1、三角形内角和综合习题精选一解答题（共 12 小题）1如图（1） ，ABC 中，AD 是角平分线，AEBC 于点 E（1） 若C=80，B=50 ，求 DAE 的度数（2） 若C B，试说明DAE= （C B） （3） 如图（2）若将点 A 在 AD 上移动到 A处，A EBC 于点 E此时DAE 变成 DAE， （2）中的结论还正确吗？为什么？2如图，DB 是ABC 的高，AE 是角平分线， BAE=26，求BFE 的度数3如图，AD 为ABC 的中线，BE 为三角形 ABD 中线，（1）ABE=15，BAD=35，求BED 的度数；（2）在BED 中作 BD 边上的高；（3）若ABC 的面积
2、为 60，BD=5，则点 E 到 BC 边的距离为多少？4如图，在ABC 中，AD 平分BAC，P 为线段 AD 上的一个动点，PE AD 交直线 BC 于点 E（1）若B=35，ACB=85 ，求 E 的度数；（2）当 P 点在线段 AD 上运动时，猜想 E 与 B、 ACB 的数量关系，写出结论无需证明5 （1）如图 1，有一块直角三角板 XYZ 放置在ABC 上，恰好三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ 分别经过点 B、C ABC 中，A=30 ，则ABC+ACB= _ ，XBC+ XCB= _ （2）如图 2，改变直角三角板 XYZ 的位置，使三角板 XYZ 的两条直角边 XY、X
3、Z 仍然分别经过 B、C，那么ABX+ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ ACX 的大小6如图 1，ABC 中， A=50，点 P 是ABC 与ACB 平分线的交点（1）求P 的度数；（2）猜想P 与A 有怎样的大小关系？（3）若点 P 是CBD 与 BCE 平分线的交点，P 与 A 又有怎样的大小关系？（4）若点 P 是ABC 与 ACF 平分线的交点， P 与A 又有怎样的大小关系？【（2） 、 （3） 、 （4）小题只需写出结论，不需要证明】8如图，A、B 两点同时从原点 O 出发，点 A 以每秒 x 个单位长度沿 x 轴的负方向运动，点 B 以每秒y
4、个单位长度沿 y 轴的正方向运动（1）若|x+2y 5|+|2xy|=0，试分别求出 1 秒钟后 A、B 两点的坐标；（2）设BAO 的邻补角和 ABO 的邻补角的平分线相交于点 P，问：点 A、B 在运动的过程中，P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长 BA 至 E，在ABO 的内部作射线 BF 交 x 轴于点 C，若EAC、 FCA、 ABC 的平分线相交于点 G，过点 G 作 BE 的垂线，垂足为 H，试问AGH 和 BGC 的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由9如图所示，点 E 在 AB 上，CE ，DE 分别平分BCD， AD
5、C，1+2=90 ，B=75，求 A 的度数10如图，AOB=90，点 C、D 分别在射线 OA、OB 上，CE 是ACD 的平分线，CE 的反向延长线与CDO 的平分线交于点 F（1）当OCD=50（图 1） ，试求F （2）当 C、D 在射线 OA、OB 上任意移动时（不与点 O 重合） （图 2） ，F 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出F 11如图，ABC 中，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点 O （ABCC） ，（1）试说明BOA=90+ C；（2）当 AD 是高，判断DAE 与C、ABC 的关系，并说明理由12已知ABC 中， BAC=100（1）若ABC 和
6、ACB 的角平分线交于点 O，如图 1 所示，试求 BOC 的大小；（2）若ABC 和ACB 的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于 O，O 1，如图 2 所示，试求BOC 的大小；（3）如此类推，若ABC 和ACB 的 n 等分线自下而上依次相交于 O，O 1，O 2，如图 3 所示，试探求BOC 的大小与 n 的关系，并判断当BOC=170时，是几等分线的交线所成的角答案与评分标准一解答题（共 12 小题）1如图（1） ，ABC 中，AD 是角平分线，AEBC 于点 E（1） 若C=80，B=50 ，求 DAE 的度数（2） 若C B，试说明DAE= （C B） （3） 如图（
7、2）若将点 A 在 AD 上移动到 A处，A EBC 于点 E此时DAE 变成 DAE， （2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。专题：动点型。分析：（1）先根据三角形内角和定理求出BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在ADC 中，利用三角形内角和求出ADC 的度数，从而可得DAE 的度数（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用B 和C 表示出A DE，再根据三角形的内角和定理可证明DA E= （C B） 解答：解：（1）在ABC 中，BAC=180B C=1
