1、第 1 页 共 66 页小波分析在测试信号中的应用研究摘要小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的应用。研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。本文旨在描述小波的基本理论，使用小波去噪算法。主要工作包括：详细讨论了小波分析的基本理论：介绍了连续小波变换，离散小波变换和二进小波变换；给出了小波变换的快速算法和重构算法；最后研究了小波基的数学特性，分析了它们对实际应用的影响和作用。详细介绍了Donoho和Johnstone等人提出的基于小波分析的硬阈值和软阈值函数去噪方法及其在信号处理中的应用，使用了软阈值去噪方案，最后通过Matlab仿真试验证实
2、该方案的正确性和有效性。最后是整篇论文的总结。关键词： 小波变换，小波去噪，MATLAB，阈值Application and research of Wavelet analysis on test signalsABSTRACTWavelet analysis is a rapidly developing and novel subjectNowadays，it has been widely used in practical applicationsTo study the new theory，methods and applications of wavelet is of gre
3、at theoretical significance and practical valueThis dissertation aims to consummate the wavelet theory，use some wavelet de-noising algorithmsThe thesis mainly includes the following aspects：The fundamental theories of wavelet analysis are discussed in detailContinuouswavelet transform，discrete wavel
4、et transform and dyadic wavelet transform are includedThe fast algorithm of discrete dyadic wavelet transform is givenFinally，an analysis is made on the influence of the wavelet bases on practical applications bystudying their mathematical properties第 2 页 共 66 页This dissertation introduce de-noising
5、 methods which is proposed by Donoho and Johnstone of the hard threshold and soft threshold function on wavelet and its application in signal processing in detail. Soft threshold method is applied. Finally, it is confirmed by the MATLAB simulation the correctness and effectiveness of the program.KEY
6、 WORDS：wavelet transform,wavelet de-noising,MATLAB,thresholding1 绪论简要介绍小波发展的历史和小波在不同领域中的应用概况。小波分析是近十几年来在国际上掀起研究热潮并有广泛应用价值的一个研究领域，探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当今数学界和工程界的一个发展方向。其涉及面之广、影响之大、发展之迅猛是空前的。小波分析之所有得到快速发展是因为它克服了傅里叶分析的缺点和局限性，第 3 页 共 66 页是傅里叶分析的一个突破性进展，是一种崭新的时频分析方法。经典的傅里叶分析是通过信号的频谱来研究分析信号的特性的，傅里叶分析便成功成为最完
7、美的数学理论与最广泛和有效地被应用着的（无论是在数学内部还是在科学与工程中）数学方法之一。虽然傅里叶分析方法方便有效，然而，经典的傅里叶变换有它固有的缺点，由傅里叶变换的定义可见，傅里叶变换取决于信号在实轴(- ，+ )上 的整体性质，因此不能反映出信号在局部时间范围中的特征，即在时空域中没有任何分辨傅里叶变换在任何有效频段上的信息都不足以确定在任意小范围内的信号，无论在理论上还是实践中这个事实都带来许多困难和不便。在许多实际问题中，人们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特征。例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么位置出现什么样的反射波。这正是傅里叶变换难以奏效的弱点，而小波分析则给信号
