1、1月上柳梢头摘要北宋欧阳修脍炙人口的诗句“月上柳梢头，人约黄昏后”描写了诗人与佳人相约的情景，同时又隐含了相关天文学的知识，情景交融又富含哲理，被世人广为流传。本文首先从天文学的角度对该诗句进行赏析，然后从诗人描写的情景出发利用相关的基本天文学、物理学、知识在适当简化的基础上建立了数学模型。一年当中同一地点每天日落月出的时间均不同，而且同一时间不同地点日落月出的时间也不同，我们把一年当中日期的变化转换成太阳直射点高度的变化（ 至23.26） ，把地理位置的不同用经纬度来描述，这样不同日期不同地点日落月出的时间23.26就可以写成一个关于纬度 、经度 、太阳直射高度 的多元函数Tsun（ ，）和
2、 Tmoon（，） 。由于月上柳梢和黄昏同时发生，所以Tsun（ ，）与 Tmoon（，）时间差在一个很小的范围之间。而且，经过人们长时间的观察结果显示，日落月出同时发生，也就是说地球太阳月球三者共线的时间只能在农历的每月 15 号，再利用 Maple 数学计算软件编写相应的程序就可以计算出地球上任意一位置在农历每月 15 号能否发生“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景。本文根据相关的天文学资料验证了我们所建的模型在一定的误差范围内是合理的，并且预测 2016 年农历 8 月 15 号可以发生“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景，根据模型判断出 2016 年哈尔滨、上海、昆明、成都可以发生这一场景
3、，乌鲁木齐不能发生这一场景。最后对所建模型及求解方法的优缺点进行客观评价，并提出了相应的改进方法。关键词：Maple、经纬度 、日落时间函数、月出时间函数、线性规划2一、问题的重述“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。请用天文学的观点赏析该名句，并进行如下的讨论：1. 定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后” 。根据天文学的基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间。并根据已有的天文资料（如太阳和月亮在天空中的位置、日出日没时刻、月出月没时刻）验证所建模型的合理性。2. 根据所建立的
4、模型，分析 2016 年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。根据模型判断 2016 年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐是否能发生这一情景？如果能，请给出相应的日期与时间；如果不能，请给出原因。二、基本假设1.不考虑月食的形成。2.假设天气晴朗，便于观察。3.假设地面平整，不考虑高山、建筑物对观察的影响。4.将一个城市看成一个质点。5. 不考虑太阳落山时云层对太阳光线的散射效应。三、符号约定1. 纬度2. 经度3.sun 1 一二季度太阳直射点高度函数 (-23.2623.26)4.sun 2 三四季度太阳直射点的高度函数 (-23.2623.26)5.moon 1前半
5、个月月亮直射的高度函数 (-5.15.1)6.moon 2后半个月月亮直射点的高度函数 (-5.15.1)7.Tsun 日落时间函数8.Tmoon 月出时间函数9.n1 该天在前两个季度或后两个季度中天的序数（譬如 5 月 5 日，它是第二季度中的第五天，n 1=105）10.n2 前半个月或者后半个月天的序数（譬如 5 月 17 号，n 2=2）11. 月球每小时相对于地球转过的弧度12.DT 日落月出时间差的绝对值四、问题分析1.诗文赏析生查子 元夕欧阳修3去年元夜时，花市灯如昼。月上柳梢头，人约黄昏后。今年元夜时，月与灯依旧。不见去年人，泪湿春衫袖。图一 “月上柳梢头，人约黄昏后”意境图
6、 这首词是一首相思词，写去年与情人相会的甜蜜与今日不见情人的痛苦，明白如话，饶有韵味，也写出了情人的美丽和当日相恋时的温馨甜蜜，又写出了今日伊人不见的怅惘和忧伤。其中这句“月上柳梢头，人约黄昏后”隐含天文学的相关知识，间接的告诉了我们诗人与佳人约会的时间，此时正好是农历正月十五日太阳刚落山月亮刚升起的黄昏佳时。 “月上柳梢头，人约黄昏后”二句言有尽而意无穷。柔情密意溢于言表。2.月亮在空中的角度和黄昏后时间的定义假设柳树高度为5m，人距柳树的距离20米,人的身高为1.7m,根据三角函数和相似三角形基本数学知识求出月亮在空中的角度为9.36.根据天文学知识和日常观察经验定义黄昏后时间为日落到月出
7、的时间差或者月出到日落的时间差，不超过10分钟。3. 日落时间的计算以地球中心为原点 O,赤道所在平面为 XY 平面,东经 120 度指向西经 60 度为 Y 轴正方向.球心指向北极为 Z 轴正方向.有了 Y 轴与 Z 轴就可定 X 轴的方向(从东经 30 度指向西经 150 度)。4球面方程:X 2 + Y2 + Z2 = 1 (设地球直径为 1) 由于地球绕太阳运转时地轴与黄道平面存在一夹角（23 o26、 ） ，所以会导致太阳直射点在北回归线与南回归线之间变化。这时晨昏线与经线就会存在一定的偏差，因此我们对这一偏差做坐标变换进行修订如下：日出日落时刻圈方程:Y 2 + Z2 = 1 (Z