8、805080=50；AD 是角平分线，DAC= BAC=25；在ADC 中，ADC=180 CDAC=75；在ADE 中，DAE=180 ADCAED=15（2）DAE=180ADCAED=180 ADC90=90ADC=90（180C DAC）=90（180C BAC）=90180 C （180 BC）= （C B） （3） （2）中的结论仍正确ADE=B+BAD=B+ BAC=B+ （180BC）=90 + B C；在DAE 中， DAE=180AEDADE=18090（90+ B C）= （C B） 点评：本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形
9、的有关概念是解题关键2如图，AD 为ABC 的中线，BE 为三角形 ABD 中线，（1）ABE=15，BAD=35，求BED 的度数；（2）在BED 中作 BD 边上的高；（3）若ABC 的面积为 60，BD=5，则点 E 到 BC 边的距离为多少？考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理。分析：（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求BED 的度数；（2）BED 是钝角三角形，所以 BD 边上的高在 BD 的延长线上；（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得BED 的面积，再直接求点 E 到 BC 边的距离即可解答：解
10、：（1）BED 是ABE 的一个外角，BED=ABE+BAD=15+35=50（2）如图所示，EF 即是BED 中 BD 边上的高（3）AD 为 ABC 的中线，BE 为三角形 ABD 中线，SBED= SABC= 60=15；BD=5，EF=2SBEDBD=2155=6，即点 E 到 BC 边的距离为 6点评：本题主要考查了三角形的高、中线、角平分线，三角形的面积和三角形的内角和等知识，注意全面考虑问题，熟记三角形的中线把三角形分成的两个小三角形面积一定相等3如图，DB 是ABC 的高，AE 是角平分线， BAE=26，求BFE 的度数考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。分析：由角平分线
11、的性质知，FAD=BAE=26 ，而AFD 与FAD 互余，与 BFE 是对顶角，故可求得BFE 的度数解答：解：AE 是角平分线， BAE=26，FAD=BAE=26，DB 是ABC 的高，AFD=90FAD=9026=64，BFE=AFD=64点评：本题利用了角平分线的性质和直角三角形的性质求解4如图，在ABC 中，AD 平分BAC，P 为线段 AD 上的一个动点，PE AD 交直线 BC 于点 E（1）若B=35，ACB=85 ，求 E 的度数；（2）当 P 点在线段 AD 上运动时，猜想 E 与 B、 ACB 的数量关系，写出结论无需证明考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。专题：动
12、点型。分析：（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得 DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出ADC 的度数，进一步求得 E 的度数；（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系解答：解：（1）B=35 ， ACB=85，BAC=60，AD 平分 BAC，DAC=30，ADC=65，E=25；（2） 或 点评：运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义特别注意第（2）小题，由于B 和ACB 的大小不确定，故表达式应写为两种情况5 （1）如图 1，有一块直角三角板 XYZ 放置在ABC 上，恰好三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ
13、分别经过点 B、C ABC 中，A=30 ，则ABC+ACB= 150 ，XBC+XCB= 90 （2）如图 2，改变直角三角板 XYZ 的位置，使三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ 仍然分别经过 B、C，那么ABX+ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ ACX 的大小考点：三角形内角和定理。分析：本题考查的是三角形内角和定理已知A=30 易求 ABC+ACB 的度数又因为 x 为 90，所以易求XBC+ XCB解答：解：（1）A=30，ABC+ACB=150，X=90，XBC+XCB=90，ABC+ACB=150；XBC+XCB=90（2）不变化A=30
14、，ABC+ACB=150，X=90，XBC+XCB=90，ABX+ACX=（ ABCXBC）+（ ACBXCB）=（ABC+ACB）（XBC+XCB）=150 90=60点评：此题注意运用整体法计算关键是求出ABC+ACB6如图 1，ABC 中， A=50，点 P 是ABC 与ACB 平分线的交点（1）求P 的度数；（2）猜想P 与A 有怎样的大小关系？（3）若点 P 是CBD 与 BCE 平分线的交点，P 与 A 又有怎样的大小关系？（4）若点 P 是ABC 与 ACF 平分线的交点， P 与A 又有怎样的大小关系？【（2） 、 （3） 、 （4）小题只需写出结论，不需要证明】考点：三角形内
