1、吉林省普通中学 20162017 学年度高中毕业班第二次调研考试数学（理科）试题一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知 则,|12|3,URMxNxUCMNA. B. |23x或 |C. D.|x或 |x2. 已知复数 ，则1ziA. 的模为 2 B. 的模为 1 C. 的虚部-1 D. 的共轭复数为zzz1i3. 下列关于命题的说法错误的是A.命题“ ，则 ”的逆否命题是“ ，则 ” 30xx1x230xB. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件 2alogaf0,C. 若命题 ，则 :,
2、1npN:,2npND.命题 是真命题“03“xx4. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则ABC, ,abc7,32bcAA. B. C. D.30456095. 函数 的图象大致是1lnfx6. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是A. -2 B. C. -1 D. 227. 设 是公差不为 0 的等差数列，满足 ，则该数列的前 10 项和na224567aa10SA. -10 B. -5 C. 0 D. 58. 某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积是A. B. C. D. 42834209. 已知 ，把 的图象向右平移 个2sin
3、cosifxxfx12单位，再向上平移 2 个单位，得到 的图象，若对任意的实数 ，都有ygx成立，则gx4A. B. C. D.10. 在等腰直角 中， 在边 上且满足： ，若ABC,DAB1CDtAtCB，则 的值为60ACDtA. B. C. D.31231323111. 已知双曲线 ，双曲线 的左、右焦点分别为 ，21:4xCy2:10,xyCab12,FM 是双曲线 的一条渐近线上的点，且 ，O 为坐标原点，若 ，且 双2 2MF26OMFS12,C曲线的离心率相同，则双曲线 的实轴长是2A. 32 B. 16 C. 8 D. 412. 已知函数 ，若关于 的方程 有 8 个12,0
4、,xefx230fxfaR不等的实数根，则 的取值范围是aA. B. C. D.10,4,31,29,4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知 O 是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上一动点，则1,A,Mxy21xy的取值范围为 .AM14.已知 ， 的夹角为 ，且 与 垂直，则实数 .2ab,45ba15.过抛物线 的焦点 F 作直线 交抛物线 C 于 A,B 两点，若 ，则直线 的斜:4Cyxl 3AFBl率为 .16.艾萨克牛顿（1643 年 1 月 4 日1727 年 3 月 31 日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有去多杰出的贡
5、献，牛顿用“作切线”的方法求函数 零点时给出一个数列fx满足： ，我们把该数列叫做牛顿数列。如果函数nx1nnfx有两个零点 1,2，数列 为牛顿数列，设 ，已知20fabcnx2ln1xa，则 的通项公式 .1,nxnna三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分 10 分）已知函数 的部分图象如图所示.si0,2fxMx(1) 求函数 的解析式；fx（2）在 中，角 的对边分别为 ，若ABC, ,abc，求 的取值范围.2cosaBbC2Af18.（本题满分 12 分）已知数列 是等比数列， 为数列 的前 项和，且nanSna3
6、,9.aS(1)求数列 的通项公式；（2）设 ，且 为递增数列，若 ，求证： .23lognnbanb14ncb121ncc19.（本题满分 12 分）某车间 20 名工人年龄数据如下表：(1)求这 20 名工人年龄的众数与平均数；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图；（3）从年龄在 24 和 26 的工人中随机抽取 2 人，求这 2 人均是 24 岁的概率.20.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，PABCDAB且 ，点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 于棱120ABPD 交于点 F.(1)求证： /;ABEF（2）若 ，平面 平面 ，求
7、平面 与平面 所成的二面角2PDPADBCPAFE的余弦值.21.（本题满分 12 分）如图，椭圆 ，点 在短轴 上，且2:1024xyEb0,1PCD2.P(1)求椭圆 E 的方程及离心率；（2）设 O 是坐标原点，过点 P 的直线与椭圆交于 A,B 两点，是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，AB求出 的值；若不存在，请说明理由.22.（本题满分 12 分）设函数 已知曲线 在点 处21ln,ln1,afxbxgxxyfx1,f的切线与直线 垂直.20y(1)求 的值；（2）若对任意的 ，都有 ，求 的取值范围.1x1agx吉林市普通中学 20162017 学年度高中毕业班第二次调研测试数