8、以 Z 轴作坐标变换) Z=Z*sin(+90)其中，sun 1= （ 23.26188.823.26） 180 1,2季度太阳直射点高度的 变 化函数sun 2= 3,4 季度太阳直射点高度的变化函数(23.2623.26188.8)180求纬度为 度时日落时刻与同经度下赤道上点的日落时间的差值.先解出纬度为 度时对应的 X,Y 坐标. =(+2)(+2)y=(12)0.5所以，日落时间我们可以写成如下形式，下式中的常数14代表经纬度都为0时日落的时间，第二项的含义是由经度引起的时间修正，第三项代表同一经度上由维度的变化引起的时间修正4.月出时间的计算类比日落时间的计算方法，我们就可以写月出
9、时间关于经纬度及号数的函数，但是，在计算月初时间时由于地球在自转的同时月球还在绕地球转动，所以月亮相对于地球公转的角速度速度为地球自传角速度减月球绕地球公转的角速度，如此，我们就可计算出每小时内月亮相对于地球转过的角度为：同样的方法我们就可以求解出纬度为度时对应的X,Y坐标5其中，moon 1= 1-15 日月亮直射点高度的变化 (5.129.625.1)180moon 1= 16-30 日月亮直射点高度的变化（ 5.1-5.129.62） 180所以，月出时间我们可以写成如下形式，下式中的常数2代表经纬度都为0时1号月出的时间，第二项代表每月号数不同引起的时间变化修正，第三项的含义是由经度引
10、起的时间修正，第四项代表同一经度上由维度的变化引起的时间修正5.月出日落时间差根据 3，4 中得出的日落和月出的时间函数式，我们将其作差，取绝对值。如果该差值的差值的变化范围恰好小于等于我们刚开始定义的“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景的时间段，则，可以发生“月上柳梢头，人约黄昏后”这一现象。经过人们长时间的观察结果显示，日落月出同时发生，也就是说地球太阳月球三者共线的时间只能在农历的每月 15 号，再利用 Maple 数学计算软件编写相应的程序以计算出北京在农历每月 15 号日落月出的时间差，并画出了直观的点状图，如下：6根据前面“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景的时间段的定义及上图可知，北
11、京地区在2016 年农历 4 月 15 日和 9 月 15 日可发生上述现象。6.模型的检验及预测根据相关的文学资料，诗人写此诗的地点为今湖北宜昌附近，时间为农历正月 15 日，根据宜昌的经纬度我们计算出诗人写诗那一天的日落时间为 17:58，月出时间为 18:07，时间差为 9 分钟，在一定的误差范围内可以发生诗人所描绘的场景，所以我们所建的模型基本正确。并预测出了题目第二问中列举的六个城市在农历每月 15 号日落月出的时间差，见下图：7根据图形可以预测出上海、哈尔滨、乌鲁木齐三地区地区在农历 4 月 15 和 9 月 15 可发生“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景，广州、成都、昆明可在农历
12、 4 月 15，5 月 15,8 月 15 日，9 月15 可发生“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景。五、模型评价及改进本文围绕“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景在不同地点发生的时间的计算展开。本文利用Maple 计算软件编程求解是该模型的一大优点，大大简化了计算过程并提高了计算精度，另外本模型的思路较清晰，从基本的建立直角坐标系开始，到推导日落月出时间的过程都详细的给出了具体的计算方法和思考过程，而且，我们在计算时考虑到了白道平面与赤道平面的夹角及地轴的偏转对日落月出时间造成的影响。所应用的方法简单、易懂其实用性也很高。不足之处在于模型理想化，没有全面的考虑太阳落山时云层对太阳光线的散射效应
13、以及期间可能发生的月食形成过程，只是具体的计算出了一些特殊的城市发生“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景的时间。我们计划后续会继续考虑已知某一时间直接求解出可“月上柳梢头，人约黄昏后”这一场景的经纬度区间，更加方便直观的看出那些地区在这一刻可发生上述现象。 ，使得该模型更加完善，从而让该模型能得到更加广泛的运用推广。参考文献1姜启源，数学模型（第三版） ，北京：高等教育出版社，2003 年 8 月。2刘承平，数学建模方法，北京：高等教育出版社，2002 年 7 月。3万永革，孟晓春，黄猛，赵晓燕 月亮高度及升降与方位的计算 防灾技术高等专科学校学报，第五卷第三期 2003 年 9 月。8附录： 9 10
