1、第 1 页高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ，但 与 不等价。(x0y0) (x + y0xy0 ) (x1y2) (x + y3xy2 )【例 1】已知 f(x) = ax + ，若 求 的范围。xb ,6,03ff )(f错误解法 由条件得 622 156a2得 38b+ 得 .34)(10,40f即错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：
2、作为满足条件的函数，其值是同时受 制约的。当 取最大（小）值时， 不一定取最大bxaf)( ba和 ab（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法 由题意有 , 解得：2)(1baf),(3,)2(31ffa把 和 的范围代入得 .195)(16bf)2(f .37)(16f在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。忽视隐含条件，导致结果错误。【例 2】(1) 设 是方程 的两个实根，则 的最小值是、 062kx 22)1()(第 2 页不)D(18)C(8)B(49)A(思路分析 本例只有一个答案正确，设了 3 个陷
3、阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得： ,6,2k.49)3( 2)(11)1()( 222k有的学生一看到 ，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思49性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根 ， 、 0)6k(42.3k2不当 时， 的最小值是 8；3k22)1()(当 时， 的最小值是 18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2) 已知(x+2) 2+ =1, 求 x2+y2 的取值范围。y24错解 由已知得 y2=4x 216x 12，因此 x2+y2=3x 216x12=3(x+
4、 )2+ ，38当 x= 时，x 2+y2 有最大值 ，即 x2+y2 的取值范围是 (, 。83 283 283分析 没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2) 2+ =1 (x+2)2=1 1 3x1，y24 y24从而当 x=1 时 x2+y2 有最小值 1。 x2+y2 的取值范围是 1, 。283注意有界性：偶次方 x20，三角函数1sinx 1，指数函数 ax0，圆锥曲线有界性等。忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例 3】已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2 的最小值。1a 1b第 3 页错解 (a+ )
5、2+(b+ )2=a2+b2+ + +42ab+ +44 +4=8,a1b1a2babab1(a+ )2+(b+ )2 的最小值是 8.分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等号成立的条件是 a=b=,第二次等号成立的条件是 ab= ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，21b18 不是最小值。事实上，原式= a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=(a+b)22ab+( + )2 122a1b+4= (12ab)(1+ )+4，2ba由 ab( )2= 得：1 2ab 1 = , 且 16，1+ 17，ba421ba21ba原式 17+4=
6、(当且仅当 a=b= 时，等号成立) ，152(a + )2 + (b + )2 的最小值是 。ab252不进行分类讨论，导致错误【例 4】(1)已知数列 的前 项和 ，求na12nS.na错误解法 .2)()( 11 nS错误分析 显然，当 时， 。311a错误原因：没有注意公式 成立的条件是。nnS因此在运用 时，必须检验 时的情形。即：1nSa。),2(1NSan(2)实数 为何值时，圆 与抛物线 有两个公共点。0122axyx xy21错误解法 将圆 与抛物线 联立，消去 ，y得 ).(01)2(2 xaxx第 4 页因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得 ， 解之得.012a.
7、817a错误分析 （如图 22 1 ； 222）显然，当 时，圆与抛物线有两个公共点。要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程有一正根、一负根时，得 解之，得.012a.1a因此，当 或 时，圆 与抛物线 有两817a1a02xyx xy2个公共点。思考题：实数 为何值时，圆 与抛物线 ，122a12(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3) 有四个公共点； (4)没有公共点。以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例 5】(1)设等比数列 的全 项和为 .若 ，
8、求数列的公比 .nanS9632SqxyO图2 2 1xyO图2 2 2第 5 页错误解法 ，,2963Sqaqa1)(21)()( 9631.0(） 整 理 得 q 1q24q,0)1(q2.120q 3336 不不。错误分析 在错解中，由 ，qaqa1)(21)()( 9631时，应有 。0q2(363不不 0不在等比数列中， 是显然的，但公比 q 完全可能为 1，因此，在解题时应先讨论01a公比 的情况，再在 的情况下，对式子进行整理变形。q正确解法 若 ，则有 但 ，即得q.9,6,3111aSaS0与题设矛盾，故 .,2963S1又依题意 963S2 qq1)(21)()( 9631
