1、1、中点坐标公式： ，其中 是点 的中点坐标。1212,yx,xy12(,)(,)AyBx，2、弦长公式：若点 在直线 上，12()()AB， 0kb则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，12ykxbykxb， 222221111()()()()()ABxkxkx2214kx或者 22222111112()()()()()yxyykk。21122()4yk3、两条直线 垂直：则1122:,:lxblykxb12k两条直线垂直，则直线所在的向量 10vA4、韦达定理：若一元二次方程 有两个不同的根 ，则 。2()axca12,x1212,bcxa常见的一些题型：题型一：数形结合确定
2、直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线 与椭圆 始终有交点，求 的取值范围:1lykx2:14xyCmm思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1） ，椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0） ，和动点 。0),4m（ ， 且解：根据直线 的方程可知，直线恒过定点（0，1） ，椭圆 过动点 ，如果直线:lykx2:14xyC,（ ， 且和椭圆 始终有交点，则 ，即 。:1l 2:4yCm1m， 且 4且规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： : 01lykx过 定 点 （ ， ）(1)过 定 点 （ ， ）:2lykx过 定 点 （ ， 2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线
3、整理成以上三种形式之一，再得出结论。一、过一定点 P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点 P 在抛物线外，则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 3 条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点 P 在抛物线上，则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 2 条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点 P 在抛物线内，则过点 P 和抛物线只有一个公共点的直线有 1 条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。二、过定点 P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点 P 在双曲线内，则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线
4、有 2 条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点 P 在双曲线上，则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线有 3 条：一条切线，2 条和渐近线平行的直线；（3）若定点 P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线有 4 条：2 条切线和 2 条和渐近线平行的直线；（4）若定点 P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线有 2 条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点 P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点 P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。题型二：弦的垂直平分线问题
5、弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式） 。例题 2、过点 T(-1,0)作直线 与曲线 N ： 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( ,0)，使得 是等边三角形，若存l2yx0xABE在，求出 ；若不存在，请说明理由。0x分析：过点 T(-1,0)的直线和曲线 N ： 相交 A、B 两点，则直线的斜率存在且不等于 0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，2yx分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出 E 点坐标，最
6、后由正三角形的性质：中线长是边长的 倍。运用弦长公式求弦长。32解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。设直线 ， ， ， 。由 消 y 整理，得:(1)lykx1(,)Axy2(,)B2(1)ykx由直线和抛物线交于两点，得2220 242()10k即 由韦达定理，得： 。2104k 1221,kx2x则线段 AB 的中点为 。线段的垂直平分线方程为：21(,)k 2()kyk令 y=0,得 ，则 为正三角形，02x2(,0EABE到直线 AB 的距离 d 为 。21(,)Ek32211()()xy2241kA2kd解得 满足式 此时 。 222341kA9k053例题 3、已知椭圆 的
7、左焦点为 F， O 为坐标原点。 （）求过点 O、 F，并且与 相切的圆的方程；2yx 2x（）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围。分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和 x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于 0，设出弦 AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦 AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦 AB 的斜率，得到线段 AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点 G 的坐标。 解：(
8、I) a 2=2，b 2=1，c=1，F(-1，0)，l:x=-2.圆过点 O、F,圆心 M 在直线 x=- 设 M(- )，则圆半径：r=|(- )-(-2)|=上21t,21213由|OM|=r，得 ，解得 t= ，23)1(2t2所求圆的方程为(x+ )2+(y )2= .149(II)由题意可知，直线 AB 的斜率存在，且不等于 0, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k0)，代入 +y2=1，整理得 (1+2k 2)x2+4k2x+2k2-2=0x直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程一定有两个不等实根,设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点 N(x0，y
9、0)， 则 x1+x1=- ,24k0122(),1kx02() AB 垂直平分线 NG 的方程为 )(100xky令 y=0，得 2201Cxk2214k .02,0cx点 G 横坐标的取值范围为（ ） 。例题 4、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为,21(0)yab32A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程； （II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于:(2)lxtlM、 N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点 A
10、1、A 2 的坐标都知道，可以设直线 PA1、PA 2 的方程，直线 PA1 和椭圆交点是A1(-2,0)和 M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标，同理可以求出点 N 的坐标。动点 P 在直线 上，相当于知道了点 P:()lxt的横坐标了，由直线 PA1、PA 2 的方程可以求出 P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的 M、N 点的坐标，求出直线 MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t2，就可以了，否则就不存在。解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。3cea23,1cb从而椭圆的方程为214xy（II ）设 ， ，直线 的斜1(,)M2(,)N1AM率为 ,