15、角和定理。专题：探究型。分析：根据“三角形的外角等于与其不相邻的两内角和”和角平分线性质（1）利用角平分线的性质和三角形内角和是 180 度以及外角的性质求算即可；（2）先列出A、 ABC、ACB 的关系，再列出BPC 、PBC、 PCB 的关系，然后列出ABC 和PBC、ACB 和 PCB 的关系；（3）利用 P 为 ABC 两外角平分线的交点， DBC= A+ ACB，同理可得：BCE= A+ ABC，再利用三角形内角和定理以及外角和定理求出即可；（4）列出A、 ABC、 ACF 的关系，再列出PBC 、P、PCF 的关系，然后列出ABC 和PBC、ACF 和 PCF 的关系解答：解：（1
16、）A=50，ABC+ACB=130，PBC+PCB= （ABC+ACB）= 130=65，BPC=18065=115；（2）BPC= A+90在 ABC 中， A+ABC+ACB=180，在BOC 中，BPC+PBC+PCB=180，BP，CP 分别是 ABC 和 ACB 的平分线，ABC=2PBC，ACB=2PCB ，BPC+ ABC+ ACB=180，又 在ABC 中， A+ABC+ACB=180，BPC= A+90；（3）DBC= A+ACB，P 为 ABC 两外角平分线的交点， DBC= A+ ACB，同理可得： BCE= A+ ABC，A+ACB+ABC=180， （ ACB+ABC
17、）=90 A，180BPC= DBC+ BCE= A+ ACB+ A+ ABC，180BPC=A+ ACB+ ABC，180BOC=A+90 A，BPC=90 A；（4）若 P 为ABC 和 ACB 外角的平分线 BP，CP 的交点，则 BPC 与A 的关系为：BPC= AA+ABC=ACF， PBC+BPC=PCF，BP，CP 分别是ABC 和ACF 的平分线，ABC=2PBC，ACF=2PCF，由以上各式可推得BPC= A点评：此题主要考查了角平分线及三角形的内角和定理和三角形外角和等知识，熟练地应用其性质得出等量关系，再进行等量代换是解决问题的关键7如图，已知ABC 中， B=E=40，
18、BAE=60，且 AD 平分 BAE（1）求证：BD=DE；（2）若 AB=CD，求 ACD 的大小考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。专题：计算题；证明题。分析：（1）要求证：BD=DE 可以证明ABD AED，根据角角边定理就可以证出；（2）求ACD=AFC DAF，本题可以转化为求 AFC，DAF 的度数解答：（1）证明：AD 平分BAE，BAD=EAD=30AD=ADB=E=40ABDAEDBD=ED；（2）解：ADE=ADB=180B BAD=110，ADC=70，EDC=11070=40EDC=EFD=FEAE=AB=CD，CF=AFAFC=100，ACD=40点评：证明线段相
19、等的问题比较常用的方法是证明所在的三角形全等8如图，A、B 两点同时从原点 O 出发，点 A 以每秒 x 个单位长度沿 x 轴的负方向运动，点 B 以每秒y 个单位长度沿 y 轴的正方向运动（1）若|x+2y 5|+|2xy|=0，试分别求出 1 秒钟后 A、B 两点的坐标；（2）设BAO 的邻补角和 ABO 的邻补角的平分线相交于点 P，问：点 A、B 在运动的过程中，P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长 BA 至 E，在ABO 的内部作射线 BF 交 x 轴于点 C，若EAC、 FCA、 ABC 的平分线相交于点 G，过点 G 作 B
20、E 的垂线，垂足为 H，试问AGH 和 BGC 的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由考点：三角形内角和定理；非负数的性质：绝对值；角平分线的定义。专题：动点型。分析：（1）|x+2y5|+|2xy|=0 ，非负数的性质得，x+2y 50，2xy0；由此解不等式即可求得，A、B 两点同时从原点 O 出发，点 A 以每秒 x 个单位长度沿 x 轴的负方向运动，点 B 以每秒 y 个单位长度沿 y 轴的正方向运动，A（ 1，0） ，B（0，2） ；（2）不发生变化要求P 的度数，只要求出PAB+PBA 的度数利用三角形内角和定理得， P=180PABPBA；角平分线性质得， PAB= EAB，P
21、BA= FBA，外角性质得，EAB= ABO+90，FBA=BAO+90，则可求P 的度数；（3）试求AGH 和BGC 的大小关系，找到与它们有关的角如BAC，作 GMBF 于点 M，由已知有可得AGH 与BGC 的关系解答：解：（1）解方程组：得： （3 分）A（ 1， 0） ，B（0，2） ；（2）不发生变化，P=180PABPBA=180 （EAB+ FBA）=180 （ABO+90+ BAO+90）=180 （180+180 90）=180135=45；（3）作 GMBF 于点 M由已知有：AGH=90 EAC=90 （180BAC）= BAC，BGC=BGMCGM=90 ABC（90