8、处理领域带来了崭新的思想。小波分析以不同的尺度（或分辨率）来观察信号，对信号分析的这种多尺度（或分辨率）的观点是小波分析的核心。小波分析与傅里叶分析的本质区别在于：傅里叶分析只是考虑时域与频域之间的一对一映射，它只是用单个变量的基函数表示信号；小波分析则是用联合的时间尺度函数来分析信号的，从根本上克服了傅里叶分析只能在时间域或频率域分析信号的缺陷。小波分析与时频分析的区别则在于：时频分析是在时频平面上分析信号，小波分析虽然也是在二维平面上分析信号，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间尺度平面上。众所周知，信号处理现如今已成为当代科学技术活动中不可缺少的一部分，而在小波分析的许多领域中，都可以将
9、其归结为信号处理问题。小波分析可以对信号进行时域和频域分析，具有时频局部化和变分辨特性，是一种新的多分辨分析方法，特别适合分析和处理非平稳信号，被誉为信息信号的“显微镜” 。作为信号处理和分析的工具，傅里叶分析曾在数字信号处理领域占据绝对的位置，但随着小波理论的日趋完善，小波分析显示了其强大的生命力和显著的优越性，并且正在信号处理以及其他许多领域取得越来越广泛和深入的应用。1.1 小波发展简史近几年来，一种被称为小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起了一场轩然大波。在数学家看来，小波分析是一个新的数学分支，是泛函分析、傅里叶分析、样条分析、调和分析的最完美结晶。小波分析源于信号分析，小波分
10、析第 4 页 共 66 页的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，可以追溯到 1910 年 Haar 提出的小“ 波”规范正交基及1938 年 Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的 L-P 理论，即按二进制频率成分分组，傅里叶变换的相位变化本质上不影响函数的形状和大小。其后，Calderon 于1975 年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上 的运作分解，它的离散形式1已接近小波展开，只是还无法得到组成一个正交系的结论。1981 年，法国地球物理学家 Morlet 在分析地震波的局部性质时，发现传统的傅里叶变换难以达到要求，于是引入“小波 ”概念对信号进行分解。随后，
11、理论物理学家 Grossman 对 Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于 1986 年，当时 Meyer 创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数 ，其二进制伸缩与平移( *t)= ( t-k)：j,k 构成 (R)的 . 2/22 2规范正交基。继 Meyer 提出了小波变化之后，Lemarie 和 Battle 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987 年，Mallat 巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函数的构造及信号按小波变换的分解及重构，从而成功地统一了在此
12、以前的 Meyer、Lemarie 和 Battle 提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法现今称之为 Mallat算法有限应用于图像分解与重构。与此同时，Daubechies 构造了具有有限支集的正交小波基，她的工作已成为小波研究的经典文献之一。这样小波分析的系统理论初步得到了建立。1988 年，Ameodo 及 Grasseau 等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生长现象。1990 年，崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的所谓的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。同时，Beylkin、 Coif
