1、一、解释下列词语，并举例说明 (每小题满分 5分，共 15分 ) 1.模型 模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。如地图、苯分子图。 2数学模型 由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型。如概率的功利化定义。 3抽象模型 抽象模型是为了便于研究而建立的一种高度抽象的理想客体实际的物体都是具有多种属性的，例如固体具有一定的形状、体积和内部结构，具有一
2、定的质量等但是，当我们针对某种目的，从某种角度对某一物体进行研究时，有许多对研究问题没有直接关系的属性和作用却可以忽略 . 二、简答题（每小题满分 8分，共 24 分） 1模型的分类 按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型，物理模型，分子结构模型等；抽象模型：思维模型，符号模型，数学模型等。 2数学建模的基本步骤 1.建模准备：确立建模 课题的过程 建模假设： 根据建模的目的对原型进行抽象 、 简化有目的性原则 、 简明性原则 、 真实性原则 和全面性原则 第 2 页 共 12 页 构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择适当的
3、数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻化实际问题的数学模型 模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解 模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分 析，或进行误差分析等 模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际 模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析 、 研究 和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用 3数学模型的作用 数学模型的根本作用在于他将客观原型化繁为
4、简、化难 为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学 模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经 济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用，数学不仅是 人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还 是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学 的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科 的渗透，产生了众多的边缘学科。数学建模还物化于各中高新科技之中，从 家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生 物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量
5、、高效率等特点无一不 是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。 三、解答题（满分 20 分） A 题 (9n, 9n+8) 小童父亲要到美国访问，授人之托希望多带点东西。中国民航的国际旅游第 3 页 共 12 页 须知中有关“计件免费行李额”中规定“适应于中美、中加国际航线上的行李运输。经济和旅游折扣票价，免费交运的行李件数为两件，每件箱体三边之和不得超过 62 英寸，但两件之和不得超过 107 英寸，每件的最大重量不得超过 32公斤。”试问这两件箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请你到市场上看一看，商店出售的行李箱的尺寸与你的计算结果是否接近？为什么？ 设 x1,y1,z
6、1分别表示第一个箱子的长、宽、高， x2,y2,z2分别表示表示另一个箱子的长、宽、高 . 于是建立数学模型为 MaxV=x1y1z1+x2y2z2 x +y +z 62, 1 1 1 x +y +z 62, S.T. 2 2 2 maxx,y,z+maxx,y,z107, 1 1 1 2 2 2 x 0,y 0,z 0,x 0,y 0,z 0. 1 1 1 2 2 2 当 x =y =z=x =y =z =64时，体积最大 . 1 1 2 2 2 3 四、综合题（ 21 分） L. 跑步中的数学问题 (7n+2, 7n+6, 7n+4) O 验血分组问题 (7n+5, 7n+4, 7n+1)
