2736 5854 4882 2232 10572004.05 1382.1 1860 4476 4626 597
23、8 3748 16712004.06 866.2 3264 5429 3627 3637 0 35002004.07 966.3 4190 4510 5405 2023 0 25482004.08 1874.2 942 5774 5606 2350 451 22412004.09 3.309.8 1597.3 5319 8672 1788 0 86172004.10 225.3 2140 5238 3359 0800 2390 32072004.11 362.9 1272 1387 2182 2084 1411 20052004.12 131.5 685 1391 2782 1862 439
24、19892005.01 73.8 430 676 3467 1652 1449 24512005.02 47.6 549 737 2081 2387 1592 22372005.03 59.2 766 891 2343 1747 3609 19332005.04 61.0 615 1053 1667 2346 2441 1816平均值 776.39 2808.9 3047.4 3974.6 2579.5 1520.2 2713.3表 4观 测站年月- 9 -表 5：（氨氮，单位：吨）四川攀枝花重庆朱沱湖北宜昌湖南岳阳江西九江安徽安庆江苏南京2004.04 47.8224 227.9842 41
25、4.5194 397.7098 485.4514 104.1067 02004.05 22.4986 295.3387 432.7168 391.7485 388.2982 333.2841 02004.06 13.8586 214.1800 522.1924 396.4713 83.3343 174.6513 02004.07 16.1050 246.9524 217.4539 582.5747 26.7270 314.1896 02004.08 323.1360 2.3579 338.3506 533.4215 333.2200 0 02004.09 48.8333 626.7056 96
26、2.4152 587.9010 790.6912 0 02004.10 22.5331 311.9471 254.7858 483.2013 70.6352 131.8854 02004.11 7.7760 187.6008 172.1081 308.2998 181.8772 0 27.76982004.12 6.5733 286.0925 46.1546 256.3614 69.4142 85.4045 80.53242005.01 4.3062 186.2880 55.8923 280.7225 147.6820 97.5621 222.95822005.02 7.9315 169.38
27、37 57.0715 285.2070 65.7243 145.8013 353.55762005.03 13.9951 218.2401 71.1863 241.8091 87.0131 340.7030 02005.04 5.5469 197.2138 39.7366 254.7743 144.4778 151.6912 313.5164平均值 41.6089 243.8681 275.7372 384.6309 221.1189 144.5599 76.7950表 5（注：由于攀枝花是所有的观测站中最上游的一个，故可认为其本地区排污量即为观测值。表中为 0 值的表示的是在当月本地污染物总
28、量来自上游的污染物的量，为负值，当然，本地区排污量不可能是负值，为了更加符合实际，故而令本地区排污量为 0.）这样，从表 4 中可以看出长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数的污染源主要在：湖南岳阳、湖北宜昌、重庆朱沱、江苏南京这四个地区；而从表 5 中可以看出，氨氮的污染源主要在：湖南岳阳、湖北宜昌、重庆朱沱、江西九江这四个地区。5.2 问题三的求解通过统计丰水期长江全流域、丰水期干流、丰水期支流、水文年全流域、水文年干流、水文年支流、枯水期全流域、枯水期干流、枯水期支流的 6 类水所占总河长的百分比，运用灰色预测的方法进行逐类水逐类水分开单独预测，通过区分成各个类别的水去推导各类水未来百分
29、比，可预测得未来 10 年的这九种情况的 6 类水的百分比，如下表：时期 年度 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 劣类(%)2005 0.5161 31.9264 32.1923 19.3933 8.4364 7.50882006 0 32.3582 30.1779 20.7782 9.2636 8.06792007 0 32.7900 28.1635 22.1630 10.0909 8.62702008 0 33.2218 26.1491 23.5479 10.9182 9.18612009 0 33.6536 24.1347 24.9327 11.7455 9.745220
30、10 0 34.0855 22.1203 26.3176 12.5727 10.30422011 0 34.5173 20.1059 27.7024 13.4000 10.86332012 0 34.9491 18.0915 29.0873 14.2273 11.4224丰水期全流域2013 0 35.3809 16.0771 30.4721 15.0545 11.9815观 测站年月- 10 -2014 0 35.8127 14.0627 31.8570 15.8818 12.5406时期 年度 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 劣类(%)2005 0 44.0629 25.
31、4895 11.7098 6.4026 12.56972006 0 46.2258 22.9797 11.7500 6.8367 13.88792007 0 48.3886 20.4698 11.7902 7.2708 15.20612008 0 50.5515 17.9600 11.8303 7.7048 16.52422009 0 52.7144 15.4502 11.8705 8.1389 17.84242010 0 54.8773 12.9403 11.9106 8.5730 19.16062011 0 57.0402 10.4305 11.9508 9.0071 20.4788201
32、2 0 59.2030 7.9206 11.9909 9.4412 21.79702013 0 61.3659 5.4108 12.0311 9.8753 23.1152水文年全流域2014 0 63.5288 2.9009 12.0712 10.3094 24.4333时期 年度 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 劣类(%)2005 0 28.7650 38.8544 18.4806 8.1735 7.67292006 0 28.0173 38.1718 19.8018 9.0561 8.71912007 0 27.2695 37.4892 21.1230 9.9386 9.
33、76532008 0 26.5218 36.8067 22.4442 10.8212 10.81152009 0 25.7741 36.1241 23.7655 11.7038 11.85772010 0 25.0264 35.4415 25.0867 12.5864 12.90392011 0 24.2786 34.7589 26.4079 13.4689 13.95022012 0 23.5309 34.0764 27.7291 14.3515 14.99642013 0 22.7832 33.3938 29.0503 15.2341 16.0426水文年干流2014 0 22.0355
34、32.7112 30.3715 16.1167 17.0888时期 年度 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 劣类(%)2005 1.0812 48.4462 23.6373 8.7027 5.4883 12.64592006 0 51.5955 21.1327 7.9891 5.6603 13.74822007 0 54.7447 18.6282 7.2755 5.8323 14.85052008 0 57.8939 16.1236 6.5618 6.0042 15.95272009 0 61.0432 13.6191 5.8482 6.1762 17.05502010 0 6
35、4.1924 11.1145 5.1345 6.3482 18.15732011 0 67.3417 8.6100 4.4209 6.5202 19.25952012 0 70.4909 6.1055 3.7073 6.6921 20.36182013 0 73.6402 3.6009 2.9936 6.8641 21.4641水文年支流2014 0 76.7894 1.0964 2.2800 7.0361 22.5664时期 年度 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 类(%) 劣类(%)2005 0 39.4705 30.6277 12.9214 5.0106 15.62062006 0 41.2227 29.2664 12.6797 5.1394 17.2327枯水期全 2007 0 42.9750 27.9050 12.4380 5.2682 18.8448