8、 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13. 0,2; 14. ; 15. ; 16. 232n三、解答题17 解：（1）由图象知 A=1, -3 分54(),126T将点 代入解析式得 因为 ，所以(,)6sin,3|26所以 -5 分si(2)6fx（2）由 得： cosaBbC(sin)cosincsACBC所以 sinsi(),2icoAB因为 ,所以 ，所以 -8 分(0)n012s,23，所以5si,
9、2636f A1sin()(,6A所以 -10 分1(),Af18 （本小题满分 12 分）解：（）设数列a n的公比为 q，当 时，符合条件， ，a n=3 -2 分q13当 时， 所以 ，解得 -5 分1q213()9aq212()9q12,aq1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A C D C B B C B A A B D12()nna综上：a n=3 或 -6 分1()n注：列方程组 求解可不用讨论212139aq（）证明：若 an=3，则 bn=0，与题意不符；， -8 分22231()3()na223loglnnna-10 分141()ncb-12 分12311(
10、)()23ncnn 19 （本小题满分 12 分）解 () 由题意可知，这 20 名工人年龄的众数是 30， -2 分这 20 名工人年龄的平均数为 (1932832953043133240)30，-4 分x120() 这 20 名工人年龄的茎叶图如图所示：-7 分() 记年龄为 24 岁的三个人为 A1，A 2，A 3；年龄为 26 岁的三个人为 B1，B 2，B 3 则从这 6 人中随机抽取 2 人的所有可能为A1，A 2，A 1，A 3，A 2，A 3， A1，B 1， A1，B 2，A1，B 3，A 2，B 1，A 2，B 2， A2，B ,3， A3，B 1，A3，B 2，A ,3，
11、B 3，B 1，B 2， B1，B 3， B2，B 3共 15 种。 - 9 分满足题意的有A 1，A 2，A 1，A 3， A2，A 33 种， - 11 分故所求的概率为 P -12 分5注：理科学生用组合计算正确时，给满分20 （本小题满分 12 分）(1)证明： 菱形， 又 -3 分ABCDABC,PCDABPCD且-5 分,EFEF且 EF（2）解：取 AD 中点 G，连接 PG,GB, ,PAGA平面 平面 ,平面 平面 =ADPADBCDBC-7 分且-8 分-9 分则有 ，取 ，则 -11 分0nAFB302xzy131(,)n，二面角 的余弦值为 -11 分31cos,|nG
12、BAPAFE13所以平面 与平面 所成的二面角的余弦值为 -12 分PFE13注：因为法向量方向不同得到两向量所成角的余弦值为正数，不影响最后结果，只要结果正确，就可给分21 （本小题满分 12 分）解 (1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0， b).又点 P 的坐标为(0 ，1)，且 2，即 1 = 2PC PD 解得 b23 所以椭圆 E 方程为 1. -3 分x24 3y因为 c=1，所以离心率 e= -4 分21(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，A，B 的坐标分别为(x1，y 1)，(x 2，y 2). 联立 得(4k 23)x 28k
13、x80.1342xy其判别式 0，所以，x 1x 2 ，x 1x2 -6 分8k34k从而， x 1x2y 1y2x 1x2(y 1 1)(y21)OA OB PA PB (1 )(1 k2)x1x2k(x 1x 2)1 -8 分 348234k所以，当 2 时， 7，2即 7 为定值. -10 分OA OB PA PB 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD，此时 2 347，OA OB PA PB OC OD PC PD 故存在常数 2，使得 为定值7. -12 分OA OB PA PB 22 （本小题满分 12 分）解 (1)曲线 yf( x)在点(1，f(1) 处的切线
14、斜率为 2，所以 f(1)2，-2 分又 f(x)ln x 1，即 ln 1b12，所以 b1. -4 分b(2) g(x)的定义域为(0， )，g(x) (1a)x1 (x1). -5 分ax 1 ax (x a1 a)若 a ，则 1，故当 x(1，)时，g(x)0，g(x)在(1 ，)上单调递增. 12 a1 a所以，对任意 x1，都有 g(x) 的充要条件为 g(1) ，即aa 1 aa 11 ，解得 a 1 或 1 a -8 分1 a2 aa 1 2 2 12若 a1，则 1，故当 x 时，g(x)0；当 x 时，12 a1 a (1， a1 a) ( a1 a， )g(x)0.f( x)在 上单调递减，在 上单调递增.(1， a1 a) ( a1 a， )所以，对任意 x1，都有 g(x) 的充要条件为 g .而 g alnaa 1 ( a1 a) aa 1 ( a1 a) 在 a1 上恒成立，a1 a a22（ 1 a） aa 1 aa 1 12所以 a1 -10 分12若 a1，g(x) 在 1，)上递减，不合题意。 综上，a 的取值范围是( ， 1)( 1， 1). -12 分2 2