7、 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此需要对团体中团体成员逐个验血，一般来说，若血样呈阳性，则有此种疾病；呈阴性则无此种疾病 . 逐个验血工作量也很大 . 为了减少验血的工作量，有位统计学家提出一种方案：把团体中的成员进行分组，再把组内所有人员的血样混合后再检验，若呈阴性，则该组内所有人员都无此疾病，这时只需作一次检验；若呈阳性，这时为搞清楚谁患有此种疾病，则对组内每个人员分别检验，共需检验 1k 次 . 若该团体中患此病症的概率为 p ，且各人得此种疾病相互独立，那么此种方法能否减少验血次数？若能减少，那么减少多少工作量？ 第 4 页 共 12 页 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为
8、此需要对团体中团体成员逐个验血，一般来说，若血样呈阳性，则有此种疾病；呈阴性则无此种疾病 . 逐个验血工作量也很大 . 为了减少验血的工作量，有位统计学家提出一种方案：把团体中的成员进行分组，再把组内所有人员的血样混合后再检验，若呈阴性，则该组内所有人员都无 此疾病，这时只需作一次检验；若呈阳性，这时为搞清楚谁患有此种疾病，则对组内每个人员分别检验，共需检验 1k 次 . 若该团体中患此病症的概率为 p ，且各人得此种疾病相互独立，那么此种方法能否减少验血次数？若能减少，那么减少多少工作量？ 解：假设团体中 N 个人，令 X 表示该团体中每人需要厌学的次数，那么 X 是只取 2 个值 (得随机
9、变量，其分布为 P（ x=1/k） = )1( pk ,P(X=1+1/k)=1- )1( pk 则每人平均化验次数 E(X)= )1( pk /k+( 1+1/k) 1- )1( pk =1+1/k- )1( pk 而新的验血方法比逐个验血方法平均减少的验血次数 1-E(X)= )1( pk -1/k 只要 E(X)1/k,就能减少验血工作量。 如取 p=0.1,k=2,那么 1-E（ X） = 9.02 -0.5=0.31 次，如果该团队有 10000 人，则可减少 3100 次，既可减少 31%的工作量。 类似的，可以进行如下计算：当 p=0.1,k=4.使得 E(X)的值最小，这是可以
10、减少40.16%的工作量，然后又逐渐增加，当 k=34 时， E(X)1，这种方法反而增加工作量。还可以计算，当 p=0.01.k=11 时， E(X)的值最小，这是可以减少 80.44%的工作量；还可以计算，当 p=0.001,k=28 时。 E(X)的值最小，这时可以减少 93.67 的工作量。可见，患某种疾病的概率 p 越小，使 E(X)取到最小值。 K 值越大，减少验血的工作量的期望值 1-E(X)= )1( pk -1/k 就越大。对于 p， k 不同值的 E(X)数值计算列表如下，并且根据这些数据描述的曲线如图 . 第 5 页 共 12 页 k p=0.1 p=0.05 p=0.0
11、1 p=0.005 p=0.001 2 0.3100 0.4025 0.4801 0.4900 0.4980 4 0.4061 0.5645 0.7106 0.7301 0.7640 5 0.3904 0.5738 0.7510 0.7752 0.7950 8 0.3055 0.5384 0.7977 0.8357 0.8670 10 0.2487 0.4987 0.8044 0.8511 0.8900 13 0.1773 0.4364 0.8006 0.8600 0.9102 16 0.1228 0.3776 0.7890 0.8604 0.9216 20 0.0716 0.3058 0.7
12、679 0.8546 0.9302 25 0.0318 0.2374 0.7378 0.8422 0.9353 30 0.0091 0.1813 0.7064 0.8271 0.9371 35 -0.0035 0.1357 0.6749 0.8105 0.9370 40 -0.0102 0.1035 0.6440 0.7933 0.9358 45 -0.0135 0.0772 0.6140 0.7758 0.9338 50 -0.0148 0.0569 0.5850 0.7583 0.9312 五、复述题（ 21分） S. 最优捕鱼策略 (3n) 摘要 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资
13、源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。本文实际上 就是为了解决渔业上最优捕鱼策略 问题，即在可持续捕捞的前提下，追求 捕捞 量 的 最大化。问题一采用条件极值列方程组的方法求解，第 6 页 共 12 页 即 1 龄鱼的数量由 3 龄鱼和 4 龄鱼的产卵孵化而来； 2， 3 龄鱼的数量分别由上一年 1 龄鱼， 2 龄鱼生长而来； 4 龄鱼由上一年的 3 龄鱼和上一年末存活的 4 龄鱼组成。最后得到：只要每年 1-8 月份 3、 4 龄鱼捕捞总量小于、 ，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的 对象主要是 3 龄鱼，当 3 龄与 4 龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。 问题二给
