1、 本科毕业设计（论文） 基于隐式有限差分的热传导 Matlab仿真学 院 自动化学院 专 业 自动化 摘要本文研究隐式的有限的热传导模型的建立，分析了隐式有限差分的热传导的稳定条件和隐式有限差分的热传导及交替隐式方法（ADI）方法的技术速度。同时，也分别得出了基于隐式有限差分的热传导建立的模型的中心热源的一维 matlab 仿真，和交替隐式方法建立出的热传导的模型的中心热源的二维的 matlab 仿真。关键词：隐式热传导，交替方法，稳定条件，技术速度，matlab 仿真。AbstractIn this artice, I study the implicit finite heat condu
2、ction model, and analyze the stability of the implicit finite difference method, the technology speed of the implicit finite difference of heat transfer and the technology speed of the alternating implicit method(ADI). At the same time, I get the one-dimensional MATLAB simulation of center of the he
3、at source based on the implicit finite difference method and the two-dimension MATLAB simulation of center of the heat source based on the alternating implicit method.Key words: Implicit heat conduction ,Alternate method, Stable conditions, Technical speed, Matlab simulation 目 录1 绪论 .11.1 课题研究的背景及意义
4、 .11.1.1 背景 .11.1.2 意义 .11.2 课题的国内外发展概況 .21.2.1 现状 .21.2.2 国内发展概况 .21.2.3 国外发展概况 .41.3 课题的指导思想及解决方法 .51.3.1 指导思想 .51.3.2 解决方法 .51.4 课题研究的目的及内容 .61.4.1 目的 .61.4.2 内容 .62 预备知识 .72.1 差分格式 .72.1.1 微分方程 .72.1.2 差分的概念 .72.1.3 差分方程的概念 .72.1.3 有限差分格式 .72.1.4 隐式差分格式 .82.2 热传导方程 .82.2.1 一维的热传导方程 .82.2.2 二维的热传
5、导方程 .82.2.3 n 维的热传导方程 .92.3 稳定性 .92.3.1 差分格式的稳定性判断 .93 隐式热传导的有限差分 .103.1 隐式热传导的有限差分格式 .103.1.1 隐式热传导的有限差分格式模型的建立 .103.1.2 稳定条件 .103.1.3 隐式热传导的有限差分格式的矩阵格式 .104 ADI方法 .124.1.1 ADI 方法的热传导推导 .124.1.2 ADI 方法的矩阵格式 .135 一维及二维的 Matlab仿真 .145.1 Matlab .145.1.1 Matlab 简介 .145.1.2 Matlab 功能特性 .145.1.3 Matlab 优
6、势特点 .155.2 实验思路 .185.3 技术速度分析 .185.3.1 隐式热传导的有限差分格式的技术速度 .185.3.2 ADI 方法的技术速度 .195.4 中心热源的 Matlab 仿真 .205.4.1 某时刻空间位置上的一维中心热源 Matlab 仿真 .205.4.2 基于 ADI 方法的二维中心热源的 Matlab 仿真 .225.5 实验结论 .245.5.1 技术速度分析 .245.5.2 热传导现象分析 .25总结 .26参考文献： .28致谢 .29附录 .3011 绪论1.1 课题研究的背景及意义1.1.1背景在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是
