1、13 车灯线光源的优化设计摘要：本文从几何角度分析了车灯线光源反射光线的线路,并通过证明,分别得出了经反射后可到达 B、C 点的线光源的长度 和反射点纵坐标 的关系，进而量化出 B、C 点的光照度 .根据光源的ty CBE、功率与光源强度、线光源的长度之间的关系,建立了线光源长度的数学模型，并利用数值计算方法，得出在满足设计规范，线光源功率最小时的线光源长度 =3.33mm.依据反射线的参数方程,利用 Maple 软件描l绘出了反射光在测试屏上近似于椭圆的亮区（见图 5）.并结合实际，从安全性、节能性等方面对本题设计规范的合理性作了分析.关键词：旋转抛物面；线光源；光强度；光源的功率1 问题的
2、提出安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,该抛物面的对称轴水平指向正前方,开口半径 36 毫米,深度 21.6 毫米.现在与对称轴垂直的水平方向,对称放置一定长度的均匀分布的线光源.现要设计一车灯,设计规范为:在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一与地面垂直的测试屏,即与 FA 垂直.在屏上过 A 引出一条与地面平行的直线,在 A 的同侧取 B 和 C 两点,使得 AC=2AB=2.6 米;并且 C 点的光强度不小于某一额定值,B 点的光强度不小于该额定值的两倍.要解决的问题：(1)在设计规范标准下确定线光源的长度,使线光源的功率最小.(2)对(1)中求的的线光源的长度,画出测试屏
3、上反射光的亮区.(3)讨论上述设计规范的合理性.2 问题的分析车灯的形状为一旋转抛物面，我们可以假设其表面的物质都是均匀的。线光源过焦点垂直于对称轴与水平面平行。线光源与 A 点构成一个水平平面，记 xoy，B、C 两点在该平面上。根据光线反射原理可以知道，能够射到直线 BC 上的点光源必存在于 xoy。我们对本题的讨论就可集中在 xoy 面上进行。对于 xoy 面上反射的光线，应分若干区域进行讨论。抓住“C 点光强度不小于某一额定值，B 点光强度不小于该额定值的两倍”这一点，建立线光源长度与抛物面上放射点的关系。3 模型假设与符号约定3.1 旋转抛物面的内表面为白体（即抛物面在折射過程中不吸
4、收光能） ；3.2 测试屏底边与地面相平；3.3 光源的功率理解为用电功率；3.4 线光源的位置为 xoy 平面上的线段 .hyx,15：单位长度发光管在单位平面角内发出的光流常数；：抛物线的焦距；P：B 点的光照度；E14 ：C 点的光照度；E：发光能力；：反射光线与水平方向的夹角；：线光源的半长度.H4 模型的建立与求解 4.1 模型的准备对于第一个问题，我们考虑一个切面抛物线的方程（以抛物线顶点作为坐标原点） ，设在 平面上的抛物线的方程为：xoy（1）p2由已知得点 （21.6,36）满足以上方程，将该点代入方程解得 p=30.所以以),(轴对称的抛物线方程为：oxx, x 0,21.
5、6, y=-36,36：602y则车灯头绕 轴旋转的抛物面的参数方程为：o（2）)sin(60),cs(,2 vuzvu在抛物线上任取一点 ,Q)sin(60),co(,60(2vuuQ 点处的法线向量为:)i(,1n15 记向量 ,则OQMana2可得与反射线平行的向量 ,及反射线上的动点 ,bQ,( 为参数)bwqOQ由条件知 ,可设0251(A)130,25(B通过的选取可使动点 到达 点,于是得到光路 的关系式为如QBQm下的方程组:-(3) 0)sin()co(26015sin)4()sin60 13(co 250)co26015)(4(602 vutuvwvuttuu命题:线光源的
6、光线只能经水平抛物线反射到 点.CB,由以上可知点光源上任意的一点 抛物面上任取的一点 ，点 的坐标分,MQB别为: )0,1325(),sin60,co,60(),15(2vuuQtM则向量 :,可 表 示 为与 Bvtvsi,c2013,51t=20Q 点处，抛物线的切线方程的法向量为： zyzyn,3,6根据反射定律,入射光线与反射光线以及法线应在同一平面上，从而得出：共面，利用向量的混合积有:nMB以 及与 ,16 =0vuvttusin60cos301325i6即 ：957849(sin2tutvu如 点不在 面上,则 ,可得Qxoysiv,60,497312390uut于是当 时,
7、点 经不能到达,由对称性知如不在面上,则发出的光0t)5(tM线不可能到 .B4.2 设计规划下的线光源长度计算下面建立线光源上一点（15，t）经点 ，反射到 B 点的 t,y 的关系式.y,602由命题一，光路 M-Q-B 的求解可在 xoy 平面上进行，如下图: 2221560tyrMQrt,sin,co, 221560yyF2tMF记 ，在 ,由余弦定理可得：QFPB中2221)cos( tgQFtF(15,0)M(15,t) Q( ),602y17 从而得到 y,t 的关系式为：（4）16025131560156024 22222 yyytytt由（4）解得：422345 149806