14、出年初各龄鱼的数量，要求在 5 年后鱼群的生产能力没有受到太大的破坏的前提下，使 5 年的总收获量最大，即在 5 年内鱼群能够可持续繁殖和生长。本题以 5 年的总捕获量为目标函数，以 5 年后各龄鱼的数量没有发生太大的变化为条件，建立承包期总产量模型。最终得到的捕捞策略如表 1-1。只要各年龄鱼每年的捕捞数量小于表 1-1 中的数量，就可以实现 5 年后鱼群的生产能力没有发生太大的变化。 关键字 一、 问题重述 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞
15、策略： 假设这种鱼分 4 个年龄组：称 1 龄鱼， ， 4 龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为 0.8（ 1/第 7 页 共 12 页 年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条 4 龄鱼的产卵量为 1.109105 (个）；3 龄鱼的产卵量为这个数的一半， 2 龄鱼和 1 龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后 4 个月；卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率（ 1 龄鱼条数与产卵总 量 n之比）为 1.221011 /(1.221011 +n). 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的 8 个月内进行捕捞作业。
16、如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 1）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业 务 5 年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为： 122,29.7,10.1,3.29(10 9条），如果仍用固定努力量的
17、捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。 二、 模型假设 1、 这种鱼分为四个年龄组： 1 龄鱼， 2 龄鱼， 3 龄鱼， 4 龄鱼； 2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07 克 , 11.55 克 ,17.86 克 ,22.99 克； 3、各年龄组鱼的自然死亡率均为 0.8（ 1/年）； 4、捕捞采用固定努力 量 捕捞，即只允许每 年的 1-8 月份捕捞，产卵和孵化期为每年的后四个月； 5、 4 龄鱼和 3 龄鱼产卵， 2 龄鱼和 1 龄鱼不产卵。 6、卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率（ 1 龄鱼条数与产卵总是 n之比）为 1.22 /(1.22 +n)，并且孵化出的幼鱼在下
18、一年初成为 1 龄的鱼 ； 7、产卵期 时 鱼的自然死亡率发生在产卵之后； 8、 4 龄鱼和 3 龄鱼每年只产卵一次 ，并且产卵集中在九月份，到十二月底孵化完毕； 9、使用 1.3mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42:1，且每年投入的捕捞能力固定不变； 10、只考虑 该种 鱼 的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出，也不考虑其他方面的影响 ； 11、对于模型一，为简化模型，将每一龄鱼自然死亡数量均摊到每一个月内； 12、 i龄鱼在第二年分别变为 i+1 龄鱼， i=1,2,3； 4 龄鱼仍为 4 龄鱼； 13、该鱼的生长周期为 1
19、 年； 14、自然死亡的鱼也在捕捞范围之内，即计入捕获量，并且能够全部捕捞。 三、 符号变量及说明 0,ix 该年年初时 i龄鱼的总数量 0,ix 第二年年初时 i龄鱼的总数量 ic i龄鱼平均每月死亡数量 第 8 页 共 12 页 jix, i龄鱼在 j 月初的活鱼总数量 im i龄鱼每条鱼的平均重量 n 9 月底该种鱼总共产卵数量 n 卵孵化成幼鱼进入 1 龄鱼阶段的数量 ik 对 i龄鱼活鱼的捕捞强度系数 四、 问题分析 针对问题一： 如何在满足可 持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况： 1 龄鱼数 量由 3 龄鱼和 4 龄鱼的产卵孵化而来