13、man 等将小波变换应用于算子理论。1991 年，Jaffard 及 Laurencot 将小波变换应用于偏微分方程数值解，而 Wickerhanser 等将 Mallat 算法进一步深化，得到小波包算法，它对频带的划分突破了小波分析等划分的限制，拓宽了小波信号分析的适用范围，但是解决的关键问题是最优基选择和信号的自适应最优表示。Goodman 等 1994 年基于 r 元多分辨分析建立了小波非基本理论框架，并给出了样条多小波的例子。1995 年，Sweldens 提出了通过提升方法（lifting scheme） 构造新二代小波的新思想。利用第 5 页 共 66 页这种方法可以构造非欧空间中
14、不允许伸缩和平移，从而傅里叶变换已不再适用的情形下的小波基，使小波的构造摆脱了对傅里叶变换的依赖性。1996 年，Donovan、Geronimo 、Hardin 和 Massopust 将分形理论中的迭代函数系统用于双尺度差分方程组，再次利用分形差值构造了所谓的 DGHM 小波。1998 年，为了解决小波处理中高维奇异性等所带来的问题，Gandes 在他的博士论文中首次提出了“脊波”（ridgelet）的概念。脊波是用一系列脊函数的叠加来表示相当广泛地函数类，同时具有基于离散变换的“近似正交” 的脊函数框架。脊波的理论框架是由Gandes 和 Donoho 完成的，它能够对高维空间中的直线状
15、和超平面状的奇异性进行很好的逼近。时至今日，小波理论已相当丰富，并在继续蓬勃发展着。1.2 小波分析及其应用小波分析是近期发展起来的新型数学分支，小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结果，它无论是对数学还是对其它应用学科都产生了深远的影响。在数学界，它被认为是现代分析完美的总结，是继傅里叶分析之后调和分析发展史上的又一里程碑。在应用领域，特别是信号处理、图像处理、语言分析、模式识别、量子物理及众多非线性科学领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。小波分析是基于对傅里叶分析的继承和发展而来的一种全新的时频分析方法。我们知道，傅里叶基中的函数在频率域是完全局部化的，但
16、在空间域或时间域上午任何局部性，相反地，Haar 系中的函数在时间域上虽局部性很好，但它在傅里叶变量域上局部性却很差，小波基却兼有它们的优点。而寻求关于时间变量与频率变量都适合的基时 Balian 所提倡的，为了体现 Balian 的这一思想，Gabor 与1964 年引入了窗口傅里叶变换，但是窗口傅里叶变换是一种窗口大小及形状固定的时频局部化分析。但因为频率和周期成反比，因此，窗口傅里叶变换就无能为力了。而小波分析就是这样一种窗口大小固定但形状可以改变，因而满足以上要求的时频局部化分析方法。小波分析是对傅里叶分析的推广乃至根本性革命的结果，是一个优于傅里叶分析的有效地分析工具，已广泛地应用于
17、众多的科学和工程领域，并取得了卓越的成效。它的应用范围主要包括：小波在数学领域中的应用，如求解微分方程、积分方程、函数逼近、分形、混 第 6 页 共 66 页沌问题、概率小波、非线性分析等等。小波在信号处理中的应用，包括对信号进行分析与检测、识别、信号的滤波去噪、地质勘探、机械故障分析、地震检测等等。小波在图像处理中的应用，其中包括图像边缘信息提取与检测、图像数据压缩、图像去噪、图像编码、信息保密等。小波在通信中的应用，如 CDMA、自适应均衡、扩频通信、分形调整等方面的应用。小波分析是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结果，是科学家、工程师与数学家们共同创造的，是理论与实践的相互促进与
18、激励的产物。经过许多学科领域十多年的共同探讨研究，重要的数学形式已经建立，理论基础更加坚实，使得应用更加广泛和深入；反过来，这些应用研究也推动了小波理论的不断丰富和完善。2 小波分析理论简介2.1 小波分析小波分析在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，能够在低频部分得到较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分正好相反，得到的是较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。正是在这种意义下，它有极敏感的“变焦” 特性，被誉为“ 数学显微镜”。设 (R)（ (R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间） ，()2 2其傅里叶变换为 ( )。当 ( )满足允许条件(Admissible Con