7、两种重要的科学方法和手段。虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到或在一定范围内不稳定的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。差分方程在热传导问题中的应用这一议题跨越了物理学和数学两个学科，数学方法是解决物理问题最有效的工具。差分方程在热传导问题中的应用发展历程：近年来，传统热传导有限差分区域得到了发展，但是传统的方法在处理大的振荡的时候效果不是很好，近年来，典型的像利用小波-有限差分法求解热传导的方法，这其中主要利用到
8、了小波变换。随后在上个世纪九十年代以来，有关热传导有限差分方法的区域分解算法得到了发展，C.N.Daw son，Qiang Du 和 T.F.Dupont 找到了一种区域分解算法，在子区域的那边界处采用大空间步长古典显示格式计算出边界点的值，将其作为子区域的内边界处的 Dlilichlet 编制条件，然后在子区域内部用古典隐式并行计算。后来又有张宝林万正苏平行于 Dawson 等人的做法，在子区域的边界处采用小时间步长非对称格式和组显格式求解，稳定性步长与古典显示相比，放大了八倍。而在史策教授的热传导方程有限差分法的 MATLAB 实现和曹刚教授的一维偏微分方程的基本解中，对偏微分方程的解得
9、MATLAB 实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中，二维的及三维同样被广泛的应用，同时，对于热传的模型，一些数值方法也已经被应用，包括简单的显示热传导模型、Crank-Nicolson 差分格式的热传导模型等。1.1.2意义科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。热传导方程是一个描述物体温度随时间和空间的扩散或衰减规律的抛物型微分方程。在很多物理现象中都可以运用热传导方程来描述，但由于物理现象本来就是不稳2定的，显示格式的差分格式
10、并不是无条件稳定的，而在现实中，很多的人运用显式的热传导的差分格式去描述问题，这样为物理现象的不稳定增加了更大的问题。而隐式的差分格式则是无条件稳定的，在稳定性这一点上具有一定的优势。1.2课题的国内外发展概況随着技术的发展及科技的更新，求解热传导方程已经成为很多物理现象的核心内容，包括气体的扩散、液体渗透、热的传导等都可以用热传导来描述。MATLAB 具有强大的计算及图形绘制功能，为科学计算和图形处理提供了便利。我们只需制定绘图方式，再提供绘图数据和输入程序指令就可以得到形象、直观的图形。因此，近些年越来越多的人开始通过 MATLAB 来求解数值计算和图像处理等技术问题，我们也可以用来绘制中
11、心热源热传导的一维、二维的图像，从而可以更好的理解热传导方程的意义。1.2.1 现状近年来，求解热传导方程的理论和方法有了很大的发展，在各个学科技术的应用也愈来愈广泛。随着热效应等多种多种问题的重要性，热力学分析、电热稳定性分析、等已经有了一定的成果，同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，这种算法的优点计算速度更快，而且精度上更好。目前，在国内外 MATLAB 的使用十分普遍。在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB 被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB 也成为我们必不可少的科学计算工具，甚至是一项必须掌握的重要技能。在科研机构和工业界，MATLAB 正得
12、到越来越广泛的应用。1.2.2国内发展概况李萍研究团队利用 MATLAB 强大功能中的 PDE 工具箱研究并求解导热问题，得到了平壁点热源导热的算例。通过结果分析得到，利用 MATLAB 强大功能中的 PDE工具箱能够在不编程的情况下，直接进入到用户图形界面(GUI)进行操作，能够方便快速地对点热源导热模型进行求解。并且在用户图形界面（GUI）上还能够进行复杂几何形状导热问题的处理，这些功能就是 MATLAB 软件与其它软件不同的地方。同时因为有了网格的精化，使得模型中的有限元数值解的精度大大提高。王平研究团队进行了芯层为秸杆的复合材料传热特性的研究。其中，所使用的复合材料从外到内各自为聚丙烯
13、纤维等构成的抗压外层，石灰/发泡剂等构成的保温层与3秸杆层。通过研究结果分析得到复合材料芯部传热方式只是为导热。通过实验测量得到一系列的数据后，再利用 MATLAB 对其进行处理和仿真，能够得到秸杆密度和湿度与整体导热系数的曲线，此次研究结果能够作为该产品生产的参考意见。艾元方研究机构进行了蜂窝蓄热体内温度分布的研究。其通过建立了蜂窝蓄热体传热的数学模型，并使用拉普拉斯变换法去求解并得到了传热偏微分方程组，因为得到的精确解较复杂，所以对其还进行了有限差分，以及编写了 MATLAB 程序，同时利用其强大的符号运算功能，使在运行后获得了方程的半精确解。研究的结果和相关文献的结果吻合，但是由于利用