8、80105303)( yyyyt （5）利用（5）式及数值计算方法分析出，有下列 4 种情形可实现光路 M-Q-B: 如下图所示：（1） （2） ，78.03,2.70ty 360y4.8,（3） ， （4） ，62.3y30.15t 03t78.0t在 M 点处取微元 ，由系数 的意义， 向全平面（平面角为 ） ，发射的光量为dtdt2，设 B 处对应的微元为 ，由于 的法线于 QB 成的夹角为 ，且考虑到ds ，记QBty图（1）B图(2)yttyB图(4)B图（3）18 22)130(650yyQBr 利用光学知识，可知 对 B 处的照度所作的贡献为：dt(6)dtrA)cos(对前面的
9、四种反射区域，利用(6)式可得到有关的积分表达式，例如对于情况（2） （图 2） ，360y304.8t如 h 取定且 ，则此情形对 B 点照度产生的贡献为04.8 （7）dtrhp04.82cos由于被积函数含有 t 和 y，利用（5）式作代换 ，则有y（8）dhryt/3622其中 由 在 的范围中解出，对情形 1） ，3） ，4）可类似得出h2h2,0的表达式，于是光源在 B 处的照度为p31,（9）hpAB 4321现在把问题 1 中“线光源的功率”理解为光源消耗的电功率 w，显然 ，由于h反映线光源发射光的能力，而电能只有一部分用于发光，因此 与 一般不成线性关系， 根据物理学上关于
10、物体外表面辐射能力的公式（10）TeR4其中 e 为发射率， 式普适常数，T 为温度，如果认为 ，则有：Tw4又有，T41则有 41w于是可作以下估计：（其中 ） .（11）hw0现假设 ，可得以下的优化模型2EB19 min h（h 为线光源的半长）.3012.hts用离散方法进行计算的处下面的最优值表：取以上 h 的平均值作为优化值得 3561021故线光源总长度的优化值为 .3h用类似方法也对 C 点进行有关计算.4.3 反射光亮区的描绘利用（3）式和离散化的方法，对 t，u 设定一系列的离散值，然后由（3）的第一式解出 w，以使象点落在屏上.则由（3）的 2.3 使可得到抛物面上的截面
11、圆周在屏上的象内线，从而得出文中的附图. 图（5）4.4 设计规范合理性的讨论 CABFB51452153107h1 1 1 2 2 3F米.米20 C图中 F 和 表示汽车的两前灯，从实际情况中提炼得知：F 和 间的距离大约为 F.3 米.从设计规范中我们可知,当线光源长度设定为我们所求长度时,在行车较为合理的视程距离(FA=2.5 米)处,我们可知,水平方向上的 B 点和 C 点处的亮度之比大约为：，而汽车的两前灯间距离大约为 1.3 米.从而由图我们可知,在汽车前 25 米处的水平方向上的 点、A 点（即 点） 、B 点（即 点）和 C 点处，亮度较为均匀，因而C A对司机在夜间行车有很
12、大的帮助，大大提高了夜间行车的安全性所以，从提高安全性的角度来讲，该设计是合理的再而，从节能角度上来讲，在能达到所需照明要求的基础上，节能对汽车也是不可忽视的功率越小，耗能也越小，对发电机的影响也越小，从而有利于处长发电机的使用寿命所以，从节能和延长发电机寿命的角度来看，该设计规范也是合理的5 模型的评价由于计算线光源长度的积分函数比较复杂，为了便于计算，我们很好地采用了数值计算方法,这种方法在许多变化比较复杂的领域应用，当然数值计算方法存在一定的误差，但对于制作灯丝的精确要求，我们认为这样造成的误差是合理的。另外，我们在作反射光线在测试屏上的亮区时，利用了光线经反射后的参数方程，直接在平面上
13、作方程的曲线，大大提高了精确度。参考文献：1 姜启源数学模型M北京：高等教育出版社20002 胡运权,郭耀煌运筹学教程M北京：科学出版社19983 郭卫中空间解析几何M辽宁：辽宁人民出版社19824 母国光光学M北京：人民教育出版社19875 张以谟应用光学M天津：机械工业出版社19906 杨力先进光学制造技术M 北京：北京科学出版社2001Abstract： This article is reasonable to consider a square equation of parabola for slicing surface, simplify the model, and anal
14、yze the dynamo ray, and then make out the luminosity of point A and B. Having analyzed, we got to know that the power of the lamp-house is direct ratio to the luminosity and the length of lamp-house. Analyzing many of the points, the answer was turn out, it is 3.33millimeter. And then we used MAPLE language to compile a program to describe the lightness area on the screen. We also think about the problem through the security and the scanty. It is a model of Theories contact Actual.Keywords：circumgyrate paraboloid；lamp-house；intensity of light；power
