1、导函数的综合应用1导函数的综合应用【典型例题】考点一、利用导数研究函数的零点或方程的根【例 1】(2015高考北京卷)设函数 f(x) kln x ，k0.x22(1)求 f(x)的单调 区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， 上仅有一个零点e【变式训练 1】已知函数 f(x)2xln xx 22axa 2，其中 a0.(1)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性；(2)证明：存在 a(0,1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在区间(1，)内有唯一解考点二、利用导数研究不等式恒成立的问题【例 2】已知函数 f(x)m(x 1)e x
2、x 2(mR)(1)若 m1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若对任意的 xf( x)恒成立，求 m 的取值范围【变式训练 2】已知函数 f(x) (e 为自然对数的底数)x 1ex(1)求函数 f(x)的 单调区间；(2)设函数 (x)xf (x)tf( x) ，存在实数 x1，x20,1，使得 2(x1)0，试判断 f(x)在定义域内的单调性；(2)若 f(x)在 1，e上的最小 值为 ，求 a 的值；32(3)若 f(x)1 的解集为 ( )A.( 3，2) (2,3)B.( ， )2 2C.(2,3)D.( ， )( ，)2 24.已知函数 f(x)x 2mxln x 是单调递增函数
3、， 则 m 的取值范围是( )A.m2 B.m22 2C.m0 时，f (x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0D.f(x)1，函数 f(x)(1x 2)exa.(1)求 f(x)的单调 区间；(2)证明：f(x) 在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线 yf(x )在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M(m，n)处的切线与直线 OP 平行(O 是坐 标原点)，证明：m 1.3a 2e导函数的综合应用6导函数的综合应用标准答案典型例题【例题 1】解 (1)由 f(x) kln x(k0)，得 x0 且x22f(x)x .kx x2 kx由 f(x )0，解得 x
4、 .kf(x)与 f(x) 在区间(0，)上的情况如下：x (0， )k k ( ， )kf(x ) 0 f(x) k1 ln k2 所以，f(x) 的单调递减区间是(0， ，单调递增区间是 ，)；k kf(x)在 x 处取得极小值 f( ) .k kk1 ln k2(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为 f( ) .kk1 ln k2因为 f(x)存在零点，所以 0，从而 ke.k1 ln k2当 ke 时，f(x)在区间(1， )上单调递减，且 f( )0，e e所以 x 是 f(x)在区间(1， 上的唯一零点e e当 ke 时，f( x)在区间(0 ， )上单调递减，
5、e且 f(1) 0，f( ) 0，g(x)单调递增(2)证明：由 f( x)2( x1 ln xa)0，解得 ax1 ln x.令 (x) 2xln xx 22x (x1ln x) (x1ln x)2(1 ln x) 22xln x，则 (1) 10，(e)2(2e)f(x0)0；当 x(x 0，)时，f( x)0，从而 f(x)f(x0)0；又当 x(0,1时，f(x )(xa 0)22x ln x0.故 x(0 ，)时，f(x)0.综上所述，存在 a(0,1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在区间(1 ，)内有唯一解【例题 2】解：(1)m1 时， f(x)(1x)e xx 2
6、，则 f (x)x(2 e x)，由 f(x )0，得 0ln 2，故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为 (，0)，(ln 2，)(2)f(x) mx 0.令 h(x)me xxm，则 h (x)m ex1，当 m0 时，h(x )在 xh(0)0.当 0h(0)0.当 m1 时，h(x) 在(，ln m)上为减函数，在(ln m,0) 上为增函数，h(ln m)0，当 x0 时，f ( x)3 1.e2当 t0 时，(x )0，(x) 在0,1上单调递增，2(0)0，(x )在(t,1上单调递增，所以 2(t)0，f(x)0，故 f(x)在(0，)上是单调递增函数.(2)由(1)可知，
7、f(x) .x ax2若 a1，则 xa0，即 f( x)0 在1，e上恒成立，此时 f(x)在1，e上为增函数，f(x) minf(1)a ，a (舍去).32 32若 ae，则 xa0，即 f(x) 0 在1，e上恒成立，此时 f(x)在1，e上为减函数，f(x) minf(e) 1 ，ae 32a (舍去).e2若e0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x) minf(a)ln(a) 1 ，32a .e综上所述，a .e(3)f(x)0，axln xx 3.令 g(x)xln xx 3，h(x)g(x) 1ln x 3x 2，h(x) 6x .1x 1 6x2xx(1 ，)时，h(x
8、)0，h(x)在(1，)上是减函数 .h(x)h(1)20 ，即 g(x)0，g(x)在(1，)上也是减函数 .g(x)g(1)1，当 a1 时，f(x )x2 在(1，)上恒成立.【变式训练 3】(1)xy30(2)满足条件的最大整数 M 为 4(3)a1应用体验：1.(，0) 2.1,1 3.A 4.B 5.B复习与巩固A组1.【答案】C 【解析】令 ，则 ，所以()cosyfxa()cosinfxax()csin22f，解得 .故选 C112.【答案】C【解析】试题分析： 时 ，而0,x2()0gxfxffxf导函数的综合应用10也为偶函数，所以2gxf2 11|2|1|2|1|3103
9、gxxxxx，选 C.3.解析：f(x)3x 22tx 3 ，由于 f(x)在区间1,4上单调递减，则有 f( x)0 在1,4上恒成立，即 3x22tx 30，即 t 在1,4上恒成立，因为 y 在1,4 上单调递32(x 1x) 32(x 1x)增，所以 t ，故选 C.32(4 14) 518答案：C4.【答案】 a【解析】试题分析： ，因为 ，其 图象上任意一点 处的切线的斜率 21()afx(0,3x0(,)Pxy恒成立， ， ， ， 恒成立，由12kxa213,2xa考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题5.【答案】 1e【解析】试题分析：因为 ，所以 ，30xxf ae3xaxe令 ，则 ，所以当3xgxe2113()xg时， ，当 时， ，所以 在 上是减(,1)0(1,)ggx(,函数，在 是增函数，故 xmin1xe6.【答案】 ),(),(【解析】2 221 1()2xgxfgxfxfxfx得 ， 得 可知函数20f00gg为偶函数