14、MATLAB 软件后，能够在获取蜂窝蓄热体传热半精确解的过程方便而快速。王金良进行了复合墙内外保温的传热过程的实验研究。所使用的内外保温墙体材料从内到外各自依次为水泥、砖墙、空气层、聚苯乙烯泡沫板和石膏板和水泥砂浆、聚苯乙烯泡沫板、砖墙和抹灰。并且两种情况的传热都是在一样的总热阻和室内冷负荷的环境下进行分析的，在得到了温度场的表达式后，通过 MATLAB 仿真计算得到各个交界面温度随时间而变化的曲线，在对比中发现这样的结果:外保温能够延长主墙使用寿命，不容易出现表面结露和内部结露，也不容易发生冷热桥现象。相对于外保温方式，内保温方式则相反，因此，外保温方式是值得推广和利用的复合墙节能保温方式。
15、借助 MATLAB 工具，两种保温方式结果对比明显、直观。李灿研究团队运用了 MATLAB 解决了三个难以用解析方法求解的算例。其研究包括:一长方体钢锭的无内热源三维非稳态导热问题;一圆柱形核电站用燃烧棒的有内热源的非稳态导热问题;一正方形内嵌一菱形的有内热源的复杂边界热传导问题，借助MATLAB 及其 PED 工具箱进行处理能够得到了三个算例的 5h 时刻温度分布图和温度梯度分布图、10h 时刻温度分布云图、OAS 时刻的等稳图和热流密度图。罗静丽进行了土壤源热泵垂直埋管的温度场的研究。其通过建立了土壤源热泵(垂直埋管)U 型埋管的传热模型，以及得到导热的微分方程，再借鉴一个算例，并使用MA
16、TLAB 对其数值进行模拟，以及借助 MATLAB 强大的 PED 工具箱获得了 U 型管周围的非稳态温度场，使能够对管的设计和铺就提供了一定的参考意见。正是 MATLAB的强大功能能够让复杂几何形状和复杂边界条件的非稳态导热问题得到快速解决，以及利用其图形可视化功能可以使得计算结果形象、直观而且便于理解。阂剑青运用 MATLAB 对直肋导热进行了数值模拟。对于一个等截面直肋算例，其4建立了其导热的一维和二维的数学模型，再 MATLAB 的 PDEtool 工具箱，进行有限元法求解导热偏微分方程，最终求解出了两模型的数值解并模拟了肋片温度分布云图和温度梯度分布图。通过分析发现这两种模型是等价的
17、，但是二维模型更符合实际，并且 PDEtool 工具箱对于二维 PDE 问题能够非常方便的解决;在文章的最后还根据绘制的温度图象对算例中肋片的参数设计提供了一些改进的意见，使得肋片的导热系数提高了差不多 34%。这个研究结果表明了使用 MATLAB/PDE 进行数值计算是方便而高效的，以及 MATLAB 是换热器工程结构设计和优化分析的有利工具。牛天况研究团队借助 MATLAB 软件对描述 H 型鳍片中传热过程的偏微分方程进行了求解，得出了 H 型鳍片管在烟气中的传热过程是对流何导热的综合过程，导热在过程中有重要作用，能够利用鳍片效率何综合传热能力来评价 H 型鳍片管的传热特性;不同外形尺寸何
18、厚度的鳍片对传热均有显著影响。一定要将鳍片的导热过程的计算分析和对流换热的试验研究相结合，才能揭示 H 型鳍片管的传热规律，利用 MATLAB 强大的数值计算和图像功能，能够方便快速地得到结果。叶长桑利用 MATLAB 对肋片传热特性分析和最轻设计上的应用进行研究。其主要的研究内容是:分析肋片传热特性，建立数学模型，获取温度分布、散热量、肋效率等一些重要参数;再利用 MATLAB 的微分方程求解器快速、方便、准确地模拟了肋片导热过程，直观地获得了数值解，并使用 MATLAB 绘制了肋片厚度、高度、形状对散热量影响的规律曲线;对肋片结构优化设计提供了思路，即对薄肋采用矩形肋片优于三角形肋片，而对
19、于厚肋则采用三角形肋片的散热量高于矩形肋片。1.2.3国外发展概况I.V .Singh 结合 MATLAB 和其他数学工具无网格化求解了综合传热问题。其利用了无网格 Galerkin 方法，借助拉格朗日综合法建立导热过程模型并确定基本边界条件，再借助 MATLAB 快速地解出方程，得到数值解。这一研究发现，与有限元法等一般分析方法相比，通过 MATLAB 软件可以提高解题效率及解的精度。Lamartine Nogueira Frutuoso Guimaraes 等对一个 U 型管的蒸汽发生器的模型推导进行了研究。其中 U 型管蒸汽产生器是压力水发生器的重要部件，作者通过分析了其内有效导热过程为一个二维导热过程，从而推导并得到所要的模型后，再借助 MATLAB软件求解了问题，完成了模型的建立、求解以及验证，并通过 MATLAB 软件完成了更完善的模拟和仿真分析。