9、,即 因为 ，所以 所以01q2(63不,0)(3q,03解得 .3.243说明 此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失 2 分。(2)求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点。)1,0( xy2错误解法 设所求的过点 的直线为 ，则它与抛物线的交点为)1,0(1k，消去 得 整理得 xyk2y.02xk .01)2(2xkx直线与抛物线仅有一个交点， 解得 所求直线为,.1k.y错误分析 此处解法共有三处错误：第 6 页第一，设所求直线为 时，没有考虑 与斜率不存在的情形，实际上就是1kxy0k承认了该直线的斜率是存在的，且不为
10、零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。,0k正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 轴，因为过点 ，所以x)1,0(即 轴，它正好与抛物线 相切。,0xyxy2当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1 平行 轴，它正好与抛物线 只有一xxy2个交点。一般地，设所求的过点 的直线为 ,则 ，),
11、0(kxy)0(xyk21令 解得 k = , 所求直线为.1)2(2xkx,12 .综上，满足条件的直线为： .,0,xyxy章节易错训练题1、已知集合 M = 直线 ，N = 圆 ，则 MN 中元素个数是 A(集合元素的确定性)(A) 0 (B) 0 或 1 (C) 0 或 2 (D) 0 或 1 或 22、已知 A = ，若 AR * = ，则实数 t 集合 T = (x (x2 + tx + 1 = 0)_。 (空集)t3、如果 kx2+2kx(k+2)0xx 1 x 0 )（漏反函数定义域即原函数值域）11、函数 f (x) = log (x 2 + a x + 2) 值域为 R，则
12、实数 a 的取值范围是 D(正确使用0 和0 , b0 , a+b=1，则(a + )2 + (b + )2 的最小值是_ 。 (三相等)1a 1b 25222、已知 x k (k Z)，函数 y = sin2x + 的最小值是 _。5（三相等）4sin2x23、求 的最小值。xy22cos8sin错解 1 |cosin|8cosini 2222 xx.16,.16|sin| minyx错解 2 第 9 页.261821)cos8()sini2( 222 xxy错误分析 在解法 1 中， 的充要条件是6y |sin|coinx且即 这是自相矛盾的。.|si|2|ta|不 .miy在解法 2 中
13、， 的充要条件是261y这是不可,2cos2sincos8sini xxxx ， 即且能的。正确解法 1 y22e.18xtan4co20)(tt1(8)x22其中，当 .18ytxtan4cot 22 不不 .min正 确 解 法 2 取正常数 ，易得kkxxy )coss8()siin( 22.682kkk其中“ ”取“”的充要条件是 .18k2xtancosxssinxsi 2222 不不不因此，当 ,18k6y1ta.miy24、已知 a1 = 1，a n = an1 + 2n1 (n2) ，则 an = _。2 n1(认清项数)25、已知 9 、a 1、a 2、1 四个实数成等差数列
14、，9、b 1、b 2、b 3、1 五个实数成等比数列，则 b2 (a2a 1) = A(符号)(A) 8 (B) 8 (C) (D) 98 9826、已知 an 是等比数列，S n 是其前 n 项和，判断 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k 成等比数列吗？当 q = 1，k 为偶数时，S k = 0，则 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k 不成等比数列；第 10 页当 q1 或 q = 1 且 k 为奇数时，则 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k 成等比数列。（忽视公比 q = 1 ）27、已知定义在 R 上的函数 和数列 满足下列条件：)(xfna，f(a n)f(a n1 )
15、= k(ana n1 )(n = 1211 ),.4,32(,nafan 2,3,)，其中 a 为常数，k 为非零常数。 （1）令 ，证明数列nab*(N是等比数列；（2）求数列 的通项公式；（3）当 时，求 。(2004 天nbn |knlim津)（等比数列中的 0 和 1，正确分类讨论）28、不等式 m2(m 23m)i (m24m + 3)i + 10 成立的实数 m 的取值集合是_。3(隐含条件)29、i 是虚数单位， 的虚部为（ ）C(概念不清)( 1+i)(2+i)i3(A) 1 (B) i (C) 3 (D) 3 i30、实数 ，使方程 至少有一个实根。m021)4(2mixx错
16、误解法 方程至少有一个实根， 或)i1()i4(22 ,5.52错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。正确解法 设 是方程的实数根，则a .0i)m2a4(1a,0mi21)i4(a22 由于 都是实数， ,解得 、 40.31、和 a = (3,4)平行的单位向量是_；和 a = (3,4)垂直的单位向量是_。( ， )或( ， )；( ， )或( ， )(漏解)35 45 35 45 45 35 45 3532、将函数 y= 4x8 的图象 L 按向量 a 平移到 L/，L /的函数表达式为 y= 4x，则向量