22、 ACF）= （ACF ABC）= BACAGH=BGC注：不同于此标答的解法请比照此标答给分点评：考查角平分线性质，三角形内角和定理，非负数的性质等知识9如图所示，点 E 在 AB 上，CE ，DE 分别平分BCD， ADC，1+2=90 ，B=75，求 A 的度数考点：三角形内角和定理；平行线的性质。专题：计算题。分析：延长 DE 交 CB 延长线于 F，根据已知条件，证得 ADFC；根据两直线平行，内错角相等求得A的邻补角；再求出A 的度数即可解答：解：延长 DE 交 CB 延长线于 F， 1+2=90，DEC=90，即 CEED，ECB+F=90，2+F=901=ADE，ADF= F，
23、ADFC，A=EBF ，B=75，A=180 75=105点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到 ADFC，这是解题的关键10如图，AOB=90，点 C、D 分别在射线 OA、OB 上，CE 是ACD 的平分线，CE 的反向延长线与CDO 的平分线交于点 F（1）当OCD=50（图 1） ，试求F （2）当 C、D 在射线 OA、OB 上任意移动时（不与点 O 重合） （图 2） ，F 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出F 考点：三角形内角和定理。分析：（1）根据三角形的内角和是 180，可求CDO=40，所以 CDF=20，又由平角定义，可求ACD=130，所以EC
24、D=65，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求ECD=F+CDF， F=45 度（2）同理可证，F=45 度解答：解：（1）AOB=90 OCD=50，CDO=40CE 是ACD 的平分线 DF 是CDO 的平分线，ECD=65CDF=20ECD=F+CDF，F=45（2）不变化，F=45 AOB=90，CDO=90OCDACD=180OCDCE 是ACD 的平分线 DF 是CDO 的平分线，ECD=90 OCDCDF=45 OCDECD=F+CDF，F=45点评：本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是 180的定理题目难度由浅入深，由特例到一般，
25、是学生练习提高的必备题11如图，ABC 中，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点 O （ABCC） ，（1）试说明BOA=90+ C；（2）当 AD 是高，判断DAE 与C、ABC 的关系，并说明理由考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高。分析：（1）先利用三角形内角和定理可求BOA=180 （CAB+ CBA） ，以及CAB+CBA=180 C，即可得出BOA=180 （180C ）整理得出即可；（2）根据角平分线定义可求CAE= BAE= （180C ABC） ，然后利用三角形外角性质，可先求AED，再次利用三角形外角性质，容易求出DAE 即可解答：解：（1）理由：ABC 中
26、，AE、BF 是角平分线，BOA=180 （CAB+ CBA） ，CAB+CBA=180C，BOA=180 （180 C）=90+ C；（2）关系：DAE= （ ABCC） 理由：CAB=180CABC，AE 是角平分线，CAE=BAE= （180 CABC） ，ADBC，ADB=DAE+AED=90，C+CAE=AED，DAE=90AED=90C+ （180C ABC），= （ABCC） 点评：此题主要考查了三角形外角和定理、角平分线定义、三角形外角性质关键是利用角平分线的性质解出EAD，再运用三角形外角性质求出是解决问题的关键12已知ABC 中， BAC=100（1）若ABC 和ACB 的
27、角平分线交于点 O，如图 1 所示，试求 BOC 的大小；（2）若ABC 和ACB 的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于 O，O 1，如图 2 所示，试求BOC 的大小；（3）如此类推，若ABC 和ACB 的 n 等分线自下而上依次相交于 O，O 1，O 2，如图 3 所示，试探求BOC 的大小与 n 的关系，并判断当BOC=170时，是几等分线的交线所成的角考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。分析：（1）根据三角形内角和定理可求得ABC+ACB 的度数，再根据角平分线的定义可求得OBC+OCB 的度数，从而不难BOC 的大小（2）根据三角形内角和定理可求得ABC+ACB 的
28、度数，再根据三等分线的定义可求得OBC+OCB的度数，从而不难BOC 的大小（3）根据三角形内角和定理可求得ABC+ACB 的度数，再根据 n 等分线的定义可求得OBC+OCB的度数，从而不难探求BOC 的大小与 n 的关系解答：解：BAC=100，ABC+ACB=80，（1）点 O 是 ABC 与ACB 的角平分线的交点，OBC+OCB=40，BOC=140（2）点 O 是 ABC 与ACB 的三等分线的交点，OBC+OCB= ，BOC= （3）点 O 是 ABC 与ACB 的 n 等分线的交点，OBC+OCB= ，BOC=180 当BOC=170时，是八等分线的交线所成的角点评：此题主要考查三角形内角和定理和角平分线的应用，要熟记三角形的内角和为 180