11、则直线 的方1k1AM程为 ，由 消 y 整理得1ykx124ykx 2221(4)640xk是方程的两个根，12和则 ， ，21164kx21184kx124ky即点 M 的坐标为 ， 同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2128(,)k 2284(,)1k， 直线 MN 的方程为： ，12(),()ppyktyt12kt211yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212x4xt又 ， 椭圆的焦点为 ，即 故当 时，MN 过椭圆的焦点。t40t(3,0)t3t 43t例题 5、 （07 山东理）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭
12、圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最小值为 1；（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：mkxyl：直线 过定点，并求出该定点的坐标。l分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，并且椭圆的右顶点和mkxyl：A、B 的连线互相垂直，证明直线 过定点，就是通过垂直建立 k、m 的一次函数关系。l解（I）由题意设椭圆的标准方程为21(0)xyab， 3,1ac2,3acb2143xy（II ）设 ，由 得12(,)(,)AxyB21y
13、kmx， ，2348430km2264(34)30km240km（注意：这一步是同类坐标变换）21212(),xxk（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）2212121123(4)()()()kykxmx以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 且 ，(,0)DADBk， ，121yx211240yxx，2223(4)(3)64mkmk，解得 ，且满足2716012,7k2340km当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；k:()lykx(,0)当 时， ，直线过定点27m7,7综上可知，直线 过定点，定点坐标为l2(,0).名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦
14、对定点张直角” ，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为 ，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出 ，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了1 mkxyl：这样设的直线。例题 6、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A 是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的中21xyab(0)a(23,0)心 O，且 ， ，如图。0A(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ 的斜率。3x解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O 2BCACA02又 点 C 的坐标为 。 A 是椭圆的右顶点
15、， ，则椭圆方程为： 将 (23,)(3,)(23,0)23a21xyb点 C 代入方程，得 ， 椭圆 E 的方程为(,)24b14xy(II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，3x设直线 PC 的斜率为 ，则直线 QC 的斜率为 ，从而直线 PC 的方程为：kk，即 ，3()yx(1)y由 消 y，整理得：210是方程的一个根，2(13)6()91830kxkxkx即29183PA2()Pk同理可得：23(1)Qkx 3(1)PPQykxk()23PQxk21()k22918398()()PQkxk26()k则直线 PQ 的斜率为定值 。PQyx13例题 7、设过点 D(0,3)的
16、直线交曲线 M： 于 P、Q 两点，且 ,求实数 的取值范围。294xyDQl=url分析：由 可以得到 ，将 P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用 表示出来。DPl=ur123()yl=+- l解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2),QDPl=ur(x1,y1-3)= (x2,y2-3) 即l 123()xyl=+-方法一：方程组消元法又 P、 Q 是椭圆 + =1 上的点29x4y2222194()(3)1xylll=+-=消去 x2，可得 即 y2=22(3)14yylll-=- 56l-又 2 y2 2， 2 2Q356l-解之得： 则实数 的取值范围
17、是 。15l ,方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ 的方程为： ，3,0ykx由 消 y 整理后，得23496ykx()540P、Q 是曲线 M 上的两点22()(9)kk21480即 95由韦达定理得： 12122445,9kxxk121()2254(1)(9)k即 2236945()kk由得 ，代入，整理得 ，2105k 236915()解之得 当直线 PQ 的斜率不存在，即 时，易知 或 。0x5总之实数 的取值范围是 。l1,5例题 8：已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率为 241xy52（1）求椭圆 C 的标准方程；（
18、2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 ， ，求 的值AF1BM221分析：（07 福建理科）如图，已知点 （1，0） ，直线 l：x1，P 为平面上的动点，过 作直线 l 的垂线，垂足为点 ，且FPQQPF（）求动点 的轨迹 C 的方程；（）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 M，已知 ，求 的值。12,AFB12小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分 14 分.解法一：（）设点 ，则 ，由 得：()Pxy， (1)Qy，
19、 PFQA，化简得 .(10)22A， ， ， ， 2:4Cyx（）设直线 的方程为： B. 设 ， ，又 ， 联立方程组 ，消去 得：1(0)xmy1()Axy， 2()Bxy， 21Mm， 241yxm， ， ，故240ym2(4)10m12，由 ， 得：1MAF2B， ，整理得：112yym22y， ，1122m1212y12yA4mA0题型六：面积问题例题 8、 （07 陕西理）已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 。12yx,363（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求AOB 面
20、积的最大值。2解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意c63a， 所求椭圆方程为 。1b213xy（）设 ， 。1()Axy， 2()B，（1）当 轴时， 。 3（2）当 与 轴不垂直时，x设直线 的方程为 。ABykm由已知 ，得 。231k2(1)4把 代入椭圆方程，整理得 ，yxm22(3)630kxkm， 。12631kmx23(1)xk2221()ABk22261()()3)mk222221()3)()91mkk。242 12(0)34961696kk当且仅当 ，即 时等号成立。当 时， ，2k30k3AB综上所述 。maxAB当 最大时， 面积取最大值 。O max1322SAB题型七：
21、弦或弦长为定值问题例题 9、 （07 湖北理科）在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线与抛物线 x2=2py（p0）相交于 A、B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法 1：（）依题意，点 N 的坐标为 N（0,-p）,可设 A（x 1,y1）,B（x 2,y2） ，直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得 消.2pkxy去 y 得 x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是 21xpSSACNBAN