19、dition)： = d = )dt (2.4) .1/2()(其逆变换为f(t)= (a,b) ( )dadb (2.5)112 因为小波函数 是一个对称双窗函数，当 得的中心及半径分别为 和 时， 同时当 的傅里叶变换中 的中心及半径为 （有对称性，只考虑正半频率轴， 从而 ）和 ，则 的伸缩、平移函数系 的中心及半径分辨为 b+a 和 a0 , （设 a0） ， 的 Fourier 变换 的中心为 而半径为 ，亦即其时频窗由 , , 1- , + - , + 变为 b+a - a , b+a + a - , + 1 ，窗口中心为 （b, /a） 。1 0其中 b 仅仅影响窗口在相平面时间
20、轴上的位置，而 a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。 。现固定 b，则当 a 逐步减小使，窗的中心逐步向高频方向移动，同时窗的宽度减小，但窗的高度增加；当 a 逐步增大时，窗的中心逐步向低频方向移动，同时窗的宽带增大，但窗的高度减小，尽管窗口面积的大小不变。2.2 多分辨分析1998年，MaRie与Meyer 合作提出了多分辨分析的框架，其主要思想是：从(R)某个子空间出发，在这个子空间先建立起基底，然后利用变换，再把基底扩2充到 (R)中去，最终将 (R)分解为一串具有不同分辨率的子空间序列。小波分析2 2能够为 (R)提供一个结构简单且具有良好局部性质的正交基。为此从多分辨
21、分析2开始。空间 (R)的多分辨分析(简称MRA)是指 (R)中的满足如下条件的一个空间序2 2列 ：(1)一致单调性：第 8 页 共 66 页21012(2)平移不变性： u(x) u(x-k) (3)伸缩相关性：u(x) u(2x) +1(4)逼近性：= (R), =02 (5)Riesz基的存在性：存在 ，使 是 的Riesz 基0 ()0从以上条件我们可以得出 (x)(称为尺度函数) 满足下面的双尺度方程：(x)= (2x-k) (2.6) 2通过以上条件，我们可以证明，存在尺度函数 ，使它的平移系 (x)=0 ， ( x-k):j,k Z构成所有 规范正交基。但因为 仅仅是 (R)的
22、单调2/22 2的嵌套子空间序列，不是 (R)的正交分解，所以不可能由 中的基合成 (R)的规2 2范正交基。因此，MRA就从 通过正交补的方法构造出 (R)的正交分解子 2空间序列 ,即所谓的小波子空间序列。具体的做法就是要从 的基构造出 的基，然后合成全空间 (R)的基小波基。 2设 是 在 中的正交补，即 +1=+1则可得到小波函数 (x)的双尺度方程：(x)= (2x-k) (2.7) 2定理2.2.1：如果 (x)为双尺度方程，记 为低通滤波器传递函数 H( )的脉冲 响应，其中 =，H( )= ,则H( )满足下列两个性质：12(2 () 2 12性质1：H(0)=1性质2： +
23、=l()2(+)2定理2.2.2：设 为 (R)的一个多分辨分析，记G( )为H( )相应的共轭 2 第 9 页 共 66 页滤波器，称为带通滤波器，记 = ，则存在 (x)使 为110 1 1()的规范正交基。令 (x)= (2x)，则 = ( x-k):j，k Z为 (R)1 1 ， 2/22 2的规范正交基。其中，G( )= (2.8)2 2(2+)(x)的傅里叶变换为( )=G( ) ( )22经过上述的过程，构造出了 (R)的规范正交基小波基。其实域表达式为：2( )= (2.9) 2(1)(2+1)所以多分辨分析为小波基，尺度函数和小波函数的构造及小波分析的应用提供了统一的框架，是
24、小波分析的核心。小波多分辨分析以其特有的方式将小波函数和尺度函数、两个特定的空间序列、双尺度函数和相应的滤波器组联系在一起。有了尺度函数，小波函数的导出就容易了。但实际上大多尺度函数无显式表达式，它们只是通过选择系数 作为(2-5)式的解来定义的，在实际应用中常采用这个方法。所以由(2-5)(2-7)(2-8)式就可以确定小波基了，其中=122()为高通滤波器冲击响应。这样，就得到了 (R)的正交分解：2(R)=2 =并且子空间之间有以下关系： =+1(k )=span ( x-k)：k Z （j Z） 2/22 =span ( x-k)：k Z （j Z） 2/22 (R)=span ( x
25、-k)：j,k Z2 2/22 第 10 页 共 66 页2.3 连续小波变换与离散小波变换对于小波概念的引入，除了通常从上述多分辨分析(MRA)这一途径外，还可以通过连续小波的定义出发。定义2.3.1： 设 (R)为一个可测的、平方可积的一维函数空间，设 (x)2 (R)，由满足 =0的函数 (x)平移、伸缩产生的函数族2 () = ( ) a,b R,a 0 .()1/2 (2.10)称为连续小波。满足允许性条件d = (2.13) .1/2()()连续小波变换的逆变换定义为：f(x)= Wf(a,b) dadb (2.14)10012 .()其中 = d .0()2 设 满足允许性条件，令 = ，则() ()1()Wf(a,b)=f = = ()（ )1()()