20、； 2， 3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡 以及捕捞生长 而来； 4 龄鱼是由上一年段 3 龄鱼 经自然 死亡 以及捕捞后 生长的和原有的 4 龄鱼组成的， 并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。 那么根据以上信息 我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的 8 种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建 立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量就可得到该龄鱼的捕捞数量，然后可得到这八个月内总的捕捞量，当然这也要满足可
21、持续捕捞的约束条件。 针对问题二： 本文将此题转化为在已知条件下，求 最大捕获量的问题 。 我们从文中可知，该渔业公司五年的捕捞作业后，鱼群的生产能力不能受到太大破坏，这和前一道题的可持续捕捞条件有点区别，就是该题的约束条件已变为五年捕捞后各龄鱼的数量比承包前的要少，只要程度控制在一定的范围内就不会对鱼群的生产能力造成太大破坏。此时我们要引入 破坏系数 )10( pp ， p 就是五年后各龄鱼与五年前各龄鱼数量的比值， p 值越大，破坏程度越小，反之，破坏程度越大。我们可以把对鱼群的破坏看成是每一年的累积效应，即每一年都可能有破坏，这样我们就可以在问题一所建立的模型的基础上，修改一下约束条件，
22、就可以求出这五年内该渔业公司的最大捕获量。 五、 模型的建立与求解 模型一、动态整型规划模型 第 9 页 共 12 页 在没有人工捕捞的情况下，由文中的所有龄鱼的自然死亡率 0.8（ 1/年）可知i 龄鱼在一年内死亡的总数量为： 08.0 ix ，其中 0ix 为 i 龄鱼年初的数量，为了简化数学模型，我们考虑把 i龄鱼的死亡总数量平均分配到每一个月，这样 i龄鱼在每一个月的死亡数量均为128.0 0ii xc J 月初的 i龄鱼的活鱼总数量： 129, 81,1,1,1, jcx jxkcxxijijiiijiji ， 这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变
23、化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕 捞的总的活鱼数量也就固定了。 由于在后四个月内某些 3,4 龄鱼在产卵后才会死去，况且从卵孵化成幼鱼要经过一段时间，为了确保所有有效卵能在年底孵化成幼鱼，进入 1 龄鱼的阶段，我们使它们在 9 月底产卵完毕，则在 9 月底总共产卵数目为 : 9,49,321 axaxn 其中 1.109a 105 由卵孵化成幼鱼进入 1 龄鱼阶段的数量为： nbnbnqn ，其中 b 1.221011 则 j 月 i龄鱼的捕捞重量为： )( , ijiii cxkm 则在这八个月内各龄鱼总捕捞重量为： 41 8 1 , )(i j ijiii cxkm 第
24、二年年初各龄鱼的总数量记为 0,ix ， 则 0,1x = nbnbnqn 112,10, iii cxx ， 3,2i 312,3412,40,4 cxcxx 则得如下动态整型规划优化模型： 目标函数： 4 81 ,)(m a xi j ijiiicxkm Nxckkkxxtsjiiiii,430,0,42.010.考虑到鱼的数量相当的大，为计算方便可将上述模型简化非整形规划得： 第 10 页 共 12 页 目标函数： 4381 , )(m a xi j ijiii cxkm 430,0,42.010.kkkxxts iii 模型二、微分方程模型 我们把鱼群数量的变化看成是随时间连续变化的，
25、 r为自然死亡率，则在 t， t+ t内，根据自然死亡 率的定义，由于不捕捞 1、 2 龄鱼，所以 2,1,)()(1)( )()(lim 0 idt tdxtxtxt ttxtxr iiiiit 变形则得 2,1)()()(0,0ixtxtrxdt tdxitiii 解得 2,1,)( 0, iextx rtii 对于 3、 4 龄鱼由于捕捞在前 8 个月进行，因此，前 8 个月内，即 1280 t 时捕捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为 4,3,)()()()(0,0ixtxtxkrdt tdxitiiii 由上式解得 4,3)( )(0, iextx tkrii i 1280 t 当 1128 t 时， 4,3)128()( )128(0, iexxtx triii 因而， 3、 4 龄鱼在第二年初的数 rrrexxexxxexx12440,412430,30,40,20,3)128()128(为了确保所有有效卵能在年底孵化成幼鱼，进入 1 龄鱼的阶段，我们假设它们在 9 月底产卵完毕，则在 9 月底总共产卵数目为 : 9,49,321 axaxn 其中 1.109a 105
